Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 6: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC
I. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b () là một bất đẳng thức
2. Các tính chất
a. Bắc cầu: 
b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: 
Hệ quả 1: 
c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bđt cùng chiều với bđt đã cho
 ( lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế )
d. Nhân cả hai vế của bddt với cùng một số
 Hệ quả: 
e. Trừ từng vế của bđt ngược chiều: 
f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: 
g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: 
	 (n lẻ) 
 (n chẵn) 
h. Lấy căn
Hệ quả: a, b > 0 có 
i. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bđt nếu hai vế cùng dấu
Với 
II. Các hằng đẳng thức
1. 2. 
3. 4. 
III. Các bổ đề hay sử dụng
1. 2. 
3. 4. 
5. 
IV. Các dạng toán
Dạng 1: Dùng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương
- Để chứng minh: ta xét A – B và chứng minh 
Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: 
Lời giải
 (luôn đúng) 
Dấu “ = ” xảy ra 
Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: 
Lời giải
Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đường nên bài toán được chứng minh.
Dấu “ = ” xảy ra 
Bài 3: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có:
Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi: 
Bài 4: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Xét hiệu:
	Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 5: Chứng minh rằng: với a, b, c > 0
Lời giải
Xét hiệu: 
Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi: 
Bài 6: Chứng minh rằng nếu thì 
Lời giải
Xét hiệu: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.
Bài 7: Chứng minh rằng nếu ta luôn có: 
Lời giải
Xét hiệu:
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bài toán được chứng minh.
Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương
- Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng
- Nếu , với C < D luôn đúng
Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, Chứng minh rằng:
a. 	 b. 
c. 	 d. 
Lời giải
a. (đúng) 
c. (luôn đúng) 
d. 
 (luôn đúng)
Bài 2: Cho ba số thỏa mãn: abc = 1 và 
a. Chứng minh rằng: 	 
b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1
Lời giải
Ta có:
và 
Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh.
b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 ( mâu thuẫn với giả thiết )
Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1.
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Lời giải
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Tương tự: . Vậy 
Lại có: 
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: 
Do đó bài toán được chứng minh.
Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ].
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Lời giải
 (luôn đúng)
Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ].
Chứng minh rằng với a > 0 thì: 
Lời giải
Bất đẳng thức cuối đúng với mọi a > 0 nên bài toán được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi a = 0
Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ]
Chứng minh rằng với mọi số thực ta có 
Lời giải
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được chứngminh.
Dấu “=” xảy ra khi x = y.
Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ]
Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Do 
Đặt ta có:
Bất đẳng thức đúng với mọi x, y ≥ 0 do đó bài toán được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0 hay a = b = 4.
Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ]
Cho hai số thực x, y ≠ 0. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có:
Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi 
Bài 10: Cho các số thực a,b. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Ta có: 
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bài toán được chứng minh.
Dấu “=” xảy rakhi a = b.
Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu )
*) *) 
*) 
Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức dạng: ( tự chứng minh bđt)
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: 
Vậy bài toán được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức dạng: 
Tương tự: 
Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức: 
Ta được: (đpcm) 
Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: Tìm GTLN của 
Lời giải
Cách 1: 
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 
Tương tự: 
Cộng ba vế của bất đẳng thức ta được: 
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức: 
Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTNN: 
Lời giải
Lại có: 
Cộng theo vế ba bất đẳng thức: 
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Tương tự: 
Cộng theo vế ta được: 
Lại có: 
Cộng theo vế ta được: 
Cộng theo vế ta được: 
Từ (1) và (2) nên: 
Vậy bài toán được chứng minh , Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Bài 2: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được đpcm
Bài 3: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Thật vậy: Bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Dạng 4: Dùng các bất đẳng thức phụ
Các bất đẳng thức phụ thường sử dụng:
Bài 1: Cho hai số a và b thỏa mãn: a + b = 1 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Từ: 
Lại có: 
Từ (1), (2) ta có: 
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b.
Bài 2: Cho a + b > 1 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ 
Có tiếp: 
Cộng theo vế của (1) và (2) ta được: 
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b
Bài 3: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi x = y
Áp dụng: 
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b
Bài 4: Cho a, b, c, d, > 0 và abcd = 1. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Từ : 
Có: 
Vậy 
Lại có: 
Bài 5: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Lại có:
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b
Bài 6: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài 7: Cho . Chứn minh rằng: 
Lời giải
Có: 
Lại có: 
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d.
Bài 8: Cho . Chứng minh rằng:
a. 	 b. 
Lời giải
a. Ta có: 
Tương tự: 
Cộng theo vế ta được: 
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
b. Theo chứng minh trên:
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
Bài 9: Cho thỏa mãn: . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Áp dụng ta được: Mà: 
Bài 10: Cho thỏa mãn: . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Áp dụng ta có: 
Tương tự: 
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.
Bài 11: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Chứng minh:
Áp dụng: 
Cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều phải chứng minh.
Bài 12: Cho . Tìm GTNN: 
Lời giải
Ta có: 
Dễ chứng minh: 
Thật vậy 
Hoặc: 
Áp dụng: 
Tương tự: 
Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: 
Bài 13: Cho . Tìm GTNN: 
Lời giải
Ta có: 
 Mà: 
Áp dụng: 
Cộng theo vế ta được: 
Do đó: 
DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
- Muốn chứng minh bất đẳng thức đúng, ta giả sử là sai, tức là A < B là đúng
- Sau đó chứng minh A < B là sai là đúng
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Giả sử , bình phương hai vế ta được: 
Mặt khác ta lại có: 
Theo giải thiết: 
Điều này mâu thuẫn với (1) nên suy ra 
Bài 2: Với mọi số thực a, b, c hãy chứng tỏ: . 
Lời giải
Giả sử: 
Vậy điều giả sử là sai suy ra: 
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: . 
Lời giải
Giả sử a + b > 2. Ta có:
Bất đẳng thức cuối cùng sai nên .
Bài 4: Cho các số thực Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba bất đẳng thức sau là sai
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế, ta được:
Mặt khác, do nên a và 
Tương tự: 
Do đó: ( mâu thuẫn ). Vậy ta có bài toán được chứng minh.
Bài 5: [ Chuyên Thái Bình: năm 2007 – 2008 ] 
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Giả sử khi đó: Kết hợp với gỉa thiết: ( mâu thuẫn )
Bài 6: [ Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa: năm 2007 – 2008 ] 
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: 
Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều dương
Lời giải
Giả sử ba số a, b, c có 1 số không dương. Không mất tính tổng quát, ta giả sử: 
Mà lại có: 
Lại có: 
Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: 
Vì thế abc < 0 ( mâu thuẫn ). 
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: Tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn 
Lời giải
Giả sử: 
Theo đầu bài: a, b, c đôi một khác nhau nên: 
Từ (1), (2) ta thấy mâu thuẫn nên bài toán được chứng minh.
Bài 8: [ Chuyên HCM năm 2006 – 200 7 ] . 
Cho hai số dương x, y thỏa mãn: . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Do x, y dương nên mà nên x > y
Giả sử: 
 do 
Do đó (*) không thể xảy ra 
Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn các điều kiện sau: 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta đi chứng minh: 
Giả sử , khi đó 
+) 
+) 
Do đó nếu . Mà ( mâu thuẫn với 2) 
Suy ra: 
Ta đi chứng minh ( tương tự chứng minh ) 
Bài 10: [ Olympic Toán Ireland năm 1997 ]
Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
+) Nếu 1 trong ba số bằng 0 thì bất đẳng thức được chứng minh
Ta xét: a, b, c > 0
Giả sử ngược lại: 
Tương tự ta có: 
Lại có: 
Từ (1), (2) suy ra: ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử là sai.
Bài 11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng: 
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng: 
Giả sử có ít nhất 2 trong 3 bất đẳng thức sau là sai, chẳng hạn: 
Cộng vế hai bất đẳng thức: 
Từ giả thiết: 
Do đó: 
Bất đẳng thức cuối cùng vô lý nên bài toán được chứng minh.
Bài 12: Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 
Lời giải
Giả sử hai bđt trên đều đúng 
Theo giả thiết: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Bất đẳng thức cuối cùng vô lý nên bài toán được chứng minh.