Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số (Có đáp án)

 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ
- Là phương trình có dạng: ax = b phụ thuộc vào tham số m
 b
+) Nếu a 0 x 
 a
 b 0  0x 0(vo.so.nghiem)
 +) Nếu a 0 0x b 
 b 0  ptvn
Bài 1: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau
a. (m2 4)x 3m 6 b. (2m 1)x 2m 3x 2 
 2
c. m(x 2) 3x 1 d. (m 2)x 2m x 3 
Lời giải
a. (m2 4)x 3m 6
 3m 6 3
+) Nếu (m2 4) 0  m 2 x 
 m2 4 m 2
 2 m 2 0x 0(vo.so.nghiem)
+) Nếu (m 4) 0  
 m 2 0x 12(vo.nghiem)
b. (2m 1)x 2m 3x 2  (2m 2)x 2m 2
 2m 2
+) Nếu 2m 2 0 x 1
 2m 2
+) Nếu 2m 2 0 m 1 0x 0 vo.so.nghiem
Vậy nếu +) Nếu m 1 phương trình có vô số nghiệm
+) m = 1 phương trình vô nghiệm
c. m(x 2) 3x 1  (m 3)x 2m 1 
 2m 1
+) m 3 0  m 3 x 
 m 3
+) m 3 0  m 3 0x 7(vo.nghiem)
d. (m2 2)x 2m x 3  (m2 1)x 2m 3 
 2m 3
Ta có: m2 1) 0m pt luôn có nghiệm x 
 m2 1
Bài 2: Cho phương trình (m2 1)(x 2) 1 m 
 1 a. Tìm m để x = 3 là nghiệm của phương trình
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
c. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Lời giải
 2 2 4
a. Thay x = 3 vào phương trình, ta được: 5(m 1) 1 m  5m m 4 0  m 1; 
 5 
b. (m2 1)(x 2) 1 m  (m2 1)x 2m2 m 1
Để phương trình có nghiệm thì xảy ra 2 trường hợp
+) Phương trình có nghiệm duy nhất  m 2 1 0  m 1
 m2 1 0
+) Phương trình có vô số nghiệm  m 1
 2
 2m m 1 0
Vậy m 1 thì phương trình luôn có nghiệm
 m 1
 m 1 
 m 1 4
c. Để phương trình có nghiệm dy nhất thì 2m2 m 1  m 
 5
 2 3 4
 m 1 m 
 5
 4
Vậy m 
 5
Bài 3: Cho phương trình m(x 1) 2x m2 m 4. Tìm m sao cho
a. Phương trình nhận 1 là nghiệm
b. Phương trình có nghiệm
c. Phương trình vô nghiệm
Lời giải
a. Thay x = 1 vào phương trình m 1;2 
b. Phương trình có nghiệm xảy ra 2 trường hợp là có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm
 m(x 1) 2x m2 m 4.  (m 2)x m2 4
+) Phương trình có nghiệm duy nhất  m 2 0  m 2 
 2 m 2 0
 m 2
+) Phương trình có vô số nghiệm  2  
 m 4 0
Vậy phương trình có nghiệm với mọi m
 m 2 0
 m
c. Phương trình vô nghiệm  2   
 m 4 0
Bài 4: Tìm a Z để phương trình 3(x 2) ax 4 có nghiệm nguyên
Lời giải
 3(x 2) ax 4  (3 a)x 2
+) Nếu 3 a 0  a 3 ptvn 
 2
+) Nếu 3 a 0 x Z  3 a U ( 2) 1; 2  a 1;2;4;5 
 3 a
Bài 5: Giải và biện luận các phương trình sau
 (m 2)x 3 2a 1
a. 2m 1 b. a 2 
 x 1 x 2
 mx 1 (m 1)x m 2
c. 1 d. m 
 x 1 x 3
Lời giải
a. Điều kiện: x 1 (m 2)x 3 (2m 1)(x 1)  ( m 1)x 2m 4 
 2m 4
+) m 1 0  m 1 x nghiệm này phải 
 m 1
 2m 4 2m 4
 1  1  1 0  2m 4 m 1 0  m 5 
 m 1 m 1
 2m 4
Vậy với m 1;m 5 x 
 m 1
Với m = 5 phương trình vô nghiệm
+) m 1 0  m 1 pt  0x 5(vo.nghiem) 
b. Điều kiện xác định: x 2 0  x 2
 2a 1
 a 2  (a 2)x 4a 5
 x 2
 4a 5 4a 5 3
+) a 2 0  a 2 x . Xét 2  4a 5 2(a 2)  a 
 a 2 a 2 2
 3 4a 5 3
+) a 200  a 2 pt  0x 3(vo.nghiem) . Xét 2  4a 5 2(a 2)  a 
 a 2 2
 3
Vậy a 2;a phương trình vô nghiệm
 2
 3 4a 5
 a 2;a phương trình có nghiệm x 
 2 a 2
c. Điều kiện x 1
 mx 1
 1  mx 1 x 1  (m 1)x 2
 x 1
+) m 1 0  m 1 ptvn
 2 2 2 m 1 m 1
+) m 1 0  m 1 x 1  1 0  0  0  m 1
 m 1 m 1 m 1 m 1
 2
Vậy m 1;m B 1 phương trình có nghiệm x 
 m 1
Vậy m 1;m 1 phương trình vô nghiệm
d. Điều kiện x 3
 (m 1)x m 2
 m  (m 1)x m 2 m(x 3)  x 2m 2
 x 3
 5
Xét 2m 2 3  m 
 2
 5
Vậy m phương trình có nghiệm x 2m 2 
 2
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau
a. m(x m) x (m 2) b. m2 (x 1) 1 (2 m)x 
 2 2
c. m x 6 4x 3m d. m (x 1) m x(3m 2) 
Bài 2: Tìm m để mỗi phương trình sau có 1 nghiệm 
 2
a. (x m)(x 1) 0 b. m(m 1)x m 1 
Hướng dẫn
 x 1
a. (x m)(x 1) 0  m 1 
 x m
 4 2 m 0
b. m(m 1)x m 1  m(m 1) 0  . Vậy m 0;m 1 thì phương trình có 1 nghiệm 
 m 1
Bài 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm : (m 1)x (x 2) 0
Giải
 (m 1)x (x 2) 0  mx 2 0
 m 0
Để phương trình vô nghiệm thì  m 0
 2 0
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có vô số nghiệm : m2 x m 4x 2(1)
Lời giải
 2
 2 m 4 0
 (1)  (m 4)x m 2 có vô số nghiệm   m 2 
 m 2 0
Bài 5: Với giá trị nào của m thì: 
a. 2x 1 5a 4 có nghiệm dương b. 3(x 2) ax 4 có nghiệm lớn hơn -1
c. (a2 3a 2)x 3 3a có nghiệm duy nhất
Lời giải
 5(a 1)
a. 2x 1 5a 4  2x 5a 5  x 0  a 1
 2
b. 3(x 2) ax 4  (3 a)x 2 
+) 3 a 0  a 3 thay vào phương trình vô nghiệm
 2 2 2 a 1 a 3
+) 3 a 0  a 3 x 1 1 0  0  
 3 a a 3 a 3 a 3 a 1
 2 2 2 a 1
c. (a 3a 2)x 3 3a  (a 3a 2)x 3a 3 có nghiệm duy nhất  a 3a 2 0  
 a 2
Bài 6: Tìm a để phương trình có nghiệm nguyên: 2x a 3 (x 2)a
Lời giải
 a 3 a 2 5 5
 2x a 3 (x 2)a  x 1 
 2 a 2 a 2 a
 5 5 5 5
Để x Z Z k z(k 0) 2 a a 2 (k Z;k 0) 
 2 a 2 a k k
 5 ( Vì a có thể không nguyên )
 5
+) Nếu a nguyên Z 5k k 1;k 5
 k
 2 3m
Bài 7: Cho phương trình: m 1(1) . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 
 2 x
Lời giải
Điều kiện: x 2
 2 3m
 m 1  2 3m (m 1)(2 x)  (m 1)x 5m
 2 x
 m 1 m 1
 5m 
+) m 1 0  m 1 x . Vì x 2 5m  2 
 m 1 2 m 
 m 1 3
 2x 1 x 3
Bài 8: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình vô nghiệm
 2x m x 1
Lời giải
 m
Điều kiện: x 1; x 
 2
 2x 1 x 3
  (2x 1)(x 1) (x 3)(2x m)  (m 7)x 1 3m(1)
 2x m x 1
 1 3m m
+) TH1: m 7 (1)  x . Vì x ; x 1 nên ta có các trường hợp sau:
 m 7 2
 m 1 3m m 2 m 1
- x   2 6m m 7  
 2 m 7 2 m 2
 1 3m
- x 1  1 1 3m m 7  m 2
 m 7
Vậy phương trình vô nghiệm  m 1;2;7
 m 3m2 4m 3 1
Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: 
 x m m2 x 2 x m
Lời giải
Điều kiện xác định: x  m
 6 m 3m2 4m 3 1 m 3m2 4m 3 1
  m(x m) 3m2 4m 3 x m  (m 1)x (m 1)(2m 3)
 x m m2 x 2 x m x m (x m)(x m) x m
+) m 1 0  m 1 0.x 0
Vì x m x 1 m 1 phương trình nghiệm đúng với mọi x 1 
Hay S x R / x 1
+) m 1 0  m 1 x 2m 3 vì điều kiện x m 
 +) x m  2m 3 m  m 3
 +) x m  2m 3 m  m 1 
Vậy m 1;m 3 phương trình đã cho có nghiệm x 2m 3 
 7 B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẢN
 b
 a 0  x 
 a
Dạng tổng quát: ax b 0  ax b  
 b
 a 0  x 
 a
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
 4x 1 3x 2 10x 3 6 5x
a. x b. 1 
 2 3 4 8
 b b
 a 0  x a 0  x 
 a a
c. ax b 0  ax b  d. ax b 0  ax b  
 b b
 a 0  x a 0  x 
 a a
Ví dụ 2: Giải các hệ bất phương trình sau
 3 2x 7 3x 1 3 x x 1 2x 1
 2x 
 5 3 2 3 4 3
a. b. 
 1 (3x 1) 2x 1 4
 x 5 3 x 
 2 2 5 3
 1
 15x 2 3x 
 3 2x 1 x 5
c. d. 
 3x 14 (1 2x)2 (2x 3)2
 2(x 4) 
 2
Hướng dẫn:
 3 2x 7 11
 2x x 
 5 3 10 4 11
a.   x 
 1 (3x 1) 4 13 10
 x 5 x 
 2 2 13
 3x 1 3 x x 1 2x 1 13
 x 
 2 3 4 3 27 13
b.   x 
 2x 1 4 22 27
 3 x x 
 5 3 21
*) Giải và biện luận bất phương trình 
 ax b 0  ax b(1)
+) Nếu a 0
 8 b
 +) a 0 (1)  x 
 a
 b
 +) a 0 (1)  x 
 a
+) Nếu a 0  0x b
 +) b 0 bpt vô số nghiệm
 +) b 0 bpt vô nghiệm
Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau
a. m(x m) 3x 9 b. mx 6 2x 3m
 3
c. (x m)m x 3x 4 d. 3(x m) (m 1) 1 mx 
Lời giải
a. m(x m) 3x 9  (m 3)x m2 9(1) 
 m2 9
+) m 3 0  m 3 (1)  x m 3
 m 3
+) m 3 0  m 3 (1)  x m 3
+) m 3 0  m 3 (1)  0x 0 ( vô số nghiệm ) 
b. mx 6 2x 3m  (m 2)x 3m 6(1)
 3m 6
+) m 2 0  m 2 (1)  x 3
 m 2
+) m 2 0  m 2 (1)  x 3
+) m 2 0  m 2 (1)  0x 0 vô nghiệm
c. (x m)m x 3x 4  (m 2)x m2 4(1) 
 m2 4
+) m 2 0  m 2 (1)  x m 2
 m 2
+) m 2 0  m 2 (1)  x m 2
+) m 2 0  m 2 (1)  0x 0 phương trình vô nghiệm
 3 3 2
 d. 3(x m) (m 1) 1 mx  (m 3)x m 3m (1) 
+) m 3 0  m 3 (1)  x m2
 9 +) m 3 0  m 3 (1)  x m2
+) m 3 0  m 3 (1)  0x 0 vô số nghiệm. 
 10