Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 12: Bổ đề hình thang và chùm đường thẳng đồng quy

CHUYÊN ĐỀ 12 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
A. Kiến thức:
1) Bổ đề hình thang:
“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy”
Chứng minh:
Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F 
Nối EG, FG, ta có: ADG CBG (g.g) , nên :
 (1)
Ta lại có : (SL trong ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AEG CFG (c.g.c)
Do đó: E , G , H thẳng hàng (3)
Tương tự, ta có: AEH BFH
 H , E , F thẳng hàng (4)
Tõừ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng
2) Chùm đường thẳng đồng quy:
Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
 Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại A, B, C và cắt n tại A’, B’, C’ thì 
 hoặc 
* Đảo lại:
+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định ra trên hai đường thẳng song song các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy
+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng song song với nhau
B. Aùp dụng:
1) Bài 1:
Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm CD, N là trung điểm CB. Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành
Giải
Gọi E, F là giao điểm của AM, AN với BD; G, H là giao điểm của MN với AD, BD
MN // BC (MN là đường trung bình của BCD)
 Tứ giác HBFM là hình thang có hai cạnh bên đòng quy tại A, N là trung điểm của đáy BF nên theo bổ đề hình thang thì N là trung điểm của đáy MH 
MN = NH (1)
Tương tự : trong hình thang CDEN thì M là trung điểm của GN GM = MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra GM = MN = NH
Ta có BNH = CNM (c.g.c) BH // CM hay AB // CD (a)
Tương tự: GDM = NCM (c.g.c) GD // CN hay AD // CB (b)
Từ (a) và (b) suy ra tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành
2) Bài 2:
Cho ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: HM PQ
Giải
Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (N AB), 
ta chứng minh MH CN HM PQ
Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN MK là đường trung bình của BCN MK // CN MK // AB (1)
H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK CH MK là đường cao củaCHK (3)
Từ AH BC MCHK MI là đường cao của CHK (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHK MHCN MHPQ 
3) bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC.
Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của 
Giải 
Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN
Ta có: MN // CD (MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD) 
 Tứ giác EMNH là hình thang có hai cạnh bên EM và HN đồng quy tại K và I là trung điểm của MN nên C là trung điểm của EH
Trong ENH thì NC vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên ENH cân tại N NC là tia phân giác của mà NC MN (Do NM BC – MN // AB) NM là tia phân giác góc ngoài tại N của ENH
Vậy NM là tia phân giác của 
Bài 4:
Trên cạnh BC = 6 cm của hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho BE = 2 cm. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3 cm. Gọi M là giao điểm của AE và BF. 
Tính 
Giải
Gọi giao điểm của CM và AB là H, của AM và DF là G
Ta có: 
Ta lại có 
 FG = 9 cm BH = BE
BAE = BCH (c.g.c) mà = 900 
Mặt khác = 900 = 900
Bài 5:
Cho tứ giác ABCD. Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ các đường thẳng song song với BD, cắt các cạnh còn lại của tứ giác tại F, G
a) Có thể kết luận gì về các đường thẳng EH, AC, FG
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, cho biết OB = OD. Chứng minh rằng ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy
Giải
a) Nếu EH // AC thì EH // AC // FG
Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy
b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC
Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy tại A và OB = OD nên theo bổ đề hình thang thì M là trung điểm của EF
Tương tự: N là trung điểm của GH
Ta có nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy tại O