Các Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 5: Đồng nhất thức

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐỒNG NHẤT THỨC
A. Các bài toán về biểu thức nguyên
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Nhị thức Newton: 
Bài 1: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính A = a4 + b4 + c4
Lời giải:
Ta có: 
Lại có: 
Từ (1) suy ra:
Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Tính 
Lời giải 
Từ : 
Bài 3 : Cho x + y + z = 0 , chứng minh rằng
a. 	 b. 
c. 
Lời giải:
a. 
Từ (1), (2) suy ra :
Thay vào (1), ta được : 
b. 
Từ x + y + z = 0 suy ra : 
Theo câu a, ta có : khi x + y + z = 0 
Thay vào (1), ta được : 
c. Ta có : , thay vào (*), ta được : 
Bài 4 : Chứng minh rằng
a. 
b. 
Lời giải 
a. 
b. 
Bài 5 : Cho a + b + c = 4m. Chứng minh rằng
a. 
b. 
Lời giải:
a. 
b. Từ 
Tương tự: Bài 6: 
a. Cho 
Chứng minh rằng: 
b. Nếu . Chứng minh rằng: 
Lời giải
a. Theo (*)
Giả sử: 
b. Theo câu a, ta có: 
Vì là số chẵn 1 trong 3 số x, y, z là số chẵn 
Bài 7 : Cho . Tính 
Lời giải
Ta có : 
Dấu « = » xảy ra khi b = 0 hoặc b = 1.
Tương tự : . Dấu « = » xảy ra khi c = 0 và c = 1.
Mặt khác ta lại có : 
có 1 số bằng 1 và 2 số bằng 0 
Bài 8 : Tìm các số a, b, c sao cho : 
Lời giải:
Ta có: 
Bài 9: Cho a, b thỏa mãn: 
Tính A = a + b
Lời giải:
Vậy A = 2.
Bài 10: Chứng minh rằng 
Lời giải
+) Xét 
Với 
Với 
Với 
Vậy A > 0 với mọi x.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho: là bình phương của đa thức 
Lời giải:
+) 
+) 
Bài 2: Cho Tính 
Lời giải:
Ta có: 
Bài 3: Chứng minh rằng: 
Lời giải
+) Với 
+) Với 
+) Với 
Bài toán được chứng minh
Bài 4: Chứng minh rằng
a. Nếu a + b + c ≥ 0 thì 
b. 
Lời giải
a. Có: 
mà nên:
Tương tự: 
b. 
CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: a. Cho a – 2b = 5. Tính giá trị biểu thức 
b. Biết 2a – b = 7. Tính 
c. Biết . Tính 
d. Cho và Tính 
e. Biết . Tính 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có : 2a – b = 7 thì b = 2a – 7 do đó :
c) Ta có:
Từ giải thiết: d) Ta có:
Cách 1: Ta có:
Cách 2: 
Do 
e) Ta có: 
Bài 2: Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. b. c. d. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
d. 
Cách 2: 
Bài 3: Cho . Tính và 
Lời giải
Có: 
Chia cả hai vế cho x ta được: 
Ta có: 
Bài 4: Cho . Tính và 
Lời giải
Có: 
Ta có:
Lấy (1).(2) được: 
Bài 5: Cho . Tính 
Lời giải
Ta có: 
Từ (2) ta có: 
Thay (3) vào (4), ta được: 
Bài 6: Biết và . Tính 
Lời giải
Ta có: 
Bài 7: Tính , biết 
Lời giải
Ta có:Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c
Lại có : 
Bài 8: Cho a.b.c = 2, rút gọn : 
Lời giải
Bài 9: Cho a + b + c = 0, rút gọn : 
Lời giải
Từ: 
Tương tự: 
Ta có:
Do đó: 
Bài 10: Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: . 
Tính 
Lời giải
Từ: 
Mặt khác: 
Bài 11: [ HSG Yên Phong – 2015 ]
Cho a, b, c thỏa mãn: . 
Tính 
Lời giải
Ta có:
Vậy M = 1 với a = b = c = 1.
Bài 12: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. 
Tính 
Lời giải
Từ: 
Do đó: 
Bài 13: Cho x, y, z đôi một khác nhau và Từ: .
 Tính 
Lời giải
Từ : 
Có : 
Tương tự: 
Tử số của A 
Bài 14: Tính 
Lời giải
+) Trường hợp:
Do đó: 
+) Trường hợp ta có: 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. 
Tính 
Lời giải
Từ : 
Tương tự : 
Bài 2*: Biết a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức sau, 
Lời giải
Đặt 
Ta có: 
Tương tự: 
Ta có:
B. Chứng minh đẳng thức thỏa mãn điều kiện của biến
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ (1) suy ra:
Bài 2: Cho , thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
+) 
Chứng minh tương tự, ta có điều phải chứng minh.
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng 
Lời giải
Để xuất hiện a2, b2, c2 ta nhân với a + b + c ta có:
Bài 4: Cho a + b + c = x + y + z = 0 và . Chứng minh rằng : 
Lời giải
Cách 1: 
Ta có :
Ta có : 
Cách 2 : Ta có 
Do đó :
Từ 
Tương tự: 
Có: 
Bài 5: [ GVG- Yên Phong – 2014] 
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn : và a + b + c = 1. 
Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có : 
Có : Bài 6: Cho . Chứng minh rằng : hoặc 
Lời giải
Từ : 
Bài 7: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ : 
 nhân với 
Tương tự : 
Bài 8: Cho x, y, a, b là những số thực thỏa mãn : và 
Chứng minh rằng : 
Lời giải
Nếu xong
Ta có : 
Bài 9 : [ HSG Quảng Xương – 20/04/2015]
Cho ba số a, b, c khác 0, thỏa mãn: . 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ ta có : 
Tương tự: 
Bài 10: Cho với và . 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Đặt 
Từ x + y + z = 0 suy ra: 
Bài 11: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Có 
Chia cả hai vế cho abc 
Bài 12: Cho và . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Theo đầu bài: 
RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1: Rút gọn 
Lời giải
Ta có:
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
a. 
b. 
Lời giải
a) Ta có:
b) Đặt 
Tử số Mẫu số 
Tuơng tự: 
Bài 3: Rút gọn 
Lời giải
+) 
+) 
+) 
Bài 4: Thực hiện phép tính sau
Lời giải
Đặt 
MS: 
Tương tự: 
Tử số của 
Bài 5: Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x :
Lời giải
+) 
+) 
Bài 6: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c
a. 
+) 
+) 
b. 
C. Chứng minh phân số tối giản
- Có hai cách cơ bản chứng minh tử số và mẫu số có ƯCLN bằng 1
+) Cách 1: Giả sử d = (a,b), sau đó chỉ ra d = 1
+) Giải sử d ± 1 ( d ≥2) 
	- Gọi p là ước nguyên tố của d
	- Chỉ ra rằng p = 1 ( Vô lý)
	- Kết luận d = 1
Bài 1: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản 
Lời giải
Giải sử suy ra: 
Vậy phân số là phân số tối giản 
Bài 2: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản 
Lời giải
Gọi 
Bài 3: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản 
Lời giải
Gọi ta có:
Bài 4: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản 
Lời giải
Gọi ta có:
Ta có: 
Bài 5: Cho 
a. Rút gọn A
b. Chứng minh rằng nếu thì giá trị tìm được ở câu a là phân số tối giản
Lời giải
a. 
b. Gọi 
Lại có: 
Bài 6: Cho phân số . Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A chưa tối giản
Lời giải
Để A là phân số chưa tối giản thì là phân số chưa tối giản 
Ta có: 
Vậy có 69 giá trị
D. Các bài toán về biểu thức hữu tỷ
Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ
- Tìm điều kiện xác định: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Bài 1: Cho biểu thức 
a. Rút gọn A	 b. Tìm x để A = 0
c. Tìm giá trị của A khi 
Lời giải
a. ĐKXĐ: 
b. 
c. 
Bài 2: Cho biểu thức 
a. Rút gọn A	 b. Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
c. Tìm giá trị của A khi x = 6
Lời giải
a. Nếu x + 2 > 0 ta có: 
Nếu 
Nếu không xác định
b. Để A nguyên thì hoặc có giá trị nguyên
+) có giá trị nguyên 
Ta có: 
+) có giá trị nguyên 
Ta có: 
c. 
Bài 3 : [ HSG – Yên Phong – 2015]
Cho biểu thức 
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi x > y > 0 và thỏa mãn : 
Lời giải
a. 
b. Ta cóThay x = 2y vào A, ta được : 
Bài 4: Cho 
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi 
c. Tìm x để A > 0
d. Tìm x để A nhận giá trị nguyên dương
Lời giải
a. Ta có: 
b. 
c. 
d. A nguyên dương:Bài 5: [ HSG – Long Biên – 2014 ]
Cho 
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi 
c. Tìm x để A < 0
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là số nguyên
Lời giải
a. ĐKXĐ: 
b. 
c. 
d. A có giá trị nguyên 
BIỂU THỨC CÓ TÍNH QUY LUẬT
Bài 1: Tính
a. 
b. 
Lời giải
a. Ta có: 
b. Ta có: 
Bài 2: Cho . Tính A. B
Lời giải
Bài 3: Cho . Tính A : B
Lời giải
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Bài 5: 
a. Chứng minh rằng: 
b. 
Lời giải
Trong đó:
b) Ta có:
Bài 6: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp toán học
+) Với n = 1, ta có: 
+) Giả sử đúng với n = k, tức là : 
Ta sẽ chứng minh đúng với n = k + 1, tức là :
Thật vậy :
Cách 2: Xét số hạng tổng quát
Áp dụng cho k chạy từ 1 đến n, ta được :