Bồi dưỡng HSG Toán 8

CHUYÊN ĐỀ 2. TỨ GIÁC
LÝ THUYẾT
Hình thang 
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
Để chứng minh hình thang ta cần chứng minh hai cạnh đối song song
Hình thang cân
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tính chất: + Trong một hình thang cân thì hai cạnh bên bằng nhau.
+ Trong một hình thang cân thì hai đường chéo bằng nhau.
Để chứng minh hình thang cân ta cần chứng minh
+ Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
+ Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
Đường trung bình của tam giác
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nữa cạnh ấy.
Hình bình hành
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
Tính chất: + các cạnh đối bằng nhau
+ các góc đối bằng nhau
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết: 
Tứ giác là Các cạnh đối song song
Tứ giác các cạnh đối bằng nhau
Tứ giác có các góc đối bằng nhau
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
Hình chữ nhật
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông 
Tính chất: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân. Nhưng cần chú ý các tính chất sau:
Các cạnh đối song song và bằng nhau
Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có ba góc vuông
Hình thang cân có một góc vuông
Hình bình hành có một góc vuông
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
Áp dụng vào tam giác:
Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Hình thoi
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Tính chất: Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành nhưng cần chú ý về tính chất đường chéo. Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Dấu hiệu nhận biết:
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.
Hình vuông
Hình vuông là tứ giác có bống góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
Tính chất: Hình vuông có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Dấu hiệu nhận biết:
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau 
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của nó
Hình thoi có một góc vuông
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
BÀI TẬP 
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD). Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của AB,BD,AC. Đường thẳng vuông góc với MN tại N và đường thẳng vuông góc với MP tại P cắt nhau tại E. Chứng minh EC=ED.
Bài 2. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy nằm trên một đường thẳng d, biết AB>BC. Trong cùng một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng d vẽ hai tam giác đều ADB, BEC. Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BD, AE, BE, CD, DE.
Chứng minh ba điểm I, M, N thẳng hàng, ba điểm I, Q, P cũng thẳng hàng.
Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang cân.
Chứng minh 2NQ=DE.
Bài 3. Lấy hai cạnh AB, AC của tam giác ABC (với BAC≠60°), dựng ra phía ngoài góc A hai tam giác đều ABD và ACE. Lấy AD và AE làm cạnh dựng hình bình hành ADFE. Chứng minh tam giác FBC là tam giác đều.
Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi P là điểm thuộc miền trong tam giác sao cho góc PAC bằng góc PBC. Gọi L, M theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ P đến BC, AC. Chứng minh rằng nếu D là trung điểm của cạnh AB thì DL=DM.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Trên tia đối tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E thỏa mãn BD=CE=BC. Gọi F là giao điểm của BE và CD. Kẻ qua F đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt cạnh AC tại M. Chứng minh AB= CM.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông góc tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM. Đường phân giác của góc A cắt đường trung trực của cạnh BC tại điểm D. Từ D kẻ DE vuông góc vơi BC và DF vuông góc với AC. Chứng minh
AD là tia phân giác góc HAM.
Ba điểm E, M, F thẳng hàng.
Tam giác BDC là tam giác vuông cân.
Bài 7. Cho tam giác ABC. Trong nữa mặt phẳng chứa đỉnh A, bờ là đường thẳng BC, vẽ hình vuông BCDE và trong nữa mặt phẳng có chứa đỉnh C, bờ là đường thẳng AB vẽ hình vuông ABFG. Chứng minh AE=FC và EA vuông góc với FC.
Bài 8. Cho hình vuông ABCD. Từ một điểm M thuộc đường chéo BD, ta kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD. Chứng minh
DE=CF và DE vuông góc CF
CM=EF và CM vuông góc EF
BF=CE và BF vuông góc CE.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB<AC. Kẻ đường cao AH. Trong nữa mặt phẳng có chứa đỉnh A cờ là đường thẳng BC vẽ hình vuông AHDE.
Chứng minh D thuộc đoạn thẳng HC.
Gọi F là giao điểm của DE và AC. Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại điểm G. Chứng minh tứ giác ABGF là hình vuông.
Chứng minh ba đường thẳng AG, BF, HE đồng quy.
Chứng minh tứ giác DEHG là hình thang.
Bài 10. Cho đoạn thẳng AB= a và một điểm M bất kì thuộc đoạn thẳng ấy. Trong cùng một nữa mặt phảng bờ là đường thẳng AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
Chứng minh AE vuông góc CB tại một điểm ta gọi là H.
Chứng minh D, H, F thẳng hàng.
Gọi I là trung điểm của đoạn DF. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng AB theo a, suy ra rằng I là điểm cố định ko phụ thuộc vào vị trí của M trên đoạn AB.
Bài 11. Cho một góc vuông xAy quay xung quanh đỉnh A của hình vuông ABCD. Cạnh Ax cắt các đường thẳng BC và CD theo thứ tự tại các điểm M, N và cạnh Ay cắt các đường thẳng BC, CD theo thứ tự các điểm P, Q
Chứng minh các tam giác NAP, MAQ là tam giác vuông cân.
Gọi F là giao điểm của QM và PN, F và I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng QM và PN. Chứng tứ giác AFEI là hình chữ nhật.
Khi góc vuông xAy quay quanh đỉnh A thì các điểm F, I di chuyển trên đường thẳng cố định nào?