Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 4: Phương trình đại số

CHUYÊN ĐỀ 4:
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
- Là phương trình có dạng: ax = b phụ thuộc vào tham số m
(Vô số nghiệm)
+) Nếu 
 +) Nếu 
Bài 1: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau
a. b. 
c. d. 
Lời giải
a. 
(Vô số nghiệm)
+) Nếu 
(Vô nghiệm)
+) Nếu 
b. 
+) Nếu 
+) Nếu (vô số nghiệm) 
Vậy nếu:
 +) Nếu phương trình có vô số nghiệm
+) Nếu m = 1 phương trình vô nghiệm
c. 
+) 
+) (vô nghiệm) 
d. 
Ta có: suy ra phương trình luôn có nghiệm 
Bài 2: Cho phương trình 
a. Tìm m để x = 3 là nghiệm của phương trình
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
c. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Lời giải
a. Thay x = 3 vào phương trình, ta được: 
b. 
Để phương trình có nghiệm thì xảy ra 2 trường hợp
+) Phương trình có nghiệm duy nhất khi 
+) Phương trình có vô số nghiệm 
Vậy thì phương trình luôn có nghiệm
c. Để phương trình có nghiệm duy nhất thì 
Vậy 
Bài 3: Cho phương trình Tìm m sao cho
a. Phương trình nhận 1 là nghiệm
b. Phương trình có nghiệm
c. Phương trình vô nghiệm
Lời giải
a. Thay x = 1 vào phương trình ta được 
b. Phương trình có nghiệm xảy ra 2 trường hợp là có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm 
+) Phương trình có nghiệm duy nhất khi 
+) Phương trình có vô số nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm với mọi m
c. Phương trình vô nghiệm 
Bài 4: Tìm để phương trình có nghiệm nguyên
Lời giải
+) Nếu thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu 
Bài 5: Giải và biện luận các phương trình sau
a. b. 
c. d. 
Lời giải
a. Điều kiện: 
+) nghiệm này phải khác -1 
Vậy với 
Với m = 5 phương trình vô nghiệm
+) khi đó phương trình trở thành 0x = -5 (vô nghiệm)
b. Điều kiện xác định: 
+) . Xét 
+) (vô nghiệm). Xét 
Vậy thì phương trình vô nghiệm
 suy ra phương trình có nghiệm 
c. Điều kiện 
+) phương trình vô nghiệm
+) 
Vậy thì phương trình có nghiệm 
Vậy phương trình vô nghiệm
d. Điều kiện 
Xét 
Vậy phương trình có nghiệm 
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau
a. b. 
c. d. 
Bài 2: Tìm m để mỗi phương trình sau có 1 nghiệm 
a. b. 
Hướng dẫn
a. 
b. . 
Vậy thì phương trình có 1 nghiệm 
Bài 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm : 
Hướng dẫn
Để phương trình vô nghiệm thì 
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có vô số nghiệm : 
Lời giải
 có vô số nghiệm 
Bài 5: Với giá trị nào của m thì: 
a. có nghiệm dương b. có nghiệm lớn hơn -1
c. có nghiệm duy nhất
Lời giải
a. 
b. 
+) thay vào phương trình vô nghiệm
+) 
c. có nghiệm duy nhất 
Bài 6: Tìm a để phương trình có nghiệm nguyên: 
Lời giải
Để 
( Vì a có thể không nguyên )
+) Nếu a nguyên 
Bài 7: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 
Lời giải
Điều kiện: 
+) . Vì 
Bài 8: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình vô nghiệm
Lời giải
Điều kiện: 
+) TH1: m ≠ -7 thì . Vì nên ta có các trường hợp sau:
Với 
Với 
Vậy phương trình vô nghiệm khi 
Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: 
Lời giải
Điều kiện xác định: 
Vì phương trình nghiệm đúng với mọi 
Hay 
 +) vì điều kiện 
 +) 
 +) 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Dạng tổng quát: 
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
a. b. 
c. 
Lời giải
b. 
c. 
+) Nếu 
	+) 
	+) 
+) Nếu 
	+) thì bất phương trình vô số nghiệm
	+) thì bất phương trìn vô nghiệm
Ví dụ 2: Giải các hệ bất phương trình sau
a. b. 
c. d. 
Hướng dẫn
a. 
b. 
*) Giải và biện luận bất phương trình 
+) Nếu 
	+) 
	+) 
+) Nếu 
	+) thì bất phương trình vô số nghiệm
	+) thì bất phương trìn vô nghiệm
Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau
a. b. 
c. d. 
Lời giải
a. 
+) thì 
+) 
+) ( vô số nghiệm ) 
b. 
+) 
+) 
+) vô nghiệm
c. 
+) 
+) 
+) suy ra phương trình vô nghiệm
 d. 
+) 
+) 
+) vô số nghiệm. 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
A. Phương trình bậc cao đưa về dạng tích
1. Phương trình bậc cao đưa về phương trình tích
- Dùng phương pháp nhẩm nghiệm
- Dùng định lý Bezut: Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = a thì 
- 
Nếu f(x) có nghiệm hữu tỷ 
- Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 1 thì có nghiệm x = 1
- Nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì ó nghiệm x = 1
- Có thể sử dụng lược đồ Hoocne
VD: 
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. b. c. 
d. e. f. 
Lời giải
a. 
b. 
c. Ta có:d. 
e. 
f. 
Bài 2: (HSG – Đông Anh – 2003) 
Giải các phương trình sau
a. b. 
Lời giải
a. 
b. 
Bài 3: Giải các phương trình sau
a. b. c. 
d. e. f. 
Lời giải
a. Ta có tổng các hệ số = 0 nên có nhân tử là x – 1
b. Ta có:
c. 
d. Ta có:
e. Ta có:
f. Ta có:
Bài 4: Dùng cách đặt ẩn phụ giải các phương trình sau
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 f. 
g. 
Lời giải
Đặt khi đó: 
b. 
Đặt khi đó:
c. Đặt 
d. 
Đặt 
e. 
f. Ta có: g. Đặt khi đó:
B. Phương trình dạng: 
Đặt 
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. b. 
c. d. 
e. f. 
Lời giải
a. Ta có:
b. 
c. Ta có:+) 
+) (vô nghiệm) 
d. 
Đặt ta được:
e. Nhân với 8 ta được: 
Đặt ta được:
f. 
Nhân hai vế với 24 ta được: 
Đặt ta được: 
Bài 2: Giải các phương trình sau
a. b. 
Lời giải
a. Ta có:
b. Ta có:
Bài 3: HSG Bắc Giang 30/03/2013. 
Giải phương trình sau: 
Lời giải
+) Nếu x ≥ 2 thì:
+) Nếu x < 2 thì:
Vậy phương trình có nghiệm 
C. Phương trình dạng: 
Cách 1: Đặt 
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 
a. b. 
Lời giải
a. Đặt ta được:
b. 
Cách 2: 
+) Kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm hay không?
+) Xét 
Chia cả hai vế cho x2 ta được: 
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 
Lời giải
Do x = 0 không thỏa mãn phương trình nên ta chia cả hai vế cho x2, được:
Đặt ta được: 
D. Phương trình dạng: 
Cách giải: Đặt ta được:
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. b. 
c. d. 
e. 
Lời giải
a. Đặt t = x – 3 ta được: 
b. Đặt t = x + 2 ta được: 
c. 
Đặt y = x – 3 suy ra: ta được:
d. Đặt ta được: 
( do nhưng không xảy ra dấu “ = “)
e. 
E. Phương trình dạng: ax4 + bx3 + cx + a = 0 ( phương trình đối xứng )
Cách giải: 
Đặt hoặc 
Ví dụ: Giải phương trình sau 
Lời giải
Đặt ta được:
F. Phương trình dạng: ax5 + bx4 + cx3 + bx + a = 0 ( phương trình đối xứng )
- Nhận thấy x = -1 là nghiệm của phương trình vậy vế trái của phương trình có 1 nhân tử là x + 1
Sau đó phương trình quay trở về dạng E
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a. b. 
c. 
Lời giải
a. 
b. Ta có:
Đặt ta được: 
c. Ta có:
Giải (*):
Với x = 0 phương trình vô nghiệm.
Với x ≠ 0 ta có: 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
G. Phương trình dạng: 
- Phương trình ở trường hợp 4 là trường hợp đặc biệt của phương trình này
- Cách giải:
+) Đặt 
+) Xét , chia cả hai vế cho 
Đặt phương trình bậc hai 
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a. b. 
c. 
d. [ HSG Nam Trực – 2015 ] 
e. 
Lời giải
a. Do x = 0 không thỏa mãn phương trình nên ta chia cả hai vế cho x2, được:
b. Ta có:
c. Ta có:
d. Ta có:
Vậy phương trình có tập nghiệm 
e. +) Với x = 0 không là nghiệm của phương trình
 +) Với x ≠ 0 chia cả hai vế cho x2 ta được: 
Đặt ta được: 
BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI 
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. b. 
Lời giải
a. Điều kiện: x ≠ -29, x ≠ -30
+) 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
b. 
+) x = 0 không là nghiệm của phương trình
+) Chia cả hai vế cuả phương trình cho x3 ta được:
Đặt 
Thay vào phương trình ta được: