Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Hẳng đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC
A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Bài 1: 
a) Tính 
b) Tính 
Lời giải
a) Ta có: b) Ta xét hai trường hợp
- TH1: Nếu n chẵn thì 
- TH1: Nếu n lẻ thì
 Hai kết quả trên có thể dùng công thức:
Bài 2: So sánh và 
Lời giải
Ta có: 
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
a. 	
b. 
c. 
Lời giải
a. 
b. 
c. Ta có: Bài 4: Chứng minh rằng
a. 
b. 
Lời giải
a. Ta có: VT = 
b. VT = 
Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.
Bài 5: Cho Chứng minh rằng: 
Lời giải
VT = 
Mà: 
Bài 6: Cho . Chứng minh rằng: ad = bc
Lời giải
 VT = 
VP = 
VT = VP 
Bài 7: Chứng minh rằng, nếu:
a. a + b + c = 0 thì 
b. thì x = y = z
Lời giải
a. Ta có : b. Đặt : và 
Từ giả thiết ta có : 
Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 	b. 
Lời giải
a. 
b. 
Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn 
a. 	
 b. 
 c. 
Lời giải
a. Ta có: 
b. Ta có:
c. Ta có:
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 11: Cho . Tính theo a giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Bài 12: Chứng minh là bình phương của một đa thức
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Bài 13: 
a) Cho a, b, c thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức sau 
b) Cho thỏa mãn Chứng minh rằng luôn là tổng của ba số chính phương
c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn thì cũng là số nguyên tố 
Lời giải
a) Ta có:Vậy 
b) Ta có:
c) Ta có:mà ( p nguyên tố ); (q nguyên tố ). Do đó 
Ta có: lẻ, do đó p chẵn là số nguyên tố
Bài 14: [ HSG – năm 2015 ]
Cho a, b, c thỏa mãn: viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức
Lời giải:
Cách 1:
Có: 
Có: 
Cách 2: Ta có: 
HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA
1. 
2. 
Bài 1: Cho . Tính 
Lời giải
Bài 2: Tính 
Lời giải
Ta có: 
Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được: 
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y. 
Lời giải
Ta có: 
Bài 4: Cho . Tính 
Lời giải
Ta có: 
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: 
Áp dụng tính 
Lời giải
Từ giả thiết 
+) 
Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: . Tính 
Lời giải
Đặt 
Bài 9: Cho Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có: 
Do 
Thay các kết quả vào ta được: 
Bài 10: Cho Tính theo m và n 
Lời giải
Cách 1: Từ 
Cách 2: Ta có: 
Lại có: 
Bài 11: Cho Tính giá trị biểu thức sau theo m 
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
HẰNG ĐẲNG THỨC: (a + b + c)3 
Ta có:
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính: 
Lời giải
Đặt 
Bài 2: Phân tích thành nhân tử 
a. 
b. 
Lời giải
a. Đặt
b. Ta có:
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1 
Tính ( n là số tự nhiên lẻ )
Lời giải
 Ta có: 
+) TH1: 
+) Tương tự ta có: A = 1.
Bài 4: Giải các phương trình sau
a. 	 b. 
c. 	d. 
Lời giải
a. Ta có:
b. 
Đặt 
c. 
Bài 5: Cho . Tính 
Lời giải
Cách 1: Nếu 
Cách 2: Bài 6: Giải các phương trình sau: 
Lời giải
Bài 7: Rút gọn 
Lời giải
Đặt 
HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)
Nhận xét
- Nếu 
- Nếu 
Áp dụng:
Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Vì: 
+) Nếu 
+) Nếu 
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải
Ta có: 
+) Nếu 
+) Nếu ( khôn thỏa mãn )
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5) 
Bài 3: Giải phương trình sau: 
Lời giải
Ta có: 
Từ (1), (2) suy ra: 
Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: . 
Tính giá trị của biểu thức: 
Lời giải
Ta đặt Tương tự ta có: 
Bài 5*: Giả sử bộ ba số là nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng bộ ba số cũng là nghiệm của phương trình đó
Lời giải
Ta có: 
Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0
+) Nếu: 
Từ: 
+) Nếu: 
Tương tự ta có: 
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
Đặt 
Vậy bộ ba số cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a) với a, b, c là các số thực thỏa mãn: 
b) với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: 
Bài 2: Cho Tính giá trị của biểu thức 
Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn Chứng minh rằng chia hết cho 81
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a) b) 
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG
1. 
2. 
3. 
Áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được:
Bài toán được chứng minh.
Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Áp dụng ta được: 
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	
b. 
c. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn
a. 
b. 
c.	 
d. 
e. 
Lời giải
a. 
b. c. 
d. e. 
Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 	b. 
Lời giải
a. Ta có:
b. 
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2. Tính a4 + b4 + c4
Lời giải
Ta có: Có: 
Từ (1) suy ra: 
Thay vào (2) ta được: 
Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: thì 
Lời giải
Từ (1) suy ra: 
HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp )
1. 
2. 
3. 
4. 
5. ( với n lẻ )
Áp dụng:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau
a. 	 b. 
c. 
Lời giải
a. Ta có: b. Ta có: c. Ta có: 
Bài 2: Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có: Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: , n chẵn
Lời giải
Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19
Từ (1) và (2) 
Bài 4: Tìm n thuộc N* để là số nguyên tố 
Lời giải
Ta có 
+) Nếu n > 1 thì A > n2 + n + 1 suy ra A là hợp số
+) Nếu n = 1 thì A = 3 ( thỏa mãn ). Vậy n = 1
Bài 5: Chứng minh rằng số
a. là hợp số 	b. là hợp số 
Lời giải
a. Ta có: 
 Là hợp sô
b. 
 và B > nên B là hợp số.
Bài 6: Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có 111 = 37 . 3 = 102 + 10 + 1
Bài 7: Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có:
Vậy A chia hết cho 7. 271 = 1897.
Bài 8: Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có 133 = 112 + 11 +1
Vậy 
Bài 9: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Khai triển và rút gọn ta được: 
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức 
Lời giải
Ta có: 
Bài 11: Tìm x, y, z thỏa mãn
a. 	
b. 
Lời giải
a. 	
b.