Chuyên đề bồi dưỡng HSG Lớp 8 - Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ
Phương pháp: 
 p
- Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do, q kà ước 
 q
dương của hệ số cao nhất
- Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là: x – 1
- Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là: x + 1
 f (1) f ( 1)
- Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f (1) 0; f ( 1) 0 ; đều là số nguyên. 
 a 1 a 1
Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do. 
1. Đối với đa thức bậc hai : ax2 + bx + c
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx
- Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = .....
- Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b
- Tách bx = a1x + c1x 
- Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x2 8x 4 b. 3x2 8x 4 c. x2 11x 8
d. x2 5x 24 e. x2 5x 4
 Lời giải
a) Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà 2 + 6 = 8 nên ta được: 
3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x 2 x 2 
b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 
3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x x 2 2 x 2 x 2 3x 2 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 x 2 3x 2 
c) x2 11x 28 x 4 x 7 d) x2 5x 24 x 8 x 3 
e) x2 5x 4 x 1 x 4 
Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2
- Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức: a2 b2 a b a b 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 8x 4 Lời giải
 2
Ta có: 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 2x 2 x2 x 2 3x 2 
Cách 3: Tách hạng tử tự do c
- Ta tách c thành c1 và c2 để dùng phương pháp nhóm hạng tử hoặc tạo ra hằng đẳng thức 
 2
bằng cách c1 nhóm với ax còn c2 nhóm với bx
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x2 8x 4 b) 4x2 4x 3 c) 9x2 12x 5
 Lời giải
a. 3x2 8x 16 12 3x2 12 x 16 x 2 3x 2 
 2
b. 4x2 4x 3 4x2 4x 1 4 2x 1 22 2x 1 2x 3 
c. 9x2 12x 5 9x2 12x 4 9 3x 2 2 32 3x 5 3x 1 
2. Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm )
 n n 1
Cơ sở để phân tích: Xét đa thức Pn (x) a n x an 1x ... a1x a0 (an ...a0 Z,n 1)
+) Nếu x = a là nghiệm của P(x) thì P(a) = 0
Hệ Quả : Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của a0
+) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm x = a thì Pn(x) = (x - a). H(x) bậc (n - 1) 
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x3 x 2 4
 Lời giải
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x 1, 2 4. Chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm 
của f(x) nên f(x) có một nhận tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện 
một nhân tử là x – 2
Cách 1: x3 x 2 4 x3 2x2 x2 2x 2x 4 x 2 x2 x 2 
Cách 2: x3 x 2 4 x3 8 x 2 4 x3 8 x2 4 x 2 x2 x 2 
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x3 x2 4 b. x3 5x2 8x 4
 Lời giải
a. Ta có các ước của 4 là: 1; 2; 4
Nhận thấy x = -2 là nghiệm của đa thức vậy đa thức có 1 nhân tử là: x – (-2) = x + 2
 x3 2x2 x2 4 (x 2)(x2 x 2)
 
 0
Hoặc: (x3 8) (x2 4) (x 2)(x2 x 2)
b. Nhận thấy x = -1 là nghiệm của đa thức nên có 1 nhân tử là: x + 1 x3 5x2 8x 4 (x3 x2 ) (4x2 4x) (4x 4) (x 1)(x 2)2
*) Chú ý: 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 2 4 3
a. 2x 7x 5 b. x x x 1 c. 
x3 19x 30 d. x3 4x2 7x 10 e. 2x4 5x3 5x2 5x 3
 Lời giải
a. Ta có: 2 + 5 = 7 nên đa thức có 1 nhân tử là x + 1. 2x2 7x 5 (x 1)(6x 5)
b. Ta có tổng các hệ số bằng 0 và tổng chẵn cũng bằng tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1
x4 x3 x 1 (x4 1) (x3 x) (x 1)(x 1)(x2 x 1)
x4 x3 x 1 (x4 x3 ) (x 1) (x 1)(x 1)(x2 x 1)
c. Ta có x = -3 là nghiệm nên có nhân tử là x + 3
x3 19x 30 x3 3x2 3x2 9x 10x 30 (x 3)(x2 3x 10) (x 3)(x 2)(x 5)
d. Ta có: x = -1 là nghiệm của đa thức nên có nhân tử là: x + 1
x3 4x2 7x 10 x3 x2 3x2 3x 10x 10 (x 1)(x 2)(x 5)
e. Ta có tổng chẵn bằng tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau đó lại tổng chẵn bằng tổng lẻ. 
2x4 5x3 5x2 5x 3 (x 1)(x 1)(x 3)(2x 1)
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6
 Lời giải
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 4a2 29a 24
 Lời giải
Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử
 (a - 1), (a - 3) và (a + 8), 
Ta có: a3 4a2 29a 24 a3 a2 5a2 5a 24a 24 
a2 a 1 5a a 1 24 a 1 a 1 a2 5a 24 = a 1 a 3 a 8 
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 5x2 8x 4
 Lời giải
Nhận xét : Tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ nên 
đa thức có một nhân tử là: x + 1 2
Như vậy ta có : x3 5x2 8x 4 x3 x2 4x2 4x 4x 4 x 1 x 2 
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a4 7a3 37a2 8a 12
 Lời giải
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x = 2, hay có 1 nhân tử là: x - 2
Ta có: 6a4 7a3 37a2 8a 12 (6a4 12a3 ) (19a3 38a2 ) a2 2a 6a 12 
6a3 a 2 19a2 a 2 a a 2 6 a 2 a 2 6a3 19a2 a 6 =
 a 2 a 3 2a 1 3a 2 
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 13x2 12x 4
 Lời giải
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có: x4 6x3 13x2 12x 4 x4 x3 5x3 5x2 8x2 8x 4x 4 
 2 2
= x3 x 1 5x2 x 1 8x x 1 4 x 1 x 1 x3 5x2 8x 4 = x 1 x 2 
*) Trường hợp đặc biệt: Đa thức không có nghiệm nguyên.
 n n 1
Xét đa thức Pn (x) a n x an 1x ... a1x a0 (an ...a0 Z,n 1)
 p a n q
+) Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm x [(p;q)=1] 
 q a0  p
Bài 12: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x3 7x2 17x 5 b. 9x4 15x3 43x2 22x 40
c. 6x4 x3 19x2 31x 30
 Lời giải
a. Các ước của 5 là: 1; 5 . Nhận thấy đa thức không có nghiệm nguyên, ta đi tìm nghiệm 
hữu tỷ của đa thức
 p p U ( 5) 1 1
x ta thấy nghiệm của đa thức là x nên có nhân tử x hay 3x -1
 q q U (3) 3 3
Vậy: 3x3 7x2 17x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 (3x 1)(x2 2x 5)
 2
b. Ta thấy đa thức có 1 nhân tử là: x 3x 2
 3
9x4 15x3 43x2 22x 40 (3x 2)(3x3 7x2 19x 20)
Lại có nhân tử là: 3x + 4 (3x 2)(3x3 7x2 19x 20) (3x 2)(3x 4)(x2 x 5)
c. 6x4 x3 19x2 31x 30 (2x 3)(3x 2)(x2 x 5)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 2x4 3x3 4x2 2 Lời giải
Nhận xét: Tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – 
1 ta được: x5 2x4 3x3 4x2 2 x 1 x4 x3 2x2 2x 2 
Vì x4 x3 2x2 2x 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ nên 
không phân tích được nữa
Vậy x5 2x4 3x3 4x2 2 x 1 x4 x3 2x2 2x 2 
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2017x2 2016x 2017
 Lời giải
Cách 1: 
x4 2017x2 2016x 2017 x4 x2 1 2016x2 2016x 2016 x2 x 1 x2 x 2017 
Cách 2: 
x4 2017x2 2016x 2017 x4 x 2017x2 2017x 2017 x2 x 1 x2 x 2017 
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x 2017.2018
 Lời giải
Ta có: x2 x 2017.2018 x2 2017x 2018x 2017.2018 x 2017 x 2018 
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 7x2 6x 1
 Lời giải
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính 
Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
Nên ta làm như sau:
 4 3 2 2 2 6 1 2 2 1 1 
x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 x x 2 6 x 7 
 x x x x 
 1 1
Đặt x t x2 t 2 2
 x x2
 2
Đa thức trở thành : x2 t 2 2 6t 7 x2 t 2 6t 9 x2 t 3 
 2 2 2
 2 1 2 x 1 3x 2 2
Thay t trở lại ta được : x x 3 x (x 3x 1)
 x x 
 2
Vậy x4 6x3 7x2 6x 1 x2 3x 1 
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6
 Lời giải
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x 3 x 5 x 7 15
 Lời giải
Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng 
giống nhau : x 1 x 7 x 3 x 5 15 x2 8x 7 x2 8x 15 15
Đặt x2 8x t t 7 t 15 15 t 2 22t 105 15 t 2 22t 120
 t 10 t 12 x2 8x 10 x2 8x 12 = x2 8x 10 x 6 x 2 
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 7x2 17x 5
 Lời giải
 1
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là x , nên có nhân tử là : (3x - 1)
 3
nên ta có :3x3 7x2 17x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5
 x2 3x 1 2x 3x 1 5 3x 1 3x 1 x2 2x 5 
Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 5x2 8x 3
 Lời giải
 1
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là x , nên có nhân tử là : (2x - 1)
 2
Nên ta có : 2x3 5x2 8x 3 2x3 x2 4x2 2x 6x 3
 x2 2x 1 2x 2x 1 3 2x 1 2x 1 x2 2x 3 
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 14x2 4x 3
 Lời giải
 1
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : x nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)
 3
Ta có : 3x3 14x2 4x 3 3x3 x2 15x2 5x 9x 3
x2 3x 1 5x 3x 1 3 3x 1 3x 1 x2 5x 3 
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 5x2 8x 4
 Lời giải
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2
 2
Như vậy ta có : x3 5x2 8x 4 x 1 x 2 
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 1997x2 1996x 1997
 Lời giải Ta có: x4 x2 1 1996x2 1996x 1996 x2 x 1 x2 x 1 1996 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 1997 
Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x4 2004x2 2003x 2004
 Lời giải
 x4 2004x2 2004x x 2004 x4 x 2004 x2 x 1 
 x x3 1 2004 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2004 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 2004 
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2001.2002
 Lời giải
Ta có: x2 x 2001 2001 1 x2 x 20012 2001 x2 20012 x 2001 
 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a4 7a3 37a2 8a 12
 Lời giải
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x = 2, hay có 1 nhân tử là x - 2
Ta có : 6a4 7a3 37a2 8a 12 (6a4 12a3 ) (19a3 38a2 ) a2 2a 6a 12 
6a3 a 2 19a2 a 2 a a 2 6 a 2 a 2 6a3 19a2 a 6 = 
 a 2 a 3 2a 1 3a 2 
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 13x2 12x 4
 Lời giải
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có : x4 6x3 13x2 12x 4 x4 x3 5x3 5x2 8x2 8x 4x 4 
= x3 x 1 5x2 x 1 8x x 1 4 x 1 x 1 x3 5x2 8x 4 
 2 2
= x 1 x 2 
3. Đối với đa thức nhiều biến
Tương tự như phân tích đa thức dạng: ax2 bx c 
Bài 28: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 2x2 5xy 2y2 b. 2x2 5xy 3y2
c. a2 2ab b2 2a 2b 1 d. x2 (y z) y2 (z x) z2 (x y)
 Lời giải
a. 2x2 5xy 2y2 (2x2 4xy) (xy 2y2 ) (x 2y)(2x y) b. 2x2 5xy 3y2 2x2 2xy 3xy 3y2 (x 3y)(2x y)
c. a2 2ab b2 2a 2b 1 (a b)2 2(a b) 1 (a b 1)2
d. Ta có:
x2 (y z) y2 (z x) z2 (x y) z2 (x y) x2 y x2 z y2 z y2 x z2 (x y) xy(x y) z(x2 y2 )
 (x y)(y z)(z x)
B. PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
– Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
– Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Bài 1: Phân tích thành nhân tử A a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 2abc
 Lời giải:
A a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 2abc a(a2 2ab b2 ) (ab2 a2b) (ac2 bc2 )
 c(a b)2 ab(a b) c2 (a b) (a b)(b c)(c a)
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 3abc
 Lời giải:
A (ab2 a2b abc) (ac2 a2c abc) (bc2 b2c abc) (a b c)(ab bc ca)
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A abc (ab bc ca) a b c 1
 Lời giải
A (abc bc) (ab b) (ac c) (a 1) (a 1)(b 1)(c 1)
Bài 4: Phân tích thành nhân tử: A 8abc 4(ab bc ca) 2(a b c) 1
 Lời giải
A (8ab 4bc) (4ab 2b) (4ac 2c) (2a 1) (2a 1)(2b 1)(2c 1)
Bài 5: Phân tích thành nhân tử: A a(b3 c3 ) b(c3 a3 ) c(a3 b3 ) abc(a b c)
 Lời giải
Ta có: A (a2 b2 c2 )(ab bc ca)
C. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Cần nắm chắc cách biến đổi các hằng đẳng thức sau:
 2 2
1) a b a2 b2 2ab a b 4ab
 2 2
2) a b a2 b2 2ab a b 4ab
 2 2
3) a2 b2 a b 2ab a b 2ab
 3
4) a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3ab a b 
 3
5) a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3ab a b 2 2
6, 2 a2 b2 a b a b 
 2 2
7) a b a b 4ab
 a4 b4 a b a b a b 2 2ab 
8) 
 2
 a4 b4 a b 2 2ab 2 ab 2
9) . 
10) a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca . 
11) a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2 . 
12) a4 a2 1 a2 a 1 a2 a 1 . 
13) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a. 8 27a3b6 b. x2 y2 10x 6y 16
c. a3 b3 c3 3abc d. (a b c)3 a3 b3 c3
 Lời giải
a. 8 27a3b6 23 (3ab2 )3 (2 3ab2 )(4 6ab2 9a2b4 )
 x2 y2 10x 6y 16 (x 5)2 (y 3)2 (x y 8)(x y 2)
b. 
c. Ta có:
 a3 3a2b 3ab2 b3 3a2b 3ab2 c3 3abc (a b)3 c3 3ab(a b c) (a b c) a b 2 (a b)c c2 
 3ab a b c a b c a b 2 (a b)c c2 3ab (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3
d. a b c a b c (a b) 3(a b) c 3(a b)c c (a b ) c
 2 2 2 2 2 2
= a b a 2ab b 3ac 3bc 3c a ab b 3 ab ac bc c 3 a b b c c a 
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
 x3 y3 3xy 1 4x2 9y2 12xy 4x 6y 3
a. b. 
c. 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) (a4 b4 c4 ) 
 Lời giải
a. Ta có:
x3 y3 3xy(x y) 3xy(x y) 3xy 1 (x y)3 1 3xy(x y 1) (x y 1)(x2 xy y2 x y 1)
b. Ta có: 4x2 9y2 12xy 4x 6y 3
 (2x)2 (3y)2 2.2x.3y 2(2x 3y) 1 4 (2x 3y)2 22 (2x 3y 1)(2x 3y 3) c. Ta có:
4b2c2 (a4 b4 c4 2b2c2 2a2b2 2c2a2 ) (2bc)2 (b2 c2 a2 )2 (b c a)(b c a)(a b c)(a b c)
 2
Bài 3: Cho biểu thức: A b2 c2 a2 4b2c2
a) Phân tích A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0
 Lời giải
 2 2 2
a) Ta có: A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc 
 b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 2bc b c a b c a b c a b c a 
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên:
b c a 0,b c a 0,b c a 0,b c a 0 A 0
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 2010x2 2009x 2010
 Lời giải
x4 x2 1 2009x2 2009x 2009 x2 x 1 x2 x 1 2009 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 2010 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( Sử dụng tách hạng tử )
a. x3 7x 6 b. x3 5x2 8x 4
c. x3 9x2 6x 16 d. x4 30x2 31x 30 
e. x4 2010x2 2009x 2010
 Lời giải
a. x3 7x 6 (x 1)(x 2)(x 3) 
b. x3 5x2 8x 4 (x 1)(x 2)2
c. x3 9x2 6x 16 (x 1)(x 2)(x 8) 
d. x4 30x2 31x 30 (x 5)(x 6)(x2 x 1) 
e. x4 2010x2 2009x 2010 (x4 x) 2010x2 2010x 2010 (x2 x 1)(x2 x 2010)
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A abc 2(ab bc ca) 4(a b c) 8
 Lời giải
A abc 2(ab bc ca) 4(a b c) 8 (a 2)(b 2)(c 2)
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A x3 2x2 y x2 x 2xy 2y
 Lời giải
A x3 2x2 y x2 x 2xy 2y (x 2y)(x2 x 1)