Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ
Phương pháp: 
- Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do, q kà ước dương của hệ số cao nhất
- Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là: x – 1
- Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là: x + 1
- Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do. 
1. Đối với đa thức bậc hai : ax2 + bx + c
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx
- Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = .....
- Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b
- Tách bx = a1x + c1x 
- Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b. 	c.
d. 	 e. 
Lời giải
a) Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà 2 + 6 = 8 nên ta được: 
b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 
c) 	d) 
e) 
Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2
- Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức: 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
Lời giải
Ta có: 
Cách 3: Tách hạng tử tự do c
- Ta tách c thành c1 và c2 để dùng phương pháp nhóm hạng tử hoặc tạo ra hằng đẳng thức bằng cách c1 nhóm với ax2 còn c2 nhóm với bx
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b) 	 c) 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
2. Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm )
Cơ sở để phân tích: Xét đa thức 
+) Nếu x = a là nghiệm của P(x) thì P(a) = 0
Hệ Quả : Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của a0
+) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm x = a thì Pn(x) = (x - a). H(x) bậc (n - 1) 
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì Chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhận tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1: 
Cách 2: 
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b. 
Lời giải
a. Ta có các ước của 4 là: 
Nhận thấy x = -2 là nghiệm của đa thức vậy đa thức có 1 nhân tử là: x – (-2) = x + 2
Hoặc: 
b. Nhận thấy x = -1 là nghiệm của đa thức nên có 1 nhân tử là: x + 1
*) Chú ý: 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b. 	 c. d. 	 e. 
Lời giải
a. Ta có: 2 + 5 = 7 nên đa thức có 1 nhân tử là x + 1. 
b. Ta có tổng các hệ số bằng 0 và tổng chẵn cũng bằng tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1
c. Ta có x = -3 là nghiệm nên có nhân tử là x + 3
d. Ta có: x = -1 là nghiệm của đa thức nên có nhân tử là: x + 1
e. Ta có tổng chẵn bằng tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau đó lại tổng chẵn bằng tổng lẻ. 
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử
 (a - 1), (a - 3) và (a + 8), 
Ta có:
=
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Nhận xét : Tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là: x + 1
Như vậy ta có : 
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x = 2, hay có 1 nhân tử là: x - 2
Ta có: 
=
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có: 
= = 
*) Trường hợp đặc biệt: Đa thức không có nghiệm nguyên.
Xét đa thức 
+) Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm 
Bài 12: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	 b. 
c. 
Lời giải
a. Các ước của 5 là:. Nhận thấy đa thức không có nghiệm nguyên, ta đi tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức
 ta thấy nghiệm của đa thức là nên có nhân tử hay 3x -1
Vậy: 
b. Ta thấy đa thức có 1 nhân tử là: 
Lại có nhân tử là: 3x + 4 
c. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Nhận xét: Tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – 1 ta được: 
Vì không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ nên không phân tích được nữa
Vậy 
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Cách 1: 
Cách 2: 
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính 
Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
Nên ta làm như sau:
Đặt 
Đa thức trở thành : 
Thay t trở lại ta được :
Vậy 
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau : 
Đặt 
=
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là , nên có nhân tử là : (3x - 1)
nên ta có :
Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là , nên có nhân tử là : (2x - 1)
Nên ta có : 
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)
Ta có : 
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2
Như vậy ta có : 
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 24: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có:
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x = 2, hay có 1 nhân tử là x - 2
Ta có : 
 = 
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có : 
= 
= 
3. Đối với đa thức nhiều biến
Tương tự như phân tích đa thức dạng: 
Bài 28: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 
c. 	d. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
d. Ta có:
B. PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
– Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
– Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Bài 1: Phân tích thành nhân tử 
Lời giải:
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải:
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 4: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 5: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
C. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Cần nắm chắc cách biến đổi các hằng đẳng thức sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6, 
7) 
8) 
9) . 
10) . 
11) . 
12) . 
13) 
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a. 	 b. 
c. 	 d. 
Lời giải
a. 
b. 
c. Ta có:
d. Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a. 	 b. 
c. 	 
Lời giải
a. Ta có:b. Ta có: 
c. Ta có:Bài 3: Cho biểu thức: 
a) Phân tích A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0
Lời giải
a) Ta có: 
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên:
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:	
Lời giải
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( Sử dụng tách hạng tử )
a. 	 b. 
c. d. 
e. 
Lời giải
a. 	 
b. 
c. 
d. 
e. 
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 4: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( dùng hằng đẳng thức )
a. 	b. 
Lời giải
a. 
b. 
D. PHƯƠNG PHÁP THÊM, BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
- Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và sủ dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,
- Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng thức số 3: 
- Đôi khi thêm, bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung
1. Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức: a2 – b2
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
e. 
f. 
2. Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 	c. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 	
c. d. 
Lời giải
a. 
b. 
Hoặc: 
c) Cách 1: 
Cách 2: 
Cách 3: 
d) Ta có: 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	
Lời giải
a) Ta có :
b) Ta có : 
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	c)
Lời giải
a) Ta có : 
b) Ta có : 
c) Ta có : 
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
= 
= 
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
= 
c) Ta có: 
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	c) 	
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có:
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có: 
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Ta có:
= 
b) Ta có: 
= 
c) Ta có: 
= 
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	
Lời giải
a) Ta có: = 
b) Ta có: = 
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
= 
= 
= 
c) Ta có: 
E. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1. Dạng P(x) = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0)
Đặt t = x2, ta được G(t) = at2 + bt + c. Sau đó dùng phương pháp tách hạng tử
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Đặt , ta được: 
2. Dạng A(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e mà a + b = c + d
Cách giải: 
Đặt ta có: 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có : 
Đặt , Khi đó đa thức trở thành : 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có : 
Đặt : , Khi đó đa thức trở thành 
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Đặt , Khi đó đa thức trở thành : 
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Ta có : 
Đặt : , khi đó đa thức trở thành : 
Thay t trở lại ta được : 
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 
Lời giải
a) 
b) 
Bài 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 	b) 
Lời giải
a) 
Đặt 
b) Ta có:3. Dạng: (x + a)4 + (x + b)4
Đặt ta có: 
 ( Dạng 1)
Bài 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 	 c. 
Lời giải
a. Đặt 
b. Đặt 
c. 
4. Dạng 
Cách giải: 
Đặt 
Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 
c. 
Lời giải
a. 
Đặt 
b. 
Có 
Đặt ; 
c. 
Đặt 
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính 
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau, nên ta làm như sau:
Đặt . Đa thức trở thành :
Thay t trở lại ta được :
Vậy 
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Đặt đa thức trở thành : 
Thay t trở lại ta được :
Vậy 
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Đặt đa thức trở thành : 
Thay t trở lại ta được :
Vậy 
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Đặt đa thức trở thành : 
Thay t trở lại ta được : 
Vậy 
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có :
, Đặt : , Khi đó đa thức trở thành :
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1. Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm như sau:
Đặt Đa thức trở thành :
Thay t trở lại ta được : 
Vậy 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Đặt khi đó đa thức trở thành : 
Thay t trở lại đa thức ta được : 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Đặt khi đó đa thức trở thành : 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Đặt , Khi đó đa thức trở thành : 
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Đặt : , Khi đó đa thức trở thành : 
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
, Đặt: =>
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Đặt : , khi đó đa thức trở thành : 
, thay t trở lại ta được :
Thay t trở lại đa thức ta được : 
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Ta có :
Đặt 
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Đặt ta được :
Lại có : 
Do đó :
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Lời giải
Đặt 
F. Đối với đa thức bậc cao có dạng luôn luôn có nhân tử chung là bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất hiện bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
= 
= 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
=
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
=
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
 =
G. ĐỐI VỚI ĐA THỨC ĐA ẨN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
= = 
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: = 
= = 
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có:
= = 
= 
= 
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có:= 
= 
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: = 
= = 
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
= = 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
= = 
= = 
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có:
= 
= 
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có:
= = 
= 
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: = 
= = 
= = 
= 
= 
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
Đặt: khi đó đa thức: 
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Đặt: , 
Khi đó ta có: , 
Lại có : và ,
Thay vào ta được : 
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có : = 
= = 
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có :
= = 
= 
= 
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có : = 
= 
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có : = 
= = 
= 
Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có :
= 
= 
= 
= 
= 
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có :
= 
= 
= 
= 
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có :
= 
= 
= 
= 
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có := 
= = 
= = 
Bài 24: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
F. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
- Chú ý: Hai đa thức bằng nhau khi hệ số của mỗi lũy thừa tương ứng trong hai đa thức bằng nhau
- Phương pháp này dùng cho đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b. 
c. d. 
e. f. 
Lời giải
a. Ta nhận thấy đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ
Giả sử 
Đồng nhất các hệ số ta được: 
+) 
b. Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có 1 nhân tử là x + 1
Cách 2: Giả sử 
Đồng nhất các hệ số: 
c. 	d. 
e. Giả sử 
f. 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
= 
= 
= = 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
= 
= 
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Ta có: 
= 
= 
= 
= 
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
Đồng nhất hệ số ta có: 
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 	
Lời giải
Ta có: 
= = 
= = 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 	c. 
Lời giải
a. Ta có:
b. 
c. 
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	 
 b. 
c. 
d. 
e. 
Lời giải
a. Ta có 
Đặt 
b. Ta đã biết: Nếu 
Đặt 
c. Tương tự câu b. 
d. Đặt ; 
Ta có: 
e. Đặt thì: 
Bài 3: Cho x, y, z thuộc Z. Chứng minh rằng: là số chính phương
Lời giải
Ta có: 
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	b. 
c. 	d. 
Lời giải
a. Ta có:
b. Ta có: 
c. Ta có:
d. Ta có: 
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 
b. 
Lời giải
a. Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử là x - 2 và x - 3
b. Nhận thấy đa thức có 2 nhân tử là: x – 1 và 3x + 2
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b. 
c. d. 
Lời giải
Đặt 
a. 
b. 
c. Ta có:d. Ta có: Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b. 
Lời giải
a. Đặt 
b. Đặt 
Bài 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b. 
c. d. 
Lời giải
a. Đặt suy ra: 
b. Đặt 
c. Đặt d. Đặt Bài 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a. Đặt 
b. Đặt 
c. Đặt 
Ta có: 
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức
Bài 1: Cho a + b + c = 0 , Rút gọn 
Lời giải
Ta có: 
Vì 
B. Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh
Bài 2: Cho Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là 1 số chính phương.
Lời giải
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 ( n thuộc N* )
Theo bài ra ta có: 
Bài 4: Chứng minh rằng số chia hết cho 1 SCP khác 1 với mọi n nguyên dương.
Lời giải
Ta có: 
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, ta có: 
Lời giải
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: 
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, biểu thức: là số nguyên 	
Lời giải
Ta có: 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP PHÂN TÍCH 
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 	 b. 
c. d. 
e*. 
Lời giải
a. Ta nhận thấy nếu b = c thì A = 0. Vậy đa thức có 1 nhân tử là b – c
b. Nhận thấy nếu c = 2a thì B = 0. Vậy đa thức có nhân tử là c – 2a
c. Nhận thấy a = b nên có nhân tử a – b
d. Dự đoán c = 3b, vậy đa thức có nhân tử là 3b – c
e. Ta không nhẩm được nghiệm của đa thức
Bài 2: [ HSG – BG – 30/03/2013 ]
Bài 3: [ HSG – Long Biên – Hà Nội – 2015 ]
a. Phân tích: 
b. Dựa vào kết quả hãy chứng minh: 
Lời giải
a. 
b. A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp 
Bài 4: [ Bắc Giang 2013 ]
a. 	 b. 
Lời giải
a. 
b. 
Bài 5: [ Bắc Giang – 2014 ]
a. 	 b. 
c. 	
Lời giải
a. 
b. 
c. 
CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
A. Công thức
Trong đó: 
+) Quy ước: 0!=1
+) 
+) Bảng tam giác Pascal
n = 2 	1	2	1
n = 3 	1	3	3	1
n = 4 	1	4	6	4	1
n = 5 	1	5	10	10	5	1
n = 6 	1	6	15	20	15	6	1
n = .....
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Phân tích thành nhân tử: 
Lời giải
Bài 2: Cho Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ: 
Bài 3: Cho Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Lại có: 
Bài 4: 
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Ta cần chứng minh: 
Bài 5: Cho a,b là các số nguyên. CMR số sau là số chính phương 
Lời giải
Bài 6: Giải phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 7: Cho a, b, c là các số nguyên, CMR: 
Lời giải
Bài 8: Chứng minh rằng: 
Lời giải
+) 
+) 
+) 
Bài 9: Chứng minh rằng: 
Lời giải
+) n = 1 ; n = 2 thì thỏa mãn
+) 
Lại có:
Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh.