Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 8: Các bài toán về định lí Ta-lét

CHUYÊN ĐỀ 8 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A.Kiến thức:
1. Định lí Ta-lét:
* Định lí Talét 
* Hệ quả: MN // BC 
B. Bài tập áp dụng:
1. Bài 1:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G
a) chứng minh: EG // CD
b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Vì AE // BC (1)
 BG // AC (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: EG // CD
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên
Bài 2: 
Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng:
a) AH = AK
b) AH2 = BH. CK
Giải 
Đặt AB = c, AC = b. 
BD // AC (cùng vuông góc với AB) 
nên 
Hay (1)
AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên 
Hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK
b) Từ và suy ra (Vì AH = AK)
 AH2 = BH . KC
3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK. EG 
b) 
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên
AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
b) Ta có: ; nên
 (đpcm)
c) Ta có: (1); (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)
4. Bài 4: 
 Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:
a) EG = FH
b) EG vuông góc với FH 
Giải
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG
Ta có CM = CF = BC 
EM // AC (1)
T­¬ng tù, ta cã: NF // BD (2)
mµ AC = BD (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
T­¬ng tù nh­ trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = AC (b)
MỈt kh¸c EM // AC; MG // BD Vµ AC BD EM MG (4)
T­¬ng tù, ta cã: (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra (c)
Tõ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ FH lµ O; cđa EM vµ FH lµ P; cđa EM vµ FN lµ Q th× 
 mµ (®èi ®Ønh), (EMG = FNH)
Suy ra EO OP EG FH
5. Bµi 5: 
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá CD. Tõ D vÏ ®­êng th¼ng song song víi BC, c¾t AC t¹i M vµ AB t¹i K, Tõ C vÏ ®­êng th¼ng song song víi AD, c¾t AB t¹i F, qua F ta l¹i vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC, c¾t BC t¹i P. Chøng minh r»ng
a) MP // AB
b) Ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
Gi¶i
a) EP // AC (1)
 AK // CD (2)
 c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hµnh nªn 
AF = DC, FB = AK (3)
KÕt hỵp (1), (2) vµ (3) ta cã MP // AB (§Þnh lÝ Ta-lÐt ®¶o) (4)
b) Gäi I lµ giao ®iĨm cđa BD vµ CF, ta cã: = 
Mµ (Do FB // DC) IP // DC // AB (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra : qua P cã hai ®­êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn theo tiªn ®Ị ¥clÝt th× ba ®iĨm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iĨm cđa CF vµ DB hay ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
6. Bµi 6:
Cho ABC cã BC < BA. Qua C kỴ ®­êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cđa ; ®­êng th¼ng nµy c¾t BE t¹i F vµ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lµm hai phÇn b»ng nhau
Gi¶i
Gäi K lµ giao ®iĨm cđa CF vµ AB; M lµ giao ®iĨm cđa DF vµ BC
KBC cã BF võa lµ ph©n gi¸c võa lµ ®­êng cao nªn KBC c©n t¹i B BK = BC vµ FC = FK
MỈt kh¸c D lµ trung ®iĨm AC nªn DF lµ ®­êng trung b×nh cđa AKC DF // AK hay DM // AB
Suy ra M lµ trung ®iĨm cđa BC 
DF = AK (DF lµ ®­êng trung b×nh cđa AKC), ta cã
( do DF // BK) (1)
Mỉt kh¸c (V× AD = DC) 
Hay (v× = : Do DF // AB)
Suy ra (Do DF = AK) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra = EG // BC
Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ DF lµ O ta cã OG = OE 
Bµi tËp vỊ nhµ
Bµi 1: 
 Cho tø gi¸c ABCD, AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §­êng th¼ng qua O vµ song song víi BC c¾t AB ë E; ®­êng th¼ng song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F
a) Chøng minh FE // BD
b) Tõ O kỴ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vµ H. 
Chøng minh: CG. DH = BG. CH
Bµi 2: 
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, ®iĨm M thuéc c¹nh BC, ®iĨm N thuéc tia ®èi cđa tia BC sao cho BN = CM; c¸c ®­êng th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. 
Chøng minh: 
a) AE2 = EB. FE
b) EB =. EF