Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: GTLN, GTNN của biểu thức

 CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
 A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
 - Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của A x; y;z nếu thỏa 
 mãn hai điều kiện sau:
 + Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z M 
 + Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z M 
 - Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của A x; y;z nếu thỏa 
 mãn hai điều kiện sau:
 + Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z N 
 + Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z N 
 B. LUYỆN TẬP
 Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN
Phương pháp:
 - Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
 - Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
 2 2
 - Sử dụng các hằng đẳng thức a b , a b c . 
Bài 1: Tìm GTNN của: A x x 3 x 4 x 7 
HD:
 A x x 7 x 3 x 4 x2 7x x2 7x 12 , Đặt x2 7x 6 t , khi đó:
 2 2 2 x 1
 A t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = ” khi t 0 x 7x 6 0 
 x 6
 Vậy Min A = - 36 khi x=1 hoặc x=6 
Bài 2: Tìm GTNN của: B x 1 x 3 x2 4x 5 
HD:
 B x2 4x 5 x2 4x 5 , Đặt x2 4x 4 0 . Khi đó:
 B t 1 t 1 t2 1 1 , Dấu “ = “ khi t 2 0 x2 4x 4 0 t 2 
Bài 3: Tìm min của: A x x 2 x 4 x 6 8
HD:
 A x x 6 x 2 x 4 8 x2 6x x2 6x 8 8 , Đặt x2 6x 4 t . Khi đó: 
 A t 4 t 4 8 t2 16 8 t2 8 8 , Dấu “ = “ Khi đó:
 x 3 5
 t 2 0 x2 6x 4 0 
 x 3 5
 1 Bài 4: Tìm GTNN của: B x 1 x 2 x 3 x 4 
HD:
 B x 1 x 4 x 2 x 3 x2 5x 4 x2 5x 6 , Đặt x2 5x 5 t , Khi đó:
 5 5
 B t 1 t 1 t2 1 1 , Dấu “ = “ khi t 2 0 x2 5x 5 0 x 
 2
Bài 5: Tìm GTNN của: A x2 x 6 x2 x 2 
HD:
 Đặt x2 x 2 t . Khi đó: A t 4 t 4 t2 16 16 
 2 x 1
 Dấu “ = “ xảy ra khi: t 0 x x 2 0 
 x 2
Bài 6: Tìm GTNN của : C x 1 x 2 x 3 x 6 
HD:
 C x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 , Đặt x2 5x t . Khi đó:
 2 2 x 0
 C t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = “ khi t 0 x 5x 0 
 x 5
Bài 7: Tìm GTNN của: D 2x 1 x 2 x 3 2x 1 
HD:
 D 2x 1 x 3 x 2 2x 1 2x2 5x 3 2x2 5x 2 , Đặt 2x2 5x t , Khi đó:
 2
 2 1 25 25
 D t 3 t 2 t t 6 t , Dấu “ = “ khi:
 2 4 4
 1 1 5 29
 t 2x2 5x x 
 2 2 4
Bài 8: Tìm min của: C x 1 x 2 x 3 x 4 2011
HD:
 C x 1 x 4 x 2 x 3 2011 x2 5x 4 x2 5x 6 2011 , Đặt x2 5x 5 t 
 5 5
 Khi đó: C t 1 t 1 2011 x2 5x 5 0 x 
 2
Bài 9: Tìm max của: E 5 1 x x 2 x 3 x 6 
HD:
 E 5 x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 5 , đặt x2 5x t . 
 Khi đó: E t 6 t 6 5 t 2 36 5 t 2 41 41 
 2 2 x 0
 Dấu “ = “ Khi t 0 x 5x 0 
 x 5
Bài 10: Tìm GTNN của: M x 1 x 2 x 3 x 6 
HD:
 M x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 , Đặt x2 5x t . 
 2 2 x 0
 Khi đó: M t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = ” khi t 0 x 5x 0 
 x 5
 2 Bài 11: Tìm min của: D x 1 x2 4 x 5 2014
HD:
 D x 1 x 2 x 2 x 5 2014 x2 3x 10 x2 3x 2 2014 , Đặt x2 3x 4 t 
 Khi đó: D t 6 t 6 2014 t2 1978 , Dấu “= “ xảy ra khi:
 2 2 x 1
 t 0 x 3x 4 0 
 x 4
Bài 12: Tìm GTNN của: C x4 6x3 10x2 6x 9
HD: 
 2
 C x4 2.3x2.x 9x2 x2 6x 9 x2 3x x 3 2 0
Bài 13: Tìm GTNN của: C x4 4x3 9x2 20x 22
HD:
 C x4 4x3 4x2 5 x2 4x 4 2
Bài 14: Tìm GTNN của: B x4 x2 2x 7
HD:
 B x4 2x2 1 x2 2x 1 5
Bài 15: Tìm GTNN của: D x 8 4 x 6 4
HD:
 Đặt: x 7 y D y 1 4 y 1 4 2y4 12y2 2 2
Bài 16: Tìm GTNN của : A 9x2 6x 4 3x 1 6
HD:
 Đặt: 3x 1 t t 2 9x2 6x 1 E t 2 4t 5
Bài 17: Tìm GTLN của: A 2x 1 2 3x 2 2 x 11
HD:
 2
 2 2 2 17 569 569
 A 4x 4x 1 9x 12x 4 x 11 5x 17x 14 5 x 
 10 20 20
Bài 18: Tìm min của: A x 2 4 x 2 4
HD:
 2 2
 A x2 2x 4 x2 2x 4 x4 4x2 16 2 2x3 8x 4x2 x4 4x2 16 
 2
 2 4x2 2x3 8x 2x4 24x2 32 2 x2 6 40 40 
Bài 19: Tìm min của: A x2 4y2 4x 32y 2018
HD:
 2 2
 A x2 4x 4 4y2 32y 64 1950 x 2 4 y 4 1950 1950 
Bài 20: Tìm min của: A 3x2 y2 4x y
HD:
 2 2
 2 2 2 2 2 1 2 1 19 19
 A 3x 4x y y 3 x 2.x. y 2.y. 3 x y 
 3 2 3 2 12 12
Bài 21: Tìm min của: B 5x2 y2 2xy 12x 18
HD:
 3 2 2
 B 4x2 12x x2 2xy y2 18 2x 3 x y 27 27 
Bài 22: Tìm max của: B 3x2 16y2 8xy 5x 2
HD:
 2
 2 5 41
 2 2 2 
 B x 8xy 16y 2x 5x 2 x 4y 2 x 
 4 8
 2
 2 5 41 41
 B x 4y 2 x 
 4 8 8
Bài 23: Tìm min của: A 3x2 4y2 4xy 2x 4y 26
HD:
 2 2
 A 4y2 4xy 4y 3x2 2x 26 4y2 2.2y. x 1 x 1 3x2 2x 26 x 1 
 2 2
 A 2y x 1 2x 2 4x 25 x 2y 1 2 x 2 2x 1 23 23 
Bài 24: Tìm max của: A x2 y2 xy 2x 2y
HD:
 A x2 y2 xy 2x 2y x2 xy 2x y2 2y x2 x y 2 y2 2y 
 2 2 2 2
 2 y 2 y 4y 4 2 y 4y 4 y 2 3y 
 A x 2x. y 2y x 3y 1 
 2 4 4 2 4 
 2
 2x y 1 3 2 4 
 A y 4y 4 4 
 2 4 3 
Bài 25: Tìm min của: A x 3 2 x 1 2
HD:
 2
 A x2 6x 9 x2 2x 1 2x2 8x 10 2 x 2 2 2 
Bài 26: Tìm min của: B 2 x 1 2 3 x 2 2 4 x 3 2
HD:
 2
 B 2 x2 2x 1 3 x2 4x 4 4 x2 6x 9 x2 8x 22 x 4 38 38 
Bài 27: Tìm max của: F 2 3 x 1 4 3 x 5 4
HD:
 4 4
 Đặt x 2 t F 2 3 t 3 3 t 3 
 2 2
 F 3 t 2 6t 9 3 t 2 6t 9 2 6t 4 324t 2 484 6 t 4 54t 2 484 
 2
 F 6 t 2 27 3890 3890 
Bài 28: Tìm min của: G x 3 4 x 7 4
HD:
 4 4 2 2
 Đặt x 2 t G t 5 t 5 t 2 10t 25 t 2 10t 25 
 2
 G 2t 4 300t 2 1250 2 t 4 2.75t 2 5625 104 2 t 2 75 104 104 
Bài 29: Tìm min của: I x4 6x3 11x2 12x 20
HD:
 I x4 6x3 11x2 12x 20 x2 x2 6x 9 2x2 12x 20 
 4 2 2 2
 I x2 x 3 2 x2 6x 9 2 x2 x 3 2 x 3 2 2 
Bài 30: Tìm max của : N x2 4y2 6x 8y 3
HD:
 N x2 4y2 6x 8y 3 x2 6x 9 4y2 8y 4 16 
 2 2 2 2
 N x 3 4 y 1 16 N x 3 4 y 1 16 16 
Bài 31: Tìm max của: P 3x2 5y2 2x 7y 23
HD:
 P 3x2 5y2 2x 7y 23 3x2 2x 5y2 7y 23 
 2 2 2 2
 1 7 1213 1 7 1213 1213
 P 3 x 5 y => P 3 x 5 y 
 3 10 60 3 10 60 60
Bài 32: Tìm max của: R 7x2 4y2 8xy 18x 9
HD:
 2 2
 R 7x2 4y2 8xy 18x 9 4y2 8xy 4x2 3x2 18x 9 2 x y 3 x 3 36 
 2 2
 R 2 x y 3 x 3 36 36 
Bài 33: Tìm max của: A 5 2x2 4y2 4xy 8x 12y
HD:
 A 2x2 4y2 4xy 8x 12y 5 2x2 4x y 2 4y2 12y 5 
 2 2
 2 x2 2x y 2 y 2 4y2 12y 5 2 y 2 
Bài 34: Tìm max của: B 2 5x2 y2 4xy 2x
HD:
 2 2
 B 5x2 y2 4xy 2x 2 y2 2.y.2x 4x2 x2 2x 1 3 y 2x x 1 3 3 
 2 2
 B 2x y x 1 3 3 
Bài 35: Tìm min của: C a2 ab b2 3x 3b 1989
HD:
 2 2
 b 3 b 3 b 3 
 C a2 a b 3 b2 3b 1989 a2 2.a. b2 3b 1989 
 2 4 4
 4C 4a2 4ab 4b2 12a 12b 7956 
 2 2 2
 4a2 4a b 3 b 3 4b2 12b 7956 b 3 2a b 3 3b2 6b 7947 
Bài 36: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: x 1 x 2 2 x 3 m
HD:
 2
 VT x 1 x 3 x 2 x2 4x 3 x2 4x 4 , Đặt x2 4x t , Khi đó:
 2
 2 2 7 49 49 7 1 1
 VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t 
 2 4 4 2 4 4
Bài 37: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 4y 5 
HD:
 2 2
 Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1 
 5 2 2 2 2
 Do: x y 0, y 2 0 , Nên A x y y 2 1 1 
Bài 38: Tìm min của: B 2x2 y2 2xy 8x 2028
HD:
 B x2 2xy y2 x2 8x 16 2012 
Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức: A a4 2a3 4a 5
HD:
 A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 = a2 2 a2 2a 1 3 3 dấu bằng khi a=1
Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức : A x2 2xy 2y2 2x 10y 17
HD:
 2 2
 A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 
 2 2 2
 A x y 1 2y 10y 17 y 2y 1 
Bài 41: Tìm Min của: P 5x2 6x 1 1
HD:
 1
 TH1: x P 5x2 6x 
 6
 1
 TH2: x P 5x2 6x 2 
 6
 6 Dạng 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp:
 2 2
 - Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức a b , a b c 
 - Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra bị ràng buộc nhiều.
Bài 1: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 2x 10y 17
HD:
 2 2
 A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 
 2
 x y 1 y2 8y 16 
Bài 2: Tìm min của: B x2 xy y2 2x 2y
HD:
 2 2
 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y
 B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1 
 2 4 4
 2
 4B x y 2 4y2 8y y2 4y 4 
Bài 3: Tìm min của: C x2 xy y2 3x 3y
HD:
 2 2
 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9
 C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y 
 2 4 4
 2 2 2 
 4C x y 3 4y 12y y 6y 9 
Bài 4: Tìm min của: D x2 2xy 6y2 12x 2y 45
HD:
 2
 D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 6y2 2y 45 y2 12y 36 
 2
 x y 6 5y2 10y 9 
Bài 5: Tìm min của: E x2 xy 3y2 2x 10y 20
HD:
 y 2 y2 4y 4 y2 4y 4
 E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x. 3y2 10y 20 
 2 4 4
 2 2
 4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y 4 x y 2 11y2 36y 76 
Bài 6: Tìm max của: F x2 2xy 4y2 2x 10y 3
HD:
 F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 x2 2x y 1 4y2 10y 3 
 2 2
 F x2 2x y 1 y 1 4y2 10y 3 y 1 
Bài 7: Tìm min của: G x ay 2 6 x ay x2 16y2 8ay 2x 8y 10
HD:
 2
 G x ay 6 x ay 9 x2 2x 1 16y2 8ay 8y 
 2 2 2 2
 G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 
 7 2 2 2 2 2
 G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 a 1 
Bài 8: Tìm max của: H x2 xy y2 2x 4y 11
HD:
 H x2 xy y2 2x 4y 11 x2 x y 2 y2 4y 11 
 2
 y 2 y2 4y 4 y 2 
 H x2 2x. y2 4y 11 
 2 4 4
 2
 4H x y 2 4y2 16y 44 y2 4y 4 
Bài 9: Tìm min của: I x2 4xy 5y2 6y 11
HD:
 I x2 4xy 4y2 y2 6y 11 
Bài 10: Tìm min của: K x2 y2 xy 3x 3y 20
HD:
 2 2
 4K 4x2 4y2 4xy 12x 12y 80 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 80 y 3 
 2
 4K 2x y 3 3y2 18y 71 
Bài 11: Tìm min của: M x2 2xy 2y2 2y 1
HD:
 M x2 2xy y2 y2 2y 1 
Bài 12: Tìm min của: N x2 2xy 2y2 x
HD:
 2 2
 2y 1 2y 1 2y 1 
 N x2 x 2y 1 2y2 x2 2x. 2y2 
 2 4 4
 2
 4N x 2y 1 8y2 4y2 4y 1 
Bài 13: Tìm min của: A x2 2xy 3y2 2x 1997
HD:
 2
 A x2 2x y 1 3y2 1997 x2 2x y 1 y 1 3y2 1997 y2 2y 1 
Bài 14: Tìm min của: Q x2 2y2 2xy 2x 10y
HD:
 2
 Q x2 2x y 1 2y2 10y x2 2x y 1 y 1 2y2 10y y2 2y 1 
Bài 15: Tìm min của: R x2 2y2 2xy 2y
HD:
 2 2
 R x2 2y2 2xy 2y x2 2xy y2 y2 2y 1 1 x y y 1 1 1 
Bài 16: Tìm min của: A 4x2 5y2 4xy 16y 32
HD:
 A 4x2 5y2 4xy 16y 32 4x2 4xy y2 4y2 16y 32 
Bài 17: Tìm min của: B x2 5y2 5z2 4xy 4yz 4z 12
HD:
 B x2 4xy 4y2 y2 4yz 4z2 z2 4z 4 8
 8 2 2 2
 x 2y y 2z z 2 8 8 
Bài 18: Tìm min của: C 5x2 12xy 9y2 4x 4
HD:
 2 2
 C 4x2 2.2x.3y 9y2 x2 4x 4 2x 3y x 2 0 
Bài 19: Tìm max của: D x2 y2 xy 2x 2y
HD:
 D x2 y2 xy 2x 2y x2 x y 2 y2 2y 
 2
 y 2 y 2 y2 4y 4
 D x2 2x. y2 2y 
 2 4 4
Bài 20: Tìm min của: E x2 5y2 4xy 2y 3
HD:
 2 2
 E x2 4xy 4y2 y2 2y 1 4 x 2y y 1 4 4 
Bài 21: Tìm GTNN của A a2 ab b2 3a 3b 3 
HD:
 2 2
 Ta có: 4P a2 2ab b2 3 a2 b2 4 2ab 4a 4b a b 3 a b 2 0 
Bài 22: Tìm min của: G x2 xy y2 3 x y 3
HD :
 4G 4x2 4xy 4y2 12x 12y 12 
 2
 4G 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 12 y2 6y 9 
 2 2 2
 4G 2x y 3 3y2 6y 3 2x y 3 3 y 1 0 
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 4y2 z2 2x 8y 6z 15 0
HD :
 x2 2x 1 4y2 8y 4 z2 6z 9 1 1 
Bài 24: Tìm min của: A 2x2 y2 2xy 2x 3
HD :
 2 2
 A x2 2xy y2 x2 2x 1 2 x y x 1 2 2 
Bài 25: Tìm min của: B x2 2xy 2y2 2x 10y 17
HD : 
 2
 B x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y2 2y 1 
 2
 x y 1 y2 8y 16 
Bài 26: Tìm min của: D 2x2 2xy 5y2 8x 22y
HD :
 2D 4x2 4xy 10y2 16x 44y 4x2 4x y 4 10y2 44y 
 2
 2D 4x2 2.2x y 4 y 4 10y2 44y y2 8y 16 
 9 Bài 27: Tìm min của: E 2x2 9y2 6xy 6x 12y 2004
HD :
 2E 4x2 18y2 12xy 12x 24y 4008 
 2
 2E 4x2 12x y 1 9 y 1 18y2 24y 4008 9 y2 2y 1 
 2
 2E 2x y 1 9y2 42y 3999 
Bài 28: Tìm min của: F x2 2xy 6y2 12x 12y 45
HD :
 2 2
 F x2 2x y 6 y 6 6y2 12y 45 y2 12y 36 x y 6 5y2 9 9 
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : a2 ab b2 3a 3b 3
HD:
 P a2 ab b2 3a 3b 3 4P a b 2 3 a b 2 2 0
Bài 30: Tìm min của: A x2 6y2 14z2 8yz 6zx 4xy
HD:
 A x2 2x 2y 3z 6y2 14z2 
 2
 A x2 2x 2y 3z 2y 3z 6y2 14z2 4y2 12yz 9z2 
 2
 A x 2y 3z 2y2 12yz 23z2 
Bài 31: Tìm min của: B x2 2y2 3z2 2xy 2xz 2x 2y 8z 2000
HD:
 B x2 2x y z 1 2y2 3z2 2y 8z 2000 
 2
 x2 2x y z 1 y z 1 2y2 3z2 2y 2z 2000 y2 z2 1 2yz 2z 2y 
 2
 x y z 1 y2 2z2 4y 2yz 1999 
 2 2
 x y z 1 y2 2y z 2 z 2 2z2 z2 4z 4 1999 
 2 2
 x y z 1 y z 2 z2 4z 1995 
 10