Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Số nguyên tố, hợp số (Có đáp án)

 SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
1. Định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và 
chính nó.
P là số nguyên tố U ( p) 1, p
Vd : 2, 3, 5, 7, .
2. Định nghĩa hợp số : Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước
3. Các tính chất 
a. Số 0, 1 không phải số nguyên tố, không phải hợp số
b. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất
c. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
d. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn
e. Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố và kết quả phân tích đó là duy nhất
f. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng : 4k 1;6n 1
g. Tập hợp các số tự nhiên bao gồm : Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số
h. Nếu a.b chia hết cho p ( p là số nguyên tố ) thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
i. Số ước số của hợp số
 n1 n2 nk *
Giả sử n p1 .p2 ....pk (n1,n2 ,...,nk N ) 
 *
 p1, p2 ,......, pk : Số nguyên tố n1,n2 ,......,nk (k N ) 
 số ước số của n là : (n1 1)(n 2 1)(....(nk 1) 
Vd : 100 2 2.52 100 có : (2 1)(2 1) 9 ước.
 1 *) Phương pháp kiểm tra một số là số nguyên tố hay hợp số
Với n N * , n 1 ta kiểm tra theo các bước sau :
- Tìm STN k sao cho : k 2 n (k 1)2
- Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ?
+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số
+) Nếu không chia hết thì n là hợp số
Bài 1: Tìm số tự nhiên n, sao cho
a. (2n 5)(3n 1) là số nguyên tố 
b. (n 2)(n2 n 7) là số nguyên tố 
c. (n 1)(n2 n 7) là số nguyên tố 
d. n2 1 là số nguyên tố 
Lời giải
 2n 5 1
a. Nếu n 1 (2n 5)(3n 1) là hợp số
 3n 1 1
Nếu n 0 (2n 5)(3n 1) 5 là số nguyên tố. Vậy n = 0
b. n 0 A 3(tm);n 1 A 1(loai);n 2 A 0(loai);n 3 A 11(tm)
 n 2 2
+) là hợp số
 n 3 2 lahopso
 n n 1 n(n 1) 1 1
Vậy n = 0 hoặc n = 3.
c. n 0(t / m);n 1(loai)
 2 2 n 3(loai)
d. Ta có: n 1 (n 1)(n 1) 
 n 2(tm)
Bài 2: Các số sau là số nguyên tố hay hợp sô, biết p là số nguyên tố
a. A p2 p 2018 b. B p2 p 2
 2
c. p 2000 d. D 1 1...1211.....1
 2017 2017
Lời giải
a. A p2 p 2018 p( p 1) 2018 A là số chẵn nên A là hợp số vì A lớn hơn 2 
 
 2
b. B p2 p 2 p( p 1) 2 là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số
c. p2 2000
+) p 2 C : chan là hợp số
+) p 3 C 20097 là hợp số
 +) p 3 p2 3 dư 1 p2 20003 là hợp số vì 2000 chia 3 dư 2
d. Tổng các chữ số của D là : 2017 + 2 + 2017 chia hết cho 3 nên D chia hết cho 3 và D > 3 
nên D là hợp số
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì n5 n4 1 không phải số nguyên tố 
Lời giải
Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích được : n5 n4 1 (n2 n 1)(n3 n 1)
Ta có : n 1 n2 n 1;n3 n 1 1 là hợp số
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( Tự nhiên ) (a,b) sao cho a4 + 4b4 là số nguyên tố
 3 Lời giải
Ta có: a4 4b4 (a2 2b2 )2 (2ab)2 (a2 2ab 2b2 )(a2 2ab 2b2 )
+) Nếu cặp số nguyên không cần xét a, b = 0
+) Nếu cặp số tự nhiên, ta phải xét a, b = 0
- Nếu a = 0 thì A = 4a4 ( loại )
- Nếu b = 0 thì A = a4 ( không là số nguyên tố )
- Nếu a,b 1 a2 2ab 2b2 a2 2ab 2b2 1 
Để A là số nguyên tố 
 2 2 2 2 a b 0
 a 2ab 2b 1 (a b) b 1 a b 1 A 5(tm) (a,b) (1,1)
 b 1
 4 DẠNG TOÁN: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
Bài toán: Tìm số nguyên tố p để 2 hoặc nhiều số phụ thuộc vào p cũng là số nguyên tố
- Tính chất : Cho q là một số nguyên tố, k là số tự nhiên khác 0, k không chia hết cho q. Khi 
đó mọi dãy số cách đều gồm bốn số hạng, khoảng cách giữa các số hạng bằng k thì tồn tại 
duy nhất 1 số chia hết cho q.
Vd : q = 2 , k = 3 ( k không chia hết cho q )
n ; n + 3
+) q = 3 , k = 2 
n ; n + 2 ; n + 4 , chẳng hạn 3;5;7
+) q = 5, k = 4
n, n + 4, n + 8, n + 12, n + 16 7,11,15,19,23
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng đồng thời là số nguyên tố
a. p + 2 và p + 10 b. p + 4 và p + 8
c. p + 10 và p + 20 d. p + 8 và p + 10
e. p + 10 và p + 14
Lời giải
a. Ta có : p p + 2, p + 10 là số nguyên tố
Xét dãy số : p + 2, p + 6, p + 10 luôn tồn tại một số chia hết cho 3
Mà : p 2 4 
P + 2 và p + 10 là số nguyên tố > 3 p 2/ 3; p 10/ 3 p 63 p3 p 3
 5 Thử lại : p + 2 = 5, p + 10 = 13 là các số nguyên tố.
Cách 2 : ( lớp 8) xét mod 3
+) Nếu p 3k p 3 p 2 5; p 10 13(tm)
+) Nếu p 3k 1 p 2 3k 33 hopso(loai)
+) Nếu p 3k 2 p 10 3k 123(loai)(k N * )
Vậy p = 3. Thử lại thấy thỏa mãn
b. Xét dãy số : p 10; p 15; p 20
 3 p 3
c. p 10; p 12; p 14 d. p 4; p 6; p 8
d. p 8; p 9; p 10
Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp và đều là các số nguyên tố
Lời giải
Gọi ba STN thỏa mãn bài toán là : p; p 2; p 4 ( p lẻ )
Trong ba số p, p + 2, p + 4 có duy nhất 1 số chia hết cho 3
Có số 3 là số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3
Bài 3: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sa đồng thời là số nguyên tố
a. p 2; p 6; p 8; p 14 b. p 6; p 8; p 12; p 14 mod : 5
c. p 4; p 6; p 10; p 16; p 22
Lời giải
a. Xét dãy số : p; p 2; p 4; p 6; p 8 tồn tại 1 số chia hết cho 5
 6 +) p 2 p 2 4 loai 
+) p 3 p 6 9 loai
 p5 p 5
+) p 5 p 5
 p 45 p 145(loai)
b. p 6; p 8; p 10; p 12; p 14
 5
c. p; p 2; p 4; p 6; p 8; p 10; p 12
+) p = 2, 3, 5 ( loại )
 p 27 p 167(loai)
+) p 7 p 7 thử lại đúng
 p 87 p 227(loai)
Bài 4: Tìm số nguyên tố p sao cho
a. p2 4; p2 4 đều là các số nguyên tố 
b. p 94; p 1994 là các số nguyên tố
Lời giải
a. Vì p2 4 là số nguyên tố nên p > 2
+) Nếu p = 3 thỏa mãn
+) p > 3, xét dãy số : p2 4; p; p2 4 có 1 số chia hết cho 3 p2 3 p3 p 3(voly) 
Cách khác : Xét số dư
+) p 3k p 3 tm
+) p 3k 1 p2 4 (3k 1)2 4 9k 2 6k 3 3(3k 2 2k 1)3 h / so
+) p 3k 2 p2 4 (3k 1)2 4 9k 2 12k 4 4 3(3k 2 4k) h / so
 7 Vậy p =3
b. Xét dãy số p, p + 47, p + 94 có 1 số chia hết cho 3
+) p 473 p 19943 loai p3 p 3(tm)
Vậy p =3
Bài 5: Chứng minh rằng : 200 p2 1;200 p2 1 không thể đồng thời là số nguyên tố 
Lời giải
Giả sử số 200 p2 1;200 p2 1 là số nguyên tố
 200 p2 3
Xét dãy số : 200 p2 1;200 p2 ;200 p2 1 có 1 số chia hết cho 3 p3 p 3 
 (200,3) 1
+) p 3 200.32 1 17997(hopso) voly dpcm 
Bài 6: Cho số nguyên tố p sao cho 8p2 + 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p2 – 1 cũng là 
số nguyên tố
Lời giải
Ta đi tìm số nguyên tố p sao cho : 8p2 + 1 là số nguyên tố
+) p 2 8p2 1 333 loai
+) p 3 8p2 1 73 là số nguyên tố
+) p 5, khi đó : p2 (3k 1) 8p2 1 3(8k 3)3 8p2 1 không là số nguyên tố
Hoặc xét : p = 3k + 1 ; p = 3k + 2
Do đó p = 3 p 3 8p2 1 71 là số nguyên tố.
 8 DẠNG TOÁN: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN NHỜ SỬ DỤNG TÍNH 
 CHẤT SỐ NGUYÊN TỐ
A. Kiến thức
Trong nhiều trường hợp khi giải phương trình nghiệm nguyên dẫn đến việc xét các số nguyên 
 t t
tố của số dạng n a2 b2 .
Một số tính chất của ước số nguyên tố của số n để sử dụng vào giải phương trình:
a. Mệnh đề 1. Nếu số nguyên tố p 2t k 1 với các số nguyên dương t, k và k lẻ, là ước của số 
 t t
 n a2 b2 thì p là ước số chung của a và b.
Chứng minh: 
+ Giả sử p không là ước số của số a thì p cũng không là ước số của số b 
 t
 (a, p) (b, p) 1. Theo định lí nhỏ Fermat thì a p 1 1(mod p) hay a2 k 1 (mod p).
 t t t
+ Tương tự b2 k 1 (mod p) suy ra a2 k b2 k  2 (mod p) *
 t t t t
Mặt khác sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ ta có (a2 )k (b2 )k (a2 b2 ).M n.M trong đó k 
lẻ và M là số nguyên.
 t t
Theo giả thiết n p (a2 b2 ) p , mâu thuẫn với *. 
Tương tự p không là ước của số p thì p không là ước của số a cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vậy 
số nguyên tố p phải là ước số chung của số a và số b.
b. Mệnh đề 2: Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau thì mọi ước số nguyên tố lẻ của a2 + b2 chỉ 
có dạng 4m + 1 (mà không có dạng 4m + 3) trong đó m là số nguyên dương.
Chứng minh: 
 9 + Xét ước số nguyên tố p = 4m + 3 = 2(2m + 1) +1. Theo mệnh đề 1 nếu p là ước số nguyên 
tố của n = a2 + b2 thì p là ước số chung của a và b p 1, mâu thuẫn. Vì p lẻ nên p chỉ có 
dạng p = 4m + 1.
+ Ta thử vận dụng các tính chất trên vào giải một số phương trình nghiệm nguyên dưới đây.
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên x2 y3 7 (1)
Lời giải
Phương trình (1) x2 1 y3 23 x2 1 (y 2)(y2 2y 4) (2) 
Nếu y chẵn thì vế phải của (2) chia hết cho 4 x lẻ, x 2t 1 x2 1 4t 2 4t 2 không chia 
hết cho 4, mâu thuẫn.
Vậy y là số lẻ, y 2k 1 y2 2y 4 4k 2 3 nên nó phải có ước số nguyên tố lẻ dạng 4m + 3 
(vì tích các số dạng 4m + 1 lại có dạng 4k + 1). 
Suy ra x2 1 có ước số nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái với mệnh đề 2. 
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.
 x2 y2
Bài 2.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, y ) sao cho là số nguyên dương và là 
 x y
ước số của 1995.
Lời giải
 x2 y2
Giả sử k nguyên dương và k là ước số của 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n = 3.7.19. Các 
 x y
số nguyên tố 3, 7, 19 đều có dạng 2(2m + 1) + 1 = 4m +3
Gọi ước chung lớn nhất của x, y là d (x, y) thì x du, y dv với (u,v) 1. 
Theo giả thiết x2 y2 k(x y) d(u2 v2 ) k(u v) (1).
 10