Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của 
biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một 
giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu 
thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên
Xét biểu thức A(x)
+) Ta nói A(x) có giá trị lớn nhất là M, nếu
 A(x) Mx và có giá trị x0 sao cho A(x0 ) M (Chỉ ra 1 giá trị là được) 
+) Ta nói A(x) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu
 A(x) mx và có giá trị x0 sao cho A(x0 ) m (Chỉ ra 1 giá trị là được)
Như vậy :
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần :
- Chứng minh A k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần :
- Chứng minh A k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A
Ví dụ: Sai lầm
 A(x) 2x2 2x 3 x2 (x 1)2 2 2 GTNN 2 ( Không chỉ ra được dấu = )
 1 1 5 5 5 1
Đáp án đúng là : A(x) 2(x )2 GTNN x 
 2 2 2 2 2
B. Các dạng toán
 Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai ax2 bx c
Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A(x) x2 4x 24 b. B(x) 2x2 8x 1
c.C(x) 3x2 x 1
 Lời giải
a. A(x) x2 4x 24 (x 2)2 20 20x min A(x) 20 x 2
b. B(x) 2x2 8x 1 2(x2 4x 4) 7 2(x 2)2 7 7 minB 7 x 2
 1 13 13 1
c. C(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 
 6 12 12 6
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. A(x) 5x2 4x 1 b. B(x) 3x2 x 1
 Lời giải
 4 1 2 9 9 2
a. A(x) 5x2 4x 1 5(x2 x ) 5(x )2 x 
 5 5 5 5 5 5
 1 13 13 1
b. B(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 
 6 12 12 6
 2 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2
Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A(x) x4 6x3 10x2 6x 9 b. B(x) x4 10x3 26x2 10x 30 
 4 3 2 4 2
c. C(x) x 2x 3x 4x 2017 d. D(x) x x 2x 7 
e. E(x) x4 4x3 9x2 20x 22 f. F(x) x(x 3)(x 4)(x 7)
g. G(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006
 Lời giải
a. A(x) x4 6x3 10x2 6x 9 (x4 6x3 9x2 ) (x2 6x 9) (x2 3x)2 (x 3)2 0x
 x2 3x 0
 min A(x) 0 x 3
 x 3 0
 2
 4 3 2 2 2 2 x 5x 0
b. B(x) x 10x 26x 10x 30 (x 5x) (x 5) 5 5 x 5
 x 5 0
c. C(x) x2 (x2 2) 2x(x2 2) (x2 2) 2015 (x2 2)(x 1)2 2015 2015 x 1
d. D(x) x4 2x2 1 x2 2x 1 5 (x2 1)2 (x 1)2 5 5 x 1
e. E(x) x4 4x3 9x2 20x 22 (x4 4x3 4x2 ) 5(x2 4x 4) 2 (x2 2x)2 5(x 2)2 2 2 x 2
 2 2 2 x 1
f. F(x) x(x 3)(x 4)(x 7) (x 7x)(x 7x 12) y 36 36 y 0  
 x 6
 2 2 2 2 x 0
g. G(x) (x 5x 6)(x 5x 6) 2006 (x 5x) 2042 2042 
 x 5
 Dạng 3 : Đa thức có từ 2 biến trở lên
 3 Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng F x; y ax2 by2 cxy dx ey h a.b.c 0 1 
- Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức a2 2ab b2 a b 2 như sau
 F x; y mK x; y2 nG y2 r 2 hoặc F x; y mK x; y2 nH x2 r 3 
Trong đó G y, H x là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K x; y px qy k cũng là biểu 
thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với a 0;4ac b2 0
Ta có 4a.F x; y 4a2 x2 4abxy 4acy2 4adx 4aey 4ah 4a2 x2 b2 y2 d 2 4abxy 4adx 2bdy
 4ac b2 y2 2y 2ae bd 4ah d 2
 2
 2 2 2ae bd 2 2ae bd 
 2ax by d 4ac b y 2 4ah d 2 
 4ac b 4ac b 
Vậy có (2) với 
 2
 1 b2 4ac 2ae bd d 2 2ae bd 
 m .F x; y 2ax by d;n ;G(y) y ;r h 
 4a 4a 4ac b2 4a 4a 4ac b2 
+) Nếu a 0;4ac b2 0 m 0,n 0 2 : F x; y r * 
+) Nếu a 0;4ac b2 0 m 0,n 0 2 : F x; y r ** 
+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất
+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất
Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa 
thức đã cho
Trong cả hai trường hợp trên:
 4 - Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm
- Nếu F x; y r 0 hoặc F x; y r 0 thì không có x; y nào thảo mãn F(x; y) = 0 
+) Nếu a 0;4ac b2 0;r 0 2 : F x; y phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải 
được các bài toán khác
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a. A x2 2y2 2xy 4y 5 b. B 2x2 2y2 5y2 5 
 Lời giải
a) Ta có A(x) x2 2y2 2xy 4y 5 x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1
 x y 0
 A 1x, y R " " x y 2
 y 2 0
Vậy min A 1 x y 2
b) B 2x2 2y2 5y2 5 x2 4xy 4y2 x2 2xy y2 y2 5 x 2y 2 x y 2 5 5
 x 2y 0
 x y 0
 x y 0
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a. A(x) 2x2 y2 2xy 2x 3 b. B(x) x2 xy y2 3x 3y 
 2 2 2 2 2
c. C(x) 2x 3y 4xy 8x 2y 18 d. D(x) 2x 3y 4z 2(x y z) 2 
e. E(x) 2x2 8xy 11y2 4x 2y 6 f. F(x) 2x2 6y2 5z2 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2
 2 2 2 2 2
g. G(x) 2x 2y z 2xy 2xz 2yz 2x 4y h. H (x) x y xy x y 1 
 Lời giải
a. A(x) 2x2 y2 2xy 2x 3 (x2 2xy y2 ) (x2 2x 1) 2 (x y)2 (x 1)2 2 2 x y 1
 5 b. B(x) (x2 2x 1) (y2 2y 1) x(y 1) (y 1) 3 (x 1)2 (y 1)2 (x 1)(y 1) 3
 2
 1 y 1 y 1 y 1 y2 2y 1
 (x 1)2 2(x 1). .(y 1) ( )2 ( )2 (y 1)2 3 x 1 y2 2y 1 3
 2 2 2 2 4
 2 y 1
 y 1 3(y 1)2 x 1 0 x 1
 x 1 3 3 2 
 2 4 y 1
 y 1 0
 2 2 2 2 2
c. C(x) 2x 4xy 2y y 8x 2y 18 2 (x y) 2(x y)2 4 (y 6y 9) 1
 2(x y 2)2 (y 3)2 1 1 min A 1 y 3; x 5
d. D(x) 2x2 3y2 4z2 2(x y z) 2 2(x2 x) (3y2 2y) (4z2 2z) 2
 1 2 1 1 1 1 1
 2(x2 x ) 3(y2 y ) (2z)2 2z 2 
 4 3 9 4 2 3 4
 1 1 1 11 11 1 1 1
 2(x )2 3(y )2 (2z )2 (x, y, z) ( ; ; )
 2 3 2 2 2 2 3 4
 2 2 2 2 2
e. E(x) 2(x 4xy 4y ) 3y 4x 2y 6 2(x 2y) 4(x 2y) 2 3y 6y 4
 2 2 x 2y 1 0 x 3
 2(x 2y 1) 3(y 1) 1 1 
 y 1 0 y 1
f. F(x) 2x2 6y2 5z2 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2(kho)
 3y z 3y z
F(x) 2x2 2x(3y z) 2( )2 6y2 5z2 8yz ( )2 2y 4z 2
 2 2
 3y z 3 10 25 1
 2(x )2 (y2 yz z2 ) z2 2y 4z 2
 2 2 3 9 3
 3y z 3 5 5 2 1 2 1
 2(x )2 (y z)2 2(y z) ( z 2 z ) 1
 2 2 3 3 3 3 3 3
 6 3y z
 x 0
 2
 x 1
 3 5 2 2 1 2 5 2 
 2(...) (y z ) (x 1) 1 1 y z 0 y 1 min A 1
 2 3 3 3 3 3
 z 1
 z 1 0 
g. G(x) 2x2 2y2 z2 2xy 2xz 2yz 2x 4y (x 1)2 (y 2)2 (x y z)2 5 5 x 1; y 2; z 3
h. H (x) x2 y2 xy x y 1 4H (x) (2x)2 2.2x.y y2 3y2 4x 4y 4 
 2 1 8 8
 (2x y)2 2(2x y) 3y2 2y 3 1 (2x y 1) 3(y2 y 1) (2x y 1) 3(y )2 
 3 2 3 3
 8 2 1 2
 min 4A x ; y min A 
 3 3 3 3
Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 b. x2 y 2 xy 2x 2y
 Lời giải
a. A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 4x2 8xy 4y2 y2 10y 25 37 4(x y)2 (y 5)2 37 37
 x 5
 y 5
b. A x2 y 2 xy 2x 2y 4A 4x2 4y2 4xy 8x 8y
A 4x2 4x(y 2) (y 2)2 (y 2)2 4y2 8y
 2 2 2 2 2x y 2 0 x 2
 (2x y 2) 3(y 4y) 4 (2x y 2) 3(y 2) 16 16 A 4 
 y 2 0 y 2
Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A 5x2 9y 2 12xy 24x 48y 82 b. B 3x2 3y 2 z2 5xy 3yz 3xz 2x 2y 3
 Lời giải
a. A 5x2 9y 2 12xy 24x 48y 82 9y2 12y(x 4) 4(x 4)2 4(x 4)2 5x2 24x 82
 7 2 16
 3y 2(x 4) (x 4)2 2 2x, y R x 4; y 
 3
 2
 3 3 y 4 2
b. B z (x y) (x )2 (y 2)2 1 1
 2 4 3 3 3
Bài 5: Tìm GTLN của A x y z (x2 2y2 4z2 )
 Lời giải
 1 1 1 7 7 7 1 1 1
 A (x )2 2(y )2 (2z )2 A x ; y ; z 
 2 4 4 16 16 16 2 4 8
Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] . Tìm GTNN của A x 2 2y2 2xy 2x 4y 2013
 Lời giải
A x 2 2y2 2xy 2x 4y 2013 x2 2x(y 1) (y 1)2 (y 3)2 2003 2003 x 4; y 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 2x 10y 17
 Hướng dẫn
 2 2
A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 
 2
 x y 1 y2 8y 16 
Bài 2: Tìm min của: B x2 xy y2 2x 2y
 Hướng dẫn
 2 2
 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y
B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1
 2 4 4
 2
4B x y 2 4y2 8y y2 4y 4
Bài 3: Tìm min của: C x2 xy y2 3x 3y
 Hướng dẫn
 8 2 2
 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9
C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y 
 2 4 4
 2 2 2 
4C x y 3 4y 12y y 6y 9 
Bài 4: Tìm min của: D x2 2xy 6y2 12x 2y 45
 Hướng dẫn
 2
D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 6y2 2y 45 y2 12y 36 
 2
 x y 6 5y2 10y 9
Bài 5: Tìm min của: E x2 xy 3y2 2x 10y 20
 Hướng dẫn
 y 2 y2 4y 4 y2 4y 4
E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x. 3y2 10y 20 
 2 4 4
 2 2
4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y 4 x y 2 11y2 36y 76 
Bài 6: Tìm max của: F x2 2xy 4y2 2x 10y 3
 Hướng dẫn
 F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 x2 2x y 1 4y2 10y 3
 2 2
 F x2 2x y 1 y 1 4y2 10y 3 y 1 
Bài 7: Tìm min của: G x ay 2 6 x ay x2 16y2 8ay 2x 8y 10
 Hướng dẫn
 2
G x ay 6 x ay 9 x2 2x 1 16y2 8ay 8y
 2 2 2 2
G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 
 2 2 2 2 2
G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 a 1 
Bài 8: Tìm max của: H x2 xy y2 2x 4y 11
 Hướng dẫn
 H x2 xy y2 2x 4y 11 x2 x y 2 y2 4y 11
 9 2
 y 2 y2 4y 4 y 2 
 H x2 2x. y2 4y 11 
 2 4 4
 2
 4H x y 2 4y2 16y 44 y2 4y 4 
Bài 9: Tìm min của: I x2 4xy 5y2 6y 11
 Hướng dẫn
I x2 4xy 4y2 y2 6y 11
Bài 10: Tìm min của: K x2 y2 xy 3x 3y 20
 Hướng dẫn
 2 2
4K 4x2 4y2 4xy 12x 12y 80 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 80 y 3 
 2
4K 2x y 3 3y2 18y 71
Bài 11: Tìm min của: M x2 2xy 2y2 2y 1
 Hướng dẫn
M x2 2xy y2 y2 2y 1 
Bài 12: Tìm min của: N x2 2xy 2y2 x
 Hướng dẫn
 2 2
 2y 1 2y 1 2y 1 
N x2 x 2y 1 2y2 x2 2x. 2y2 
 2 4 4
 2
4N x 2y 1 8y2 4y2 4y 1 
Bài 13: Tìm min của: A x2 2xy 3y2 2x 1997
 Hướng dẫn
 2
A x2 2x y 1 3y2 1997 x2 2x y 1 y 1 3y2 1997 y2 2y 1 
Bài 14: Tìm min của: Q x2 2y2 2xy 2x 10y
 Hướng dẫn
 2
Q x2 2x y 1 2y2 10y x2 2x y 1 y 1 2y2 10y y2 2y 1 
 10