Các Chuyên đề bồi dưỡng HSG Hình học 8

 CHUYEÂN ÑEÀ 1 - CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ ÑÒNH LÍ TA-LEÙT
A.Kieán thöùc: A
1. Ñònh lí Ta-leùt:
 M N
 ABC  AM AN
* Ñònh lí Taleùt  = 
 MN // BC AB AC
 B C
 AM AN MN
* Heä quaû: MN // BC = 
 AB AC BC
B. Baøi taäp aùp duïng:
1. Baøi 1:
Cho töù giaùc ABCD, ñöôøng thaúng qua A song song vôùi BC caét BD ôû E, ñöôøng thaúng qua B song song vôùi AD 
caét AC ôû G
 B
a) chöùng minh: EG // CD
 A
b) Giaû söû AB // CD, chöùng minh raèng AB2 = CD. EG
 O
Giaûi
 E G
Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD
 OE OA
a) Vì AE // BC = (1)
 OB OC
 D C
 OB OG
 BG // AC = (2)
 OD OA
 OE OG
Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: = EG // CD
 OD OC
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD neân
 AB OA OD CD AB CD
 = = AB2 CD. EG
 EG OG OB AB EG AB
Baøi 2: 
Cho ABC vuoâng taïi A, Veõ ra phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc ABD vuoâng caân ôû B, ACF vuoâng caân ôû C. 
Goïi H laø giao ñieåm cuûa AB vaø CD, K laø giao ñieåm cuûa AC vaø BF. Chöùng minh raèng:
a) AH = AK
b) AH2 = BH. CK
Giaûi 
Ñaët AB = c, AC = b. 
BD // AC (cuøng vuoâng goùc vôùi AB) AH AC b AH b AH b
neân D
 HB BD c HB c HB + AH b + c A
 AH b AH b b.c H
Hay AH (1) K F
 AB b + c c b + c b + c
AB // CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AC) neân 
 AK AB c AK c AK c B C
 KC CF b KC b KC + AK b + c
 AK b AK c b.c
Hay AK (2)
 AC b + c b b + c b + c
Töø (1) vaø (2) suy ra: AH = AK
 AH AC b AK AB c AH KC AH KC
b) Töø vaø suy ra (Vì AH = AK)
 HB BD c KC CF b HB AK HB AH
 AH2 = BH . KC
3. Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD, ñöôøng thaúng a ñi qua A laàn löôït caét BD, BC, DC theo thöù töï taïi E, K, G. 
Chöùng minh raèng:
a) AE2 = EK. EG 
 1 1 1
b) 
 AE AK AG
c) Khi ñöôøng thaúng a thay ñoåi vò trí nhöng vaãn qua A thì tích BK. DG coù giaù trò khoâng ñoåi
Giaûi A a B
a) Vì ABCD laø hình bình haønh vaø K BC neân
 b K
AD // BK, theo heä quaû cuûa ñònh lí Ta-leùt ta coù: E
 EK EB AE EK AE 2
 = = AE EK.EG D C G
 AE ED EG AE EG
 AE DE AE BE
b) Ta coù: = ; = neân
 AK DB AG BD
 AE AE BE DE BD 1 1 1 1 1
 = 1 AE 1 (ñpcm)
 AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG
 BK AB BK a KC CG KC CG
c) Ta coù: = = (1); = = (2)
 KC CG KC CG AD DG b DG
 BK a
Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: = BK. DG = ab khoâng ñoåi (Vì a = AB; b = AD laø ñoä daøi hai 
 b DG
caïnh cuûa hình bình haønh ABCD khoâng ñoåi)
4. Baøi 4: Cho töù giaùc ABCD, caùc ñieåm E, F, G, H theo thöù töï chia trong caùc caïnh AB, BC, 
 B
CD, DA theo tæ soá 1:2. Chöùng minh raèng: E
 A
a) EG = FH
 P
b) EG vuoâng goùc vôùi FH H F
 O
Giaûi D Q
Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa CF, DG N M
 1 1 BM 1 BE BM 1
Ta coù CM = CF = BC = = = G
 2 3 BC 3 BA BC 3
 C
 EM BM 2 2
 EM // AC = EM = AC (1)
 AC BE 3 3
 NF CF 2 2
T­¬ng tù, ta cã: NF // BD = NF = BD (2)
 BD CB 3 3
mµ AC = BD (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
 1
T­¬ng tù nh­ trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = AC (b)
 3
MÆt kh¸c EM // AC; MG // BD Vµ AC  BD EM  MG E· MG = 900 (4)
T­¬ng tù, ta cã: F· NH = 900 (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra E· MG = F· NH = 900 (c)
Tõ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gäi giao ®iÓm cña EG vµ FH lµ O; cña EM vµ FH lµ P; cña EM vµ FN lµ Q th× 
P· QF = 900 Q· PF + Q· FP = 900 mµ Q· PF = O· PE (®èi ®Ønh), O· EP = Q· FP ( EMG = FNH)
Suy ra E· OP = P· QF = 900 EO  OP EG  FH
5. Bµi 5: 
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá CD. Tõ D vÏ ®­êng th¼ng song song víi BC, c¾t AC t¹i M vµ AB t¹i K, Tõ C 
vÏ ®­êng th¼ng song song víi AD, c¾t AB t¹i F, qua F ta l¹i vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC, c¾t BC t¹i P. 
Chøng minh r»ng
a) MP // AB
b) Ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
Gi¶i
 CP AF
a) EP // AC = (1)
 PB FB
 CM DC
 AK // CD = (2) D C
 AM AK
 P
 M I
 A K F B c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hµnh nªn 
AF = DC, FB = AK (3)
 CP CM
KÕt hîp (1), (2) vµ (3) ta cã MP // AB (§Þnh lÝ Ta-lÐt ®¶o) (4)
 PB AM
 CP CM DC DC
b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF, ta cã: = 
 PB AM AK FB
 DC DI CP DI
Mµ (Do FB // DC) IP // DC // AB (5)
 FB IB PB IB
Tõ (4) vµ (5) suy ra : qua P cã hai ®­êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn theo tiªn ®Ò ¥clÝt th× ba 
®iÓm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iÓm cña CF vµ DB hay ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
6. Bµi 6:
Cho ABC cã BC < BA. Qua C kÎ ®­êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cña A· BC ; ®­êng th¼ng nµy c¾t 
BE t¹i F vµ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lµm hai phÇn b»ng 
nhau
Gi¶i
Gäi K lµ giao ®iÓm cña CF vµ AB; M lµ giao ®iÓm cña DF vµ BC B
 KBC cã BF võa lµ ph©n gi¸c võa lµ ®­êng cao nªn KBC c©n t¹i B 
 BK = BC vµ FC = FK
 M
MÆt kh¸c D lµ trung ®iÓm AC nªn DF lµ ®­êng trung b×nh cña AKC K
 DF // AK hay DM // AB G
 F
Suy ra M lµ trung ®iÓm cña BC 
 1 A D E C
DF = AK (DF lµ ®­êng trung b×nh cña AKC), ta cã
 2
 BG BK BG BK 2BK
 = ( do DF // BK) = (1)
GD DF GD DF AK
 CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD
Mæt kh¸c 1 1 (V× AD = DC) 1 1
 DE DE DE DE DE DE DE DE
 CE AE - DE AE AB AE AB
Hay 1 2 2 (v× = : Do DF // AB)
 DE DE DE DF DE DF
 CE AK + BK 2(AK + BK) 1 CE 2(AK + BK) 2BK
Suy ra 2 2 (Do DF = AK) 2 (2)
 DE DE AK 2 DE AK AK
 BG CE
Tõ (1) vµ (2) suy ra = EG // BC
 GD DE
 OG OE FO 
Gäi giao ®iÓm cña EG vµ DF lµ O ta cã = = OG = OE 
 MC MB FM 
Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: 
 Cho tø gi¸c ABCD, AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §­êng th¼ng qua O vµ song song víi BC c¾t AB ë E; ®­êng th¼ng 
 song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F
 a) Chøng minh FE // BD
 b) Tõ O kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vµ H. 
 Chøng minh: CG. DH = BG. CH
 Bµi 2: 
 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, ®iÓm M thuéc c¹nh BC, ®iÓm N thuéc tia ®èi cña tia BC sao cho BN = CM; c¸c ®­êng 
 th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. 
 Chøng minh: 
 a) AE2 = EB. FE
 2
 AN 
 b) EB = . EF
 DF 
CHUYEÂN ÑEÀ 2 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN 
 GIAÙC
A. Kieán thöùc: 1. Ñònh lí Ta-leùt: A
 ABC  AM AN
* Ñònh lí Taleùt  = M N
 MN // BC AB AC
 AM AN MN
* Heä quaû: MN // BC = 
 AB AC BC B C
2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: 
 BD AB
 ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A = 
 CD AC
 BD' AB
AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: = 
 CD' AC
 A
B. Baøi taäp vaän duïng
1. Baøi 1:
Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD B D C
 A
a) Tính ñoä daøi BD, CD
 AI
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: 
 ID D' B C
Giaûi
 A
 BD AB c
a) AD laø phaân giaùc cuûa B· AC neân 
 CD AC b
 c
 BD c BD c ac b
 BD = 
 CD + BD b + c a b + c b + c I
 ac ab
Do ñoù CD = a - = 
 b + c b + c B D C
 AI AB ac b + c a
b) BI laø phaân giaùc cuûa A· BC neân c : 
 ID BD b + c a
 A
2. Baøi 2:
Cho ABC, coù Bµ < 600 phaân giaùc AD
a) Chöùng minh AD < AB
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng BC > 4 DM
Giaûi
 C M D B
 Aµ Aµ + Cµ 1800 - Bµ
a)Ta coù A· DB = Cµ + > = 600
 2 2 2
 A· DB > Bµ AD < AB b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d
Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù
 DM AD DM AD DM AD
 = = = 
 CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC
 CD.AD CD. d ab abd
 DM = ; CD = ( Vaän duïng baøi 1) DM = 
 AD + AC b + d b + c (b + c)(b + d)
 4abd
Ñeå c/m BC > 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
 (b + c)(b + d)
Thaät vaäy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m
3.Baøi 3:
Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC theo thöù töï ôû D vaø 
E
a) Chöùng minh DE // BC A
b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE
c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC coù BC coá ñònh, AM 
 I E
= m khoâng ñoåi D
d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù
Giaûi B M C
 DA MB
a) MD laø phaân giaùc cuûa A· MB neân (1)
 DB MA
 EA MC
 ME laø phaân giaùc cuûa A· MC neân (2)
 EC MA
 DA EA
Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DE // BC
 DB EC
 x
 m - 
 DE AD AI x 2a.m
b) DE // BC . Ñaët DE = x 2 x = 
 BC AB AM a m a + 2m
 1 a.m
c) Ta coù: MI = DE = khoâng ñoåi I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân taäp hôïp caùc ñieåm 
 2 a + 2m
 a.m
I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = (Tröø giao ñieåm cuûa noù vôùi BC
 a + 2m
d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoâng ôû A 4. Baøi 4: 
 A
Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E K D
naèm giöõa B vaø K E
b) Chöùng minh: CD > DE > BE
Giaûi M B C
a) BD laø phaân giaùc neân 
 AD AB AC AE AD AE
 = < = (1)
 DC BC BC EB DC EB
 AD AK
Maët khaùc KD // BC neân (2)
 DC KB
 AK AE AK + KB AE + EB AB AB
Töø (1) vaø (2) suy ra KB > EB 
 KB EB KB EB KB EB
 E naèm giöõa K vaø B
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù C· BD = K· DB (so le trong) K· BD = K· DB
 maø E naèm giöõa K vaø B neân K· DB > E· DB K· BD > E· DB E· BD > E· DB EB < DE
Ta laïi coù C· BD + E· CB = E· DB + D· EC D· EC > E· CB D· EC > D· CE (Vì D· CE = E· CB )
Suy ra: CD > ED CD > ED > BE
5. Baøi 5: Cho ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh
 DB EC FA
a. . . 1.
 DC EA FB
 1 1 1 1 1 1
b. . 
 AD BE CF BC CA AB
Giaûi
 DB AB
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa B· AC neân ta coù: = (1)
 DC AC EC BC FA CA
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: = (2) ; = (3) H
 EA BA FB CB
 DB EC FA AB BC CA A
Từ (1); (2); (3) suy ra: . . = . . = 1
 DC EA FB AC BA CB F
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. E
Qua C kÎ ®­êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
 AD BA C
Theo §L TalÐt ta cã: B D
 CH BH
 BA.CH c.CH c
AD .CH
 BH BA + AH b + c
 2bc 1 b c 1 1 1 1 1 1 1 
Do CH < AC + AH = 2b nªn: da 
 b c da 2bc 2 b c da 2 b c 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã : Vµ Nªn: 
 db 2 a c dc 2 a b 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 .2 
 da db dc 2 b c a c a b da db dc 2 a b c 
 1 1 1 1 1 1
 ( ®pcm )
 da db dc a b c
Bµi tËp vÒ nhµ
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK
c) Chöùng minh CE > BD CHUYEÂN ÑEÀ 3 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG
A. Kieán thöùc:
* Tam giaùc ñoàng daïng:
a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c)
 AB AC BC
 ABC A’B’C’ = = 
 A'B' A'C' B'C'
b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c)
 AB AC
 ABC A’B’C’ = ; Aµ = Aµ'
 A'B' A'C'
c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g)
 ABC A’B’C’ Aµ = Aµ' ; Bµ = Bµ'
 A'H' SA'B'C' 2
AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: = k (Tæ soá ñoàng daïng); = K
 AH
 SABC
B. Baøi taäp aùp duïng
Baøi 1:
Cho ABC coù Bµ = 2 Cµ , AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC
b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì moãi caïnh laø bao 
nhieâu? A
Giaûi
Caùch 1:
 E
 B
Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC
 AC AD
 ACD ABC (g.g) 
 AB AC
 C
 2
 AC AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) D
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Caùch 2:
Veõ tia phaân giaùc BE cuûa A· BC ABE ACB
 AB AE BE AE + BE AC
 = AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144
 AC AB CB AB + CB AB + CB
 AC = 12 cm
b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1)