Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Số chính phương (Có đáp án)

 SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Định nghĩa : Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên
Vd: 4 22 ;16 42
2. Các tính chất của số chính phương
a. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận 
cùng là 2, 3, 7, 8
Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 
2, 3, 7, 8
b. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn, 
không chứa TSNT với số mũ lẻ
Vd: 3600 602 24.32.52
 Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ 
lẻ
c. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n + 1 ( a2  0,1(mod3) ) không có 
SCP nào có dạng 3n + 2 ( n N )
d. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n + 1 ( a2  0,1(mod 4) ) không có 
SCP nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 ( n N )
e. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ 
thì đó là số chính phương
f. Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p2
g. Nếu a.b là SCP và (a,b) = 1 a, b đều là các số chính phương
h. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn ( 121, 49, )
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn
- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ
*) HỆ QUẢ : Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
 1 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương
- Ta Biến đổi để đưa số đó về bình phương của một số tự nhiên
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A (x y)(x 2y)(x 3y)(x 4y) y4
Là một số chính phương
Lời giải
Cách 1: A (x2 5xy 4y2 )(x2 5xy 6y2 ) y4 x4 10x3 y 35x2 y2 50xy3 25y4
 (x2 5xy)2 2.(x2 5xy).5y2 (5y2 )2 (x 2 5xy 5y2 )2
Vì x, y, z Z x2 ,5xy,5y2 Z x2 5xy 5y2 Z A là số chính phương
Cách 1: Đặt x2 5xy 4y2 t(t Z) A (t y2 )(t y2 ) y4 t 2 (x2 5xy 5y2 )2 (dpcm) 
Bài 2: Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them 1 luôn là số chính 
phương
Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + 3 ( n Z )
Ta có: n(n 1)(n 2)(n 3) 1 (n2 3n 1)2 (dpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là SCP
Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n 2,n 1,n,n 1,n 2(n N,n 2)
Ta có: (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 5n2 10 5(n2 2)
Vì n2 là số chính phương nên n không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 + 2 không 
chia hết cho 5, hay 5(n2 2) không phải là số chính phương.
 2 Bài 4: Cho hai số chính phương liên tiếp. CMR tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là 
một số chính phương lẻ
Lời giải
Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là: a2 và (a 1)2 (a Z)
Theo bài ra ta có: 
 a2 (a 1) 2 a2 (a 1)2 a4 2a3 3a2 2a 1 (a4 2a3 3a2 ) (a2 2a 1) (a2 a)2 2(a2 a) 1
 (a 2 a 1)2 là SCP lẻ vì a 2 a a(a 1) là số chẵn a2 a 1 là số lẻ 
Bài 5: Chứng minh rằng số n2 + 2014 với n nguyên dương không phải là số chính phương
Lời giải
Giả sử n2 + 2014 là số chính phương
Đặt n2 2014 k 2 k 2 n2 2014 (k n)(k n) 2014
Ta có (k n) (k n) 2n chẵn k n;k n cùng tính chất chẵn lẻ k;n cùng tính chẵn lẻ 
Mặt khác ta lại có : (k n)(k n) 2014 k n;k n đều chia hết cho 2 hay (k n)(k n)4 
Mà 20144 (k n)(k n) 2014 không có số nguyên dương nào của n để là SCP.
Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n6 n4 2n3 2n2 ,n N,n 1 không phải SCP 
Lời giải
Ta có : 
 6 4 3 2 2 4 2 2 2 2 3 2
 n n 2n 2n n (n n 2n 1) n n (n 1)(n 1) 2(n 1) n (n 1)(n n 2)
 2 3 2 2 2 2 2 2
 n (n 1) (n 1) (n 1) n (n 1) (n 1)(n n 1) (n 1)(n 1) n (n 1) (n 2n 2)
Ta đi chứng minh n2 2n 2 không phải số chính phương ( dựa vào n2 A (n 1)2 )
Ta có : 
 n2 2n 2 (n 1)2 1 (n 1)2 ;n2 2n 2 n2 2(n 1) 2 (n 1)2 n2 2n 2 n2 n2 2n 2
Không phải số chính phương.
 3 Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là SCP
Lời giải
 a 2k 1 2 2 2 2
Vì a, b là hai số lẻ, ta đặt (k,m N) a b 4(k k m m) 2 4t 2(t N)
 b 2m 1
Không có số chính phương nào dạng 4t 2 2(t N) a2 b2 không phải số chính phương
Bài 8: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị 
đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số CP
Lời giải
Cách 1: Ta đã biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ 
Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1, 3, 5, 7, 9
Khi đó tổng của chúng là : 25 = 52 là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của 
a là 4 hoặc 6 nên a2 a4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96
Do đó ta có : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương. 
Bài 9: Cho A 22 23 24 ... 220 . CMR : A + 4 không là số chính phương
Lời giải
 A 22 23 24 ... 220 2A 23 24 ... 221 2A A A 221 22 A 4 221 2.(210 )2
Không phải là số chính phương
b. Cho B 31 32 ... 3100 . CMR : 2B + 3 không là số chính phương
Lời giải
 B 31 32 ... 3100 3B 32 33 ... 3100 2B 3 3101 3.(350 )2 dpcm
Bài 10: Chứng minh rằng A 1 1...15 5...56 là số chính phương
 n 1 n
Lời giải
 4 n 1 n
 n 1 99...9 n 1 10 1 n 1 5(10 1)
A 1 1...1.10 5 5...5.10 6 .10 5 5...5.10 6 .10 .10 6
 n 1 n 9 n 9 9
 102n 2 10n 1 5.10n 1 50 54 102n 2 4.10n 1 4 10n 1 2
A ( )2
 9 9 3
b. Chứng minh rằng B 11.....1122....225 là số chính phương
 1997 1998
Lời giải
 1999 1 1997 1999 2 1998
B 11.....11.10 22...22.10 5 (10 1).10 (10 1).10 5
 1997 1998 9 9
 2 100...005
 1 1 
 (103996 2.5.101998 25) (101998 5)2 ( 1997 ) 2
 9 3 3
c. A 1 1....1 44....4 1 là số chính phương
 2nchuso1 nchuso4
Lời giải
 101 1 102 1 103 1
Ta có : 1 ;11 ;111 
 9 9 9
 102n 1 4(10n 1) 102n 4.102 4 10n 2
A 1 ( )2
 9 9 9 3
Vì 10 n 23 A là số chính phương
 n
 10 8 2
d. A 1 1....1 1 1...1 66....6 8 ( )
 2n n 1 n 3
 n
 2.10 7 2
e. A 44....4 22....2 8 8....8 7 ( )
 2n n 1 n 3
Bài 11: Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... k(k 1)(k 2). CMR: 4S + 1 là số chính phương
Lời giải
Ta có: 
 1 1 1
k(k 1)(k 2) k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1) k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k(k 1)(k 2)
 4 4 4
 5 1
 S k(k 1)(k 2)(k 3) 4S 1 k(k 1)(k 2)(k 3) 1 ......
 4
Bài 12: Khó. Cho một dãy số có số đầu tiên là 16, các số sau được tạo ra bằng cách viết thêm 
số 15 vào chính giữa số liền trước nó: 16, 1156, 111556, Chứng minh rằng mọi số của dãy 
đều là số chính phương
Lời giải
Trong mỗi số của dãy trên, số chữ số 5 luôn ít hơn số chữ số 1 là một chữ số
Đặt A 11...11. 55...55 thuộc dãy số trên. Ta sẽ chứng minh A là số chính phương
 n.chu.so.1 n 1.chu.so.5
 n
Thật vậy, đặt a 1 1..11 10 9a 1 
 n.chu.so.1
Ta có: 
 n n 2 2
 A 1 1.11 .10 5. 11...11 .10 5 1 11...11.10 5.11...11 1 a(9a 1) 5a 1 (3a 1) 33...33 4
 n.chu.so.1 n 1.chu.so.1 n.chu.so.1 n.chu.so.1 n 1.chu.so.3
Vậy A là số chính phương.
Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a. n2 2n 12 b. n(n 3) c*. 13n 3 
d. n2 n 1598 e. [ HSG – BG – 2013] n2 4n 2013 f. [ HSG – LĐ – 2015] 
 n2 2n 18 
Lời giải
a. Đặt n2 2n 12 k 2 (k N) (n2 2n 1) k 2 11 k 2 (n 1)2 11
 (k n 1)(k n 1) 1.11 ( 1).( 11)
Ta lại có: k n 1 k n 1
 k n 1 11 k n 10 k 6
+) TH1: (tm)
 k n 1 1 k n 2 n 4
 6 k n 1 1 k 6
+) TH2: (loai)
 k n 1 11 n 4
Vậy n = 4
b. n(n 3) a2 4n2 12n 4a2 4n2 12n 9 4a2 9 (2n 3)2 4a2 9
 (2n 3 2a)(2n 3 2a) 9
 2n 3 2a 9 n 1
+) TH1: (tm)
 2n 3 2a 1 a 2
 2n 3 2a 1 n 4
+) TH2: (loai)
 2n 3 2a 9 a 2
Vậy n = 1
c. Đặt 13 3 y2 (y N) 13(n 1) y2 16 13(n 1) (y 4)(y 4) (y 4)(y 4)13
mà 
 y 413 y 13k 4 2 2
13 (k N) 13(n 1) (13k 4) 16 13k(13k 8) 13k 8k 1 n
 y 413 y 13k 4
Vậy n 13k 8k 1(k N) thì 13n + 13 là số chính phương 
d. n2 n 1598 m2 (m N) (4n2 4n 1) 6355 4m2 (2n 1)2 6355 m2
 (2m 2n 1)(2m 2n 1) 6355 6355.1 155.41 271.5 205.31
Ta có: 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 và là các số lẻ nên có 4 trường hợp
 n 1588,316,43,28
e. 
 n2 4n 2013 m 2 (m N) (n 2)2 2009 m2 (m n 2)(m n 2) 2009.1 287.7 49.41
Vì m + n + 2 > m + n – 2 nên có 3 trường hợp xảy ra.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương
Lời giải
 7 Vì n có hai chữ số 10 n 99 20 2n 198 21 2n 1 199
Mà 2n + 1 là số chính phương lẻ 
 2n 1 25;49;81;121;169 n 12;24;40;60;84 3n 1 37;73;121;181;253 n 40
Bài 3: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số sao cho nếu cộng số đó với số có hai chữ số ấy viết 
theo thứ tự ngược lại thì ta được một số chính phương
Lời giải
Gọi số cần tìm là: ab(1 a,b 9)
Số viết theo thứ tự ngược lại là : ba
Tổng của hai số đó là : ab ba 11(a b)
Vì tổng của hai số là số chính phương, đặt 11(a b) m2 (m N) a b 11 có 8 số là : 
29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92 
Bài 4: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho : n2 14n 256 là một số chính phương
Lời giải
 n2 14n 256 k 2 (k N) (n 7)2 k 2 305 (n k 7)(n k 7) 305 61.5 
Đặt 
 ( 1)( 305) ( 61)( 5)
Do n,k N n k 7 n k 7
 n k 7 61 n 40
+) (tm)
 n k 7 5 k 32
 n k 7 1
+) n 160(tm)
 n k 7 305
+) n k 7 305 n 146(loai)
+) n k 7 61 n 26(loai)
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 28 211 2n là số chính phương
Lời giải
 8 Đặt 28 211 2n a2 (a 0,a N) 482 2n a2 2n (a 48)(a 48)
+) n 0 (a 48)(a 48) 1 voly
+) 
 a 48 2x 2y 5 x 7
 n 0 (x y n; x y) 96 2x 2y 2y (2x y 1) 25.3 n 12
 y  x y 
 a 48 2 le 2 4 y 5
Bài 6 : Tìm số tự nhiên n 1 sao cho : 1! 2! .... n! là số chính phương
Lời giải
+) n 1 S 1! 1 12 
+) n 2 S 1! 2! 3(loai) 
+) n 3 S 1! 2! 3! 9 32 
+) n 4 S 1! 2! 3! 4! 33(loai) 
+) n 5 S 1! 2! 3! 4! 5! 6! ... n! khonglasochinhphuong 
 33 tc 0
Vậy n = 1 hoặc n = 3
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n! 232 là số chính phương
Lời giải
+) n 1 1! 232 233(loai)
+) n 2,3 loai
+) n 4 n! 232 256 162 (tm)
+) n 5 n!5 n! 232  2(mod5) n! 232khonglasochinhphuong
Vậy n = 4.
Bài 8: Cho n là số nguyên dương sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là só chính phương. CMR n 
chia hết cho 24
Lời giải
 9 Đặt n 1 a2 ;2n 1 b2 (a,b N) b : le b 2k 1 b2 4k(k 1) 1
 b2 1 4k(k 1)
Mà n 2k(k 1) n : chan n 1: le a : le a 2q 1(q N)
 2 2
 a2 4q(q 1) 1 n 4q(q 1)8(1)
 
 2
Mặt khác a2 b2 3n 2  2(mod3)
Và a2 ,b2  0,1(mod3) a2 ,b2 1(mod3) a2 b2  0(mod3) (2n 1) (n 1)3 n3
Mà (3,8) 1 n n24 dpcm
Bài 9: [ Vào 10 Chuyên Phân Bội Châu, năm 2014 – 2015 ]
 2
Tìm các chữ số a, b sao cho: ab (a b)3
Lời giải
Từ giả thiết ab (a b) a b(1)
Vì ab;a b N * a b phải là số chính phương
Mà: 1 a b 18 a b 1;4;9;16 
+) a + b = 1 thay vào (1) ab 1(loai)
+) a + b = 4; a + b = 16 loại hết
+) a + b = 9 ab 27 a 2;b 7
Bài 10: Biết x N; x 2 . Tìm x sao cho: x(x 1)x(x 1) (x 2)xx(x 1)
Lời giải
Ta có vế trái của đẳng thức là số chính phương nên vế phải cũng là số chính phương
Một số chính phương chỉ có thể có chữ số tân cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
Nên x chỉ có thể có tận cùng là: 1, 2, 5, 6, 7, 0 (1)
Do x là chữ số nên x 9 2 x 9(2) 
 10