Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức - Nguyễn Bá Thiện

 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
A. Các kiến thức thường sử dụng là:
 + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 
 a b
 ab ; 
 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
 + Bất đẳng thức: ac bd 2 a2 b2 c2 d 2 (BĐT: Bunhiacopxki);
 a b
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
 c d
 + a b a b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0.
 + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
 Nếu y a  f (x)2 thì min y = a khi f(x) = 0.
 Nếu y a  f (x)2 thì max y = a khi f(x) = 0.
 + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
 • Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
 a) A 4x2 4x 11
 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
 c) C x2 2x y2 4y 7
 Giải:
a) A 4x2 4x 11 4x2 4x 1 10 2x 1 2 10 10
 1
 Min A = 10 khi x .
 2
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
 = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36
 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c) C x2 2x y2 4y 7
 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2
 Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
 a) A = 5 – 8x – x2
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 1 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
 Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21
 Max A = 21 khi x = -4. 
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 7
 1
 Max B = 7 khi x = 1, y .
 2
Bài toán 3: Tìm GTNN của:
 a) M x 1 x 2 x 3 x 4
 b) N 2x 1 2 3 2x 1 2 
 Giải:
a) M x 1 x 2 x 3 x 4
 Ta có: x 1 x 4 x 1 4 x x 1 4 x 3
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay 1 x 4
 x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay 2 x 3
 Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3 .
b) N 2x 1 2 3 2x 1 2 2x 1 2 3 2x 1 2
 Đặt t 2x 1 thì t 0
 1 1
 Do đó N = t2 – 3t + 2 = (t 3 )2 N .
 2 4 4
 3 3
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t 0 t 
 2 2
 3 5
 2x 1 x 
 1 3 3 2 4
 Do đó N khi t 2x 1 
 4 2 2 3 1
 2x 1 x 
 2 4
 1 5 1
 Vậy min N x hay x .
 4 4 4
Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
 Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 2 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 2 2 2 2 2
 x y x y 1 2 2 x y 
 xy (x y ) 
 2 2 2 2 2 2 2 
 1
 M (x2 y2 )
 2
Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
 => 2(x2 + y2) ≥ 1
 1 1 1
Do đó x2 y2 và x2 y2 x y 
 2 2 2
 1 1 1 1 1
Ta có: M (x2 y2 ) và (x2 y2 ) M . 
 2 2 2 2 4
 1 1
Do đó M và dấu “=” xảy ra x y 
 4 2
 1 1
Vậy GTNN của M x y 
 4 2
Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: 
 (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
 Giải:
 (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
 [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
 x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
 x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0
 x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2
 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0
 3 9 5
 t 2 2. .t 0
 2 4 4
 2
 3 5 3 5
 t t 
 2 4 2 2
 5 3 5
 t 
 2 2 2
 3 5 3 5
 t 
 2 2
 Vì t = x2 + y2 nên :
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 3 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 GTLN của x2 + y2 = 3 5
 2
 GTNN của x2 + y2 = 3 5
 2
Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 
 P = a + b + c – ab – bc – ca.
 Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca
 = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
 = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 a,b,c 1)
 Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0
Vậy GTNN của P = 0
Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0;
 (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc 0
 P = a + b + c – ab – bc – ac 1 abc 1
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý 0;1
Vậy GTLN của P = 1.
Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
 Tìm GTLN và GTNN của x + y.
 Giải:
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 
 2(x2 + y2) (x + y)2
 Mà x2 + y2 = 1 (x + y)2 2 
 x y 2 2 x y 2
 - Xét x y 2
 x y 2
 Dấu “=” xảy ra x y 
 x y 2 2
 - Xét x y 2
 x y 2
 Dấu “=” xảy ra x y 
 x y 2 2
 2
 Vậy x + y đạt GTNN là 2 x y .
 2
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 4 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27.
 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.
 Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 
 2 2 2 2 2 2 2
 (x + y + z) = x + y + z +2(xy + yz + zx) 3(x + y + z ) 81
 x + y + z 9 (1)
 Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2)
 Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36.
 Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.
 Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 
 A2 B (A 1)2 B 1 B 1
 P A 
 2 2 2 2
 B 1
 Vì B 27 -14 P -14
 2
 x y z 1
 Vậy min P = -14 khi 2 2 2
 x y z 27
 Hay x 13; y 13; z 1.
Bài toán 9: 
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y 
để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
 Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Đặt t = xy thì:
 x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t
 x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101
 4 2 2 2 2 2
 = (t – 8t + 16) + 10(t – 4t + 4) + 45 = (t – 4) + 10(t – 2) + 45
 P 45 và dấu “=” xảy ra x + y = 10 và xy = 2.
Vậy GTNN của P = 45 x + y = 10 và xy = 2.
Bài toán 10: 
Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 5 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 Giải:
Ta có: x + y = 2 y = 2 – x 
 Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
 = x2 + 4 – 4x + x2
 = 2x2 – 4x + 4
 = 2( x2 – 2x) + 4
 = 2(x – 1)2 + 2 2
 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.
 • Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài toán 1: 
 4x 3
Tìm GTLN và GTNN của: y .
 x2 1
 Giải:
* Cách 1: 
 4x 3 ax2 4x 3 a
 y a 
 x2 1 x2 1
Ta cần tìm a để ax2 4x 3 a là bình phương của nhị thức.
 a 1
Ta phải có: ' 4 a(3 a) 0 
 a 4
 - Với a = -1 ta có: 
 4x 3 x2 4x 4 (x 2)2
 y 1 1 
 x 1 x2 1 x2 1
 y 1. Dấu “=” xảy ra khi x = -2.
 Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
 - Với a = 4 ta có: 
 4x 3 -4x2 4x 1 (2x 1)2
 y 4 4 4
 x 1 x2 1 x2 1
 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 .
 2
 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 .
 2
* Cách 2: 
 4x 3
Vì x2 + 1 0 nên: y yx2 4x y 3 0 (1)
 x2 1
y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 6 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 3
 - Nếu y = 0 thì (1) x 
 4
 - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm ' 4 y(y 3) 0 (y 1)(y 4) 0
 y 1 0 y 1 0
 hoặc 
 y 4 0 y 4 0
 1 y 4
 Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 .
 2
 x2 x 1
Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: A .
 x2 x 1
 Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
 x2 x 1
 a (1)
 x2 x 1
 2
 2 2 1 1 3 1 3
Do x + x + 1 = x + 2. .x + x 0
 2 4 4 2 4
Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
 • Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
 • Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0 , tức 
 là:
 (a 1)2 4(a 1)(a 1) 0 (a 1 2a 2)(a 1 2a 2) 0
 1
 (3a 1)(a 3) 0 a 3(a 1)
 3
 1 (a 1) a 1
 Với a hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x 
 3 2(a 1) 2(1 a)
 1
 Với a thì x = 1
 3
 Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
 1
 GTNN của A khi và chỉ khi x = 1
 3
 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3: 
 a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
 4
 A (a b 1)(a2 b2 ) .
 a b
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 7 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 1 1 1
 b) Cho m, n là các số nguyên thỏa . Tìm GTLN của B = mn.
 2m n 3
 Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
 a2 b2 2 a2b2 2ab 2 (vì ab = 1)
 4 4 4
 A (a b 1)(a2 b2 ) 2(a b 1) 2 (a b ) (a b)
 a b a b a b
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4 .
 a b
 4 4
 Ta có: (a + b) + 2 (a b). 4
 a b a b
 Mặt khác: a b 2 ab 2
 4
 Suy ra: A 2 (a b ) (a b) 2 4 2 8
 a b
 Với a = b = 1 thì A = 8
 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.
 1 1 1
b) Vì nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong 
 2m n 3
hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số 
m, n cùng dương.
 1 1 1
 Ta có: 3(2m n) 2mn (2m 3)(n 3) 9
 2m n 3
 Vì m, n N* nên n – 3 -2 và 2m – 3 -1.
 Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
 2m 3 1 m 2
 + và B = mn = 2.12 = 24
 n 3 9 n 12
 2m 3 1 m 3
 + và B = mn = 3.6 = 18
 n 3 3 n 6
 2m 3 9 m 6
 + và B = mn = 6.4 = 24
 n 3 1 n 4
 m 2 m 6
 Vậy GTLN của B = 24 khi hay 
 n 12 n 4
Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu 
 x2 y2
thức: A .
 x y
 Giải:
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 8 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 x2 y2 x2 2xy y2 2xy (x y)2 2xy
Ta có thể viết: A 
 x y x y x y
 (x y)2 2xy 2 x y 2 x y
Do x > y và xy = 1 nên: A x y 
 x y x y 2 x y 2
Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 
 x y 2 x y
 A 2. . 
 2 x y 2
 x y 2
Dấu “=” xảy ra (x y)2 4 (x y) 2 (Do x – y > 0)
 2 x y
 2
Từ đó: A 2 3
 2
 x y 2
Vậy GTNN của A là 3 
 xy 1
 x 1 2 x 1 2
 hay Thỏa điều kiện xy = 1
 y 1 2 y 1 2
 1
Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: y .
 x2 x 1
 Giải:
 1 1
 Ta có thể viết: y 2 2
 x x 1 1 3
 x 
 2 4
 2
 1 3 3 4 1
 Vì x . Do đó ta có: y . Dấu “=” xảy ra x .
 2 4 4 3 2
 4 1
 Vậy: GTLN của y tại x 
 3 2
 1
Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: f (t) t .
 4t
 Giải:
 1 4t 2 1 (2t 1)2 4t (2t 1)2
Ta có thể viết: f (t) t 1
 4t 4t 4t 4t
 Vì t > 0 nên ta có: f (t) 1
 1
 Dấu “=” xảy ra 2t 1 0 t 
 2
 1
 Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại t .
 2
 t 2 1
Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: g(t) .
 t 2 1
 Giải:
 t 2 1 2
Ta có thể viết: g(t) 1 
 t 2 1 t 2 1
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 9 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 g(t) đạt GTNN khi biểu thức 2 đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN
 t 2 1
 Ta có: t2 + 1 1 min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 min g(t) = 1 – 2 = -1
 Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0.
Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của 
 1 1 1
biểu thức: E .
 x3 (y z) y3 (z x) z3 (x y)
 Giải:
 1 1 1 1
Đặt a ;b ;c abc 1
 x y z xyz
 1 1
 Do đó: a b x y (a b).xy x y c(a b)
 x y
 Tương tự: y + z = a(b + c)
 z + x = b(c + a)
 1 1 1 1 1 1
 E . . .
 x3 (y z) y3 (z x) z3 (x y)
 1 1 1 a2 b2 c2
 a3. b3. c3. 
 a(b c) b(c a) c(a b) b c c a a b
 a b c 3
Ta có: (1)
 b c c a a b 2
Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
 x y z
 a b c 
 2
 y z x z x y x y z
 a ;b ;c 
 2 2 2
 a b c y z x z x y x y z
Khi đó, VT 
 b c c a a b 2x 2y 2z
 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3
 1 1 1 
 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2
Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:
 a(a b c) b(a b c) c(a b c) 3
 (a b c)
 b c c a a b 2
 a2 b2 c2 a b c 33 abc 3 3
 E 
 b c c a a b 2 2 2 2
 3
 GTNN của E là khi a = b = c = 1.
 2
Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 10