Các bài toán hình học thường gặp trong kỳ thi HSG Toán 8

 CÁC BÀI TOÁN HèNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI HSG TOÁN 8
 Cõu 1 : Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC 
 (M khỏc B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
 a) Chứng minh : ∆OEM vuụng cõn. 
 b) Chứng minh : ME // BN.
 c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Cõu 4( 6 điểm)
 A E B
 1
 Hỡnh vẽ
 1
 2
 O
 3 M
 H'
 H
 1
 D
 Xột ∆OEB và ∆OMC C N
 Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC 
 a
 3 Và Bà Cà 450
 đ 1 1
 BE = CM ( gt )
 Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)
 à ả
 OE = OM và O1 O3
 ả ả ã 0
 Lại cú O2 O3 BOC 90 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng
 ả à ã 0
 O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuụng cõn tại O
 Từ (gt) tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng AB = CD và AB // CD
 AM BM
 + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lột) (*)
 b MN MC
 2đ Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
 AM AE
 Ta cú : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lột)
 MN EB
 Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
 Từ ME // BN Oã ME Oã H ' E ( cặp gúc so le trong)
 Mà Oã ME 450 vỡ ∆OEM vuụng cõn tại O
 ã 0 à
 MH ' B 45 C1
 c ∆OMC : ∆BMH’ (g.g)
 1đ
 OM MH '
 ,kết hợp Oã MB Cã MH ' ( hai gúc đối đỉnh)
 OB MC
 ∆OMB : ∆CMH’ (c.g.c) Oã BM Mã H 'C 450 Vậy Bã H 'C BãH 'M Mã H 'C 900 CH '  BN 
 Mà CH  BN ( H BN) H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)
 Cõu 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là 
 hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống 
 đường thẳng AB và AD.
 a) Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều đú ? 
 b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
 c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
 H
 B C
 F
 O
 E
 A
 K
 D
A
 Ta cú : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF
 Chứng minh : BEO DFO(g c g)
 => BE = DF
 Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành.
B
 Ta cú: ãABC ãADC Hã BC Kã DC
 Chứng minh : CBH : CDK(g g)
 CH CK
 CH.CD CK.CB
 CB CD
B,
 Chứng minh : AFD : AKC(g g)
 AF AK
 AD.AK AF.AC
 AD AC
 Chứng minh : CFD : AHC(g g)
 CF AH
 CD AC
 CF AH
 Mà : CD = AB AB.AH CF.AC
 AB AC
 Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).
 Cõu 3. Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ ME  AB, 
 MF  AD.
 a. Chứng minh: DE CF
 b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
 c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất. E
 A B
 F
 M
Cõu 3
 D C
(6 điểm) a. Chứng minh: AE FM DF
 AED DFC đpcm
 b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm
 c. Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi
 ME MF a khụng đổi
 SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hỡnh vuụng)
 M là trung điểm của BD.
Bài 4: Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và 
song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
 1 1 2
b, Chứng minh rằng .
 AB CD MN
 2 2 
c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tớch); SCOD= 2009 (đơn vị diện tớch). Tớnh SABCD. 
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
 OM OD ON OC 0,5đ
Lập luận để cú , 
 AB BD AB AC
 OD OC 0,5đ
Lập luận để cú 
 DB AC
 OM ON 0,5đ
 OM = ON
 AB AB
b, (1,5 điểm)
 OM DM OM AM 0,5đ
Xột ABD để cú (1), xột ADC để cú (2)
 AB AD DC AD
 1 1 AM DM AD
Từ (1) và (2) OM.( ) 1
 AB CD AD AD
 1 1 0,5đ
Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 
 AB CD
 1 1 1 1 2 0,5đ
từ đú cú (OM + ON). ( ) 2 
 AB CD AB CD MN
b, (2 điểm)
S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ
 , S AOB .S DOC S BOC .S AOD
S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC
Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ
 2 0,5đ
 S AOB .S DOC (S AOD )
 2 2 2
Thay số để cú 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009
 2 2 2 2
Do đú SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị DT) 0,5đ Bài 5:Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D 
sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB .
 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. 
 Tính số đo của góc AHM
 GB HD
 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
 BC AH HC
 4.1 + Hai tam giác ADC và BEC 
 có: 
 Góc C chung. 
 CD CA
 (Hai tam giác 
 CE CB
 vuông CDE và CAB đồng 
 dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
 Suy ra: Bã EC ãADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
 Nên ãAEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
 BE AB 2 m 2
 4.2 BM 1 BE 1 AD
 Ta có:   (do BEC : ADC )
 BC 2 BC 2 AC
 mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
 BM 1 AD 1 AH 2 BH BH
 nên   (do ABH : CBA )
 BC 2 AC 2 AC AB 2 BE
 Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: Bã HM Bã EC 1350 ãAHM 450
 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
 GB AB AB ED AH HD
 Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH 
 GC AC AC DC HC HC
 GB HD GB HD GB HD
 Do đó: 
 GC HC GB GC HD HC BC AH HC
 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy 
điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
 4. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB .
 5. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. 
 Tính số đo của góc AHM
 GB HD
 6. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
 BC AH HC
 4.1 + Hai tam giác ADC và BEC 
 có: 
 Góc C chung. 
 CD CA
 (Hai tam giác 
 CE CB
 vuông CDE và CAB đồng 
 dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
 Suy ra: Bã EC ãADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
 Nên ãAEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
 BE AB 2 m 2
 BM 1 BE 1 AD
 Ta có:   (do BEC : ADC )
 BC 2 BC 2 AC mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
 4.2 BM 1 AD 1 AH 2 BH BH
 nên   (do ABH : CBA )
 BC 2 AC 2 AC AB 2 BE
 Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: Bã HM Bã EC 1350 ãAHM 450
 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
 GB AB AB ED AH HD
 Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH 
 GC AC AC DC HC HC
 GB HD GB HD GB HD
 Do đó: 
 GC HC GB GC HD HC BC AH HC
Cõu 7: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường thẳng song song với 
BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. 
Chứng minh rằng:
 a) DK = CI
 b) EF // CD
 c) AB2 = CD.EF
 A B
 E F
 D K I C
 a) 
 Tứ giỏc ABCK cú: 
 AB // CK (AB // CD, K CD)
 AK // BC (gt)
 ABCK là hỡnh bỡnh hành
 CK = AB
 DK = CD – CK = CD – AB (1)
 Chứng minh tương tự, ta cú DI = AB
 IC = CD – DI = CD – AB (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC
 b) 
 DEK cú AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta cú:
 AE AB
 = (3)
 EK DK
 FIC cú AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta cú:
 AF AB
 = (4)
 FC IC
 Mà: DK = IC (cõu a) (5)
 AE AF
 Từ (3), (4), (5) suy ra: =
 EK FC
 AE AF
 AKC cú = EF // KC (định lý Ta-lột đảo)
 EK FC
 EF // CD 
 c) 
 AB CK
 Ta cú: = (vỡ AB = CK) (6)
 CD CD
 BCD cú EK // BC, theo định lý Ta-lột ta cú:
 CK BE
 = (7)
 CD BD
 BDI cú EF // DI, theo định lý Ta-let ta cú:
 5 BE EF
 = 
 BD DI
 Mà DI = AB
 BE EF
 Suy ra: = (8)
 BD AB
 AB CK BE EF
 Từ (6), (7), (8) suy ra: = = =
 CD CD BD AB
 AB EF
 = AB2 = CD. EE
 CD AB
 Cõu 8: Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cạnh AB lấy điểm E và trờn cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = 
 AF. Vẽ AH vuụng gúc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
 1. Chứng minh rằng tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật.
 2. Biết diện tớch tam giỏc BCH gấp bốn lần diện tớch tam giỏc AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
 1 1 1
 3. Chứng minh rằng: = + .
 AD2 AM2 AN2
 Cõu 4
 E
 A B
 H
 F
 C
 D M
 1 N
(2.0 điểm) Ta cú Dã AM = Ã BF (cựng phụ Bã AH )
 AB = AD ( gt) 
 Bã AF = Ã DM = 900 (ABCD là hỡnh vuụng) 
 ΔADM = ΔBAF (g.c.g) 
 => DM=AF, mà AF = AE (gt) 
 Nờn. AE = DM 
 Lại cú AE // DM ( vỡ AB // DC )
 Suy ra tứ giỏc AEMD là hỡnh bỡnh hành
 Mặt khỏc. Dã AE = 900 (gt) 
 Vậy tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật Ta cú ΔABH : ΔFAH (g.g) 
 AB BH BC BH
 = hay = ( AB=BC, AE=AF) 
 AF AH AE AH
 Lại cú Hã AB = Hã BC (cựng phụ Ã BH )
 2 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c)
(2.0 điểm) 2 2
 SΔCBH BC SΔCBH BC 
 = , mà = 4 (gt) = 4 nờn BC2 = (2AE)2
 SΔEAH AE SΔEAH AE 
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
 Do đú: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú: 
 AD AM AD CN
 = = 
 CN MN AM MN
 Lại cú: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú:
 MN MC AB MC AD MC
 = = hay = 
 3 AN AB AN MN AN MN
(2.0 điểm) 2 2 2 2 2 2 2
 AD AD CN CM CN + CM MN
 + = + = 2 = 2 = 1 
 AM AN MN MN MN MN
 (Pytago) 
 2 2
 AD AD 1 1 1
 + = 1 2 2 2 (đpcm)
 AM AN AM AN AD
 Cõu 9: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường 
 thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
 b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD+CM.CA cú giỏ 
 trị khụng đổi.
 c) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. 
 Chứng minh CQ  PD . E
 D
 A
 M
 Q
 B C
 P I H
 a) Chứng minh EA.EB = ED.EC. Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g)
 EB ED
 4 - Từ đú suy ra EA.EB ED.EC
 EC EA
 b) Kẻ MI vuụng gúc với BC ( I BC) . Ta cú BIM đồng dạng với BDC (g-g)
 BM BI
 BM.BD BI.BC (1)
 BC BD
 CM CI
 Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) CM.CA CI.BC (2)
 BC CA
 Từ (1) và (2) suy ra BM.BD CM.CA BI.BC CI.BC BC(BI CI) BC 2 (khụng đổi)
 c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) 
 BH BD 2BP BD BP BD
 DH DC 2DQ DC DQ DC
 - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) Bã DP Dã CQ 
 mà Bã DP Pã DC 90o Dã CQ Pã DC 90o CQ  PD
Bài 10: Cho tam giỏc ABC nhọn cú cỏc đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
 HD HE HF
 a. Tớnh tổng: 
 AD BE CF
 b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2
 c. Chứng minh: H cỏch đều ba cạnh tam giỏc DEF.
 d. Trờn cỏc đoạn HB,HC lấy cỏc điểm M,N tựy ý sao cho HM = CN. 
 Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luụn đi qua một điểm cố định.
 5 A
 E
 F
 H
 M
 K
 I
 B
 N
 D
 C
 O a HD S(HBC)
 Trư￿c h￿t ch￿ng minh: = 
 AD S(ABC)
 HE S(HCA) HF S(HAB)
 Tương t￿ cú: ; 
 BE S(ABC) CF S(ABC)
 HD HE HF S(HBC) S(HCA) S(HAB) HD HE HF
 Nờn = = 1
 AD BE CF S(ABC) AD BE CF
 b Trư￿c hờt ch￿ng minh BDH : BEC BH.BE = BD.BC
 Và CDH : CFB CH.CF = CD.CB.
 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (đpcm)
 c Trước hết chứng minh: AEF : ABC ãAEF ãABC
 Và CDE : CAB Cã ED Cã BA 
 ãAEF Cã ED mà EB  AC nờn EB là phõn giỏc của gúc DEF.
 Tương tự: DA, FC là phõn giỏc của cỏc gúc EDF và DFE.
 Vậy H là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc DEF 
 nờn H cỏch đều ba cạnh của tam giỏc DEF (đpcm)
 d Gọi O là giao điểm của cỏc đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta cú OMH = 
 ONC (c.c.c) Oã HM Oã CN .(1)
 Mặt khỏc ta cũng cú OCH cõn tại O nờn:Oã HC Oã CH .(2)
 Từ (1) và (2) ta cú: Oã HC Oã HB HO là phõn giỏc của gúc BHC
 Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và p/giỏc của gúc BHC nờn O là điểm cố định. 
 Hay trung trực của đoạn MN luụn đi qua một điểm cố định là O.
Bài 11: Cho hỡnh vuụng ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trờn cạnh BC. Tia Ax vuụng gúc 
với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng 
CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.
 1/ Tứ giỏc MNKE là hỡnh gỡ ? Chứng minh.
 2/ Chứng minh: AK2 = KC . KE.
 3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh BC thỡ tam giỏc CME luụn cú chu vi 
khụng đổi.
 1 1
 4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng khụng phụ thuộc vào 
 AM 2 AG 2
vị trớ của điểm M.
 A B
 N M
 I
 K D E C G
Cõu 1: 0, 75 điểm.
 + Từ MN // AB // CD và MI = IK ỏp dụng định lý Ta let ta cú NI = IE
( 0,25 điểm )
 + Chỉ ra tam giỏc AMK vuụng cõn tại A để cú AE  KM ( 0,25 điểm )
 + Tứ giỏc MNKE là hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau nờn MNKE là 
hỡnh thoi. ( 0,25 điểm )
Cõu 2: 0, 75 điểm. + Từ tớnh chất hỡnh vuụng cú  ACK = 45 0. ( 0,25 điểm )
 + Chứng minh hai tam giỏc AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM. ( 0,5 điểm )
Cõu 3: 1, 0 điểm.
 + Từ hai tam giỏc ABM và ADK bằng nhau ta cú MB = DK nờn EK = MB + ED. 
( 0,25 điểm )
 + Tam giỏc AMK vuụng cõn tại A cú MI = IK nờn AI là trung trực của MK do đú ME = 
EK. ( 0,25 điểm )
 + Từ đú ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. ( 0,25 điểm )
 + KL: ( 0,25 điểm ) 
Cõu 4: 1, 0 điểm.
 + Tam giỏc AMK vuụng cõn tại A nờn AM = AK; do đú 
 1 1 1 1
 = . ( 0,25 điểm )
 AM 2 AG 2 AK 2 AG 2
 + Tam giỏc AKG vuụng tại A nờn AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đú AK 2 . AG2 = 
KG2 . AD2. ( 0,25 điểm )
 + Mặt khỏc lại cú KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nờn ta cú 
 AK 2 AG 2 1 1 1 1
AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay , suy ra = 
 AK 2 .AG 2 a 2 AK 2 AG 2 a 2
 ( 0,25 điểm )
Bài 13 : 
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , trờn cạnh AB và CD lần lượt lấy cỏc điểm M , K sao cho 
 AM = CK . Lấy điểm P nằm trờn cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ). Nối PB , PC cắt MK tại 
 E , F . Chứng minh S S S
 PEF BME CKF
Bài 14:
Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh DC (M D, 
M C) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho  MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F.
 1. Chứng minh:  ABF  AMC
 2.Chứng minh  AFM =  AEN = 90o
 1
 3. Chứng minh S AEF = S AMN
 2
 4. Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC
 5. Gọi H là giao điểm của MF và NE . Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2
 Giải
Bài 14:
 A B
 F
 N
 H
 E I
 K D M C
 1. Chứng minh:  ABF  AMC ( 1,25 điểm)
-Ta cm:  ABF =  ACM = 450
-  BAF =  MAC ( vì cùng cộng với góc CAN bằng 450 )
 suy ra :  ABF  AMC
 2. Chứng minh  AFM =  AEN = 90o ( 1,5 điểm)
Từ AFB  AMC (g.g)