Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8 - Chuyên đề 12: Tam giác đồng dạng (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: 
BH.BD CH.CE BC2
HD:
 A
Từ H kẻ HK  BC
Khi đó:
 CH CK D
 CKH : CEB g.g CH.CE CK.CB (1)
 CB CE E
Tương tự: H
 BH BK
 BKH : BDC g.g BH.BD BK.BC (2)
 BC BD
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
 2
VT CK.BC BK.BC BC BK KC BC B K C
Bài 2: Cho BHC có B· HC tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D
CMR: BH.BD CH.CE BC2
HD: E D
 H
Kẻ: HG  BC CGH : CEB g.g 
 CH CG
=> CH.CE BC.CG (1)
 CB CE
Tương tự ta có: BGH : BDC g.g 
 BH BG
=> BH.BD BC.BG (2)
 BC BD
 B K C
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
VT BC.CG BC.BG BC CG GB BC 2
 1 1 1
Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR: 
 AB AC AD
HD:
Kẻ DE / / AB E AC ADE là tam giác đều
 ABC có :
 DE CE B
DE / / AB 
 AB CA
 AD AC AE AE AD
 1 1 
 AB AC AC AC D
 60
 C
 A E AD AD 1 1 1
 1 (đpcm)
 AB AC AB AC AD Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của ABC, 
 AM AB ' AC '
biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR: 
 A'M CB ' BC '
HD:
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC 
cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó: A D
 AM AE E
 AME có AE / / A'C (1)
 A'M A'C
 AM AD
 AMD có AD / / A' B (2)
 A'M A' B C' B'
Từ (2) và (2) ta có: M
 AM AE AD AD AE DE
 (*)
A'M A'C A' B A'C A' B BC
Chứng minh tương tự ta cũng có:
 AB ' AD B C
 AB 'D có AD / / BC (3) A'
 B 'C BC
 AC ' AE
 AC ' E có: AE / /BC 
 C ' B BC
 AB ' AC ' AD AE DE
Từ (3) và (4) ta có: (**)
 B 'C BC ' BC BC BC
 AM DE AB ' AC '
Từ (*) và (**) => (đpcm)
 A'M BC B 'C BC '
Bài 5: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt 
cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, 
 AM BM CM
CMR: 2 .
 AA' BB ' CC '
HD:
 A
Từ A, M vẽ AH, MK  BC AH / /MK
 A'M MK MK.BC S
 A ' AH có: MBC
 A' A AH AH.BC S ABC
 A'M AA' AM AM S
Mặt khác: 1 MBC C'
 A' A AA' A' A SABC
 AM S
 1 MBC B'
 A' A SABC M
Chứng minh tương tự:
BM S CM S
 1 MAC , 1 MAB
BB ' SABC CC ' SABC
Cộng theo vế ta được đpcm B H K A' C Bài 6: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G 
 MA' MB ' MC '
của tam giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR : 3
 GA' GB ' GC '
HD:
Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D, 
với I là trung điểm BC
 A'M MD A
 A'GI có: MD / /GI (1)
 A'G GI
 A1M MD MD
 A1AI có MD / /GI AI 3GI (2)
 A1A AI 3GI
 A ' M 3A1M
Từ (1) và (2) ta có: 
 A 'G A1A B'
 G
 M
Chứng minh tương tự ta có: C'
 A'
 B A1 D I C
MB ' 3.B1M MC ' 3.C1M A1M B1M C1M 
 , VT 3 
GB ' B1B GC ' C1C A1A B1B C1C 
 A1M B1M C1M
mà ta có: từ bài 6 => 1 VT 3
 A1A B1B C1C
Bài 7: Cho ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a, CMR: AEF đồng dạng ABC
b, H là giao các đường phân giác của DEF A
c, BH.BE CH.CF BC2
HD: 1 E
 AE AB AE AF F
a, Ta có: AEB : CFC g.g 2
 AF AC AB AC
=> AEF : ABC c.g.c H
b, Chứng minh tương tự ta cũng có:
 CED : CBA, (c.g.c) và BFD : BCA(c.g.c) 1 2
 B C
=> Do AEF : ABC ·AEF ·ABC C· ED D
Mà: B· EF ·AEF B· ED C· ED 900 B· ED B· EF => HE là phân giác góc E
Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, HD là phân giác góc D BH BD
c, BHD : BCE g.g BH.BE BD.BC (1)
 BC BE
 CH CD
và CDH : CFB g.g CH.CF CD.CB (2)
 CB CF
Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm 2
Bài 8: Cho ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR : AD AB.AC BD.DC
HD:
 A
Trên AD lấy điểm E sao cho: 1 2
·AEB ·ACB ABE : ADC g.g 
 BE AB AE
 AB.AC AD.AE (1)
 DC AD AC
lại có:
 BD DE
 BDE : ADC g.g BD.DC AD.DE (2) B D C
 AD DC
Lấy (1) - (2) theo vế ta được: AB.AC BD.DC AD AE DE AD2
 E
Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó: ·ABC ·ADC , ·ABC B· CD 1800 , Gọi E là giao điểm của 
AB và CD,CMR: AC2 CD.CE AB.AE
 B
HD: x
Trên nửa mặt phẳng bờ BE, N
 không chứa C vẽ tia Ex sao cho: B· Ex ·ACB A
=> Ex cắt AC tại N => Nµ Bµ Dµ
Ta có : E D C
 AB AC
 ABC : ANE g.g AB.AE AC.AN (1)
 AN AE
 CD CA
Tương tự : CAD : CEN g.g CD.CE CA.CN (2)
 CN CE
Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm
Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc 
với AD
CMR: Hệ thức: AB.AE AD.AF AC2
HD:
 A B E
Vì AC là đường chéo lớn => Dµ 900 H AC , 
Kẻ DH  AC H
=> AHD : AFC g.g 
 AD AH K
 AD.AF AC.AH (1)
 AC AF
 D C
 F Tương tự kẻ BK  AC AKB : AEC g.g 
 AB AK
 AB.AE AC.AK (2)
 AC AE
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: AD.AF AB.AE AC AH AK AC.AC AC 2
Vì ABK CDH ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC Bài 12: Cho ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với 
AB cắt BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường 
thẳng đia qua O và //AC cắt AB tại H và BC tại E
 KH DE GF DG KF EH
a, CMR: 1 b, CMR: 2
 AB BC AC AB BC AC
HD: A
 KH KO
a, HKO : ABC g.g 
 AB BC G
 GF OF
 GOF : ABC g.g 
 AC BC H
 KH DE GF KO DE OF
Nên 1
 AB BC AC BC BC BC K O F
b, Ta có:
DG DC EH BE
 và , 
AB BC AC BC
 B D E C
Khi đó: 
DG KF EH DC KF BE DE EC BD EC DB DE 2BC
 2
AB BC AC BC BC BC BC BC
 NC AC
Bài 13: Cho ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, CMR : 1
 ND BC
HD:
 A
Vẽ DE / / BM ( E AC )
 NC MC
 QDE có NM / /DE (*) E
 ND ME
 AD AC
 ABC có DC là tia phân giác nên: (1) M
 DB BC D
 AD AE
và ABM có DE//BM (2)
 DB EM N
 AC AE 1
Từ (1) và (2) ta có : (**) 2
 BC ME B C
 NC AC MC AE ME
Lấy (*) - (**), ta có : 1
 ND BC ME ME ME
 DB EC FA
Bài 14: Cho ABC có các đường phân giác AD, BE, CF, CMR: . . 1
 DC EA FB
HD: A
 DB AB
 ABC có AD là tia phân giác nên: , 
 DC AC
 E
 F
 B D C EC BC FA AC
Tương tự: , ,
 EA AB FB BC
 Nhân theo vế ta được đpcm
Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G 
CMR:
a, AE2 EK.EG
 1 1 1
b, 
 AE AK AG
c, Khi a thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi?
HD:
 AE EB
a, ABE có AM / /DG (1)
 EG ED
 B
 EB EK A
 ADE có AD / /BK (2)
 ED EA
 AE EK
Từ (1) và (2) ta có: AE 2 EK.EG E
 EG EA
 C
 D G
 1 1 1 AE AE
b, Từ: 1 K
 AE AK AG AK AG a
 AE ED AE ED AE ED
 ADE có AD / /BC (3)
 EK EB AE EK ED EB AK DB
 AE BE AE BE AE BE
Tương tự: AEB có AB / /DG (4)
 EG ED AE EG BE ED AG BD
 AE AE ED BE
Khi đó: 1=>đpcm
 AK AG BD BD
 BK AB KC.AB KC CG AD.CG
c, ta có: BK và DG 
 KC CG CG AD DG KC
Nhân theo vế ta được BK.DG AB.AD không đổi
 BH.CH CH.AH AH.BH
Bài 16: Cho ABC nhọn, H là trực tâm, CMR : 1
 AB.AC BC.BA CA.CB
HD: A
 B'
 C'
 H
 C
 B A'