Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Tứ giác (Có đáp án)

 TỨ GIÁC
A. Kiến thức
1. Tam giỏc 
 ˆ ˆ ˆ 0
 A - A + B + C = 180 ( Tổng 3 gúc trong 1 tam giỏc ) 
 - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giỏc)
 - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giỏc)
 B C
2. Tứ giỏc
 a. Định nghĩa: Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm 4 đoạn thẳng AB, 
 C
 B BC, CD, DA trong đú bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng khụng 
 cựng nằm trờn 1 đường thẳng
 1
 A D b. Tứ giỏc lồi: Là tứ giỏc luụn nằm trong 1 nửa mặt phẳng cú 
bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giỏc
c. Chỳ ý: Khi núi đến tứ giỏc mà khụng chỳ thớch gỡ them, ta hiểu đú là tứ giỏc lồi
3. Tổng cỏc gúc của 1 tứ giỏc
- Định lý: Tổng cỏc gúc cảu một tứ giỏc bằng 3600 Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600
- Chỳ ý: Để bốn gúc cho trước thỏa món là bốn gúc của một tứ giỏc khi bốn gúc đú cú tổng 
bằng 3600
- Bất đẳng thức đường gấp khỳc: AB + BC + CD > DA
- Mở rộng: Tổng bốn gúc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giỏc bằng 3600.
4. Gúc ngoài của tứ giỏc: Gúc kề bự với 1 gúc trong của tứ giỏc gọi là gúc ngoài của tứ giỏc
 ˆ
- Ta cú B1là gúc ngoài tại đỉnh B.
B. Bài tập
 1 Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD cú: BADˆ BCDˆ 900 , phõn giỏc trong của gúc ABC cắt AD tại E. 
phõn giỏc trong của gúc ADC cắt BC tại F. Chứng minh BE // DF
 A Lời giải
 E 0 0
 1 +) ãABC ãADC 180  90 (1)
 B D
  0
 +) Xột tam giỏc ABE, cú: E1 90 (2)
 C  E
 +) Từ (1)(2) 1 BE // DF
 ovitridongvi
Bài 2: Cho tứ giỏc ABCD cú: ãABC Bã AD 1800 . Phõn giỏc trong của cỏc gúc BCD và CDA 
cắt nhau tại E, biết rằng CD = 2 DE . Chứng minh rằng : ãADC 2Bã CD 
 B Lời giải
 A ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 o ã 0
 +) Ta cú: A B 180 C D 180 C1 D1 90 DEC 90
 E
 CD
 +) Gọi M là trung điểm của CD EM MC MD 
 1 1
 C 2
 D M
 0 0 
 DEM đều D1 60 C1 30 D 2C(dpcm) 
Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD , cú: Bã AD 2Bã CD 1800 , DA DC . chứng minh rằng BD là phõn 
giỏc ãABC 
 B Lời giải:
 1 C
 2
 1
 +) Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = BC
 B E (1) 
 A 1 1
 +) BCD EAD(cgc) BED cõn tại D E1 B2 (2) 
 1 DB DE
 D
 Từ (1)(2) B 1 B2 (dpcm)
 1
 E
 2 Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD cú BD là phõn giỏc của gúc ABC , AD = CD , AB < BC . Chứng 
 minh rằng : Bã AD Bã CD 1800
 C
 E
 2 1
 B Lời giải
 +) Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA
 A 1 D 
 A1 E1(1)
 +) BED BAD(cgc) AD ED ED CD ECD cõn tại D
 ED DA
 0
 E2 C1(2) . Từ (1)(2) A1 C 1 E1 E2 180
Bài 5: Cho tứ giỏc ABCD cú: Aˆ : Bˆ : Cˆ : Dˆ 5 : 8 :13 :10
a. Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc ABCD
b. AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Phõn giỏc gúc AED và gúc AFB cắt nhau tại O, phõn 
giỏc gúc AFB cắt CD và AB tại M và N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN
 E Lời giải
 Aˆ 500 , Bˆ 800 ,Cˆ 1300 , Dˆ 1000
 1 2 a. 
 b. AEˆD 1800 Aˆ Dˆ 300 ; AFˆB 1800 Aˆ Bˆ 500
 B
 1
 ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ 0 0 0 0
 EMN 180 F1 B1 75 ; ENM 180 75 30 75
 C
 M 75 EMN cõn O là trung điểm của MN
 O N
 1
 A D F
Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD cú Bˆ Dˆ 1800 , AC là phõn giỏc của gúc A. 
Chứng minh rằng: CB = CD
 3 Lời giải
 A B
 E
 1
 2 2 1 1 Dựng tam giỏc ACE cõn tại C CA CE
 ˆ ˆ 0
 B2 D 180
 Theo gt: Dˆ Bˆ
 1 1 1
 D ˆ ˆ 0
 B2 B1 180
 1
 2
 Aˆ Eˆ
 1 1 ˆ ˆ
 C Cú: E1 A2
 ˆ ˆ
 A1 A2
 Aˆ Eˆ
 2 1 ˆ ˆ
 CEB và CAD cú: C1 C2 CEB CAD(gcg) CB CD 
 ˆ ˆ
 D1 B1
 4 HèNH THANG, HèNH THANG CÂN
A. HèNH THANG
 A B B C A B
 D C A D D C
 H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN
1. Định nghĩa: Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song.
 ABCDla 
 ABCD Là hỡnh thang ( đỏy AB, CD ) 
 AB // CD
+) AB: đỏy nhỏ +) CD: đỏy lớn +) AD, BC: cạnh bờn
Nhận xột
- Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn bằng nhau
- Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau
Dựa vào nhận xột ta cú
 A Hỡnh thang ABCD ( AB // CD ), cú:
 B
 +) AD // BC AD BC; AB CD
 D C +) AB CD AD // BC; AD BC
2. Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú 1 gúc vuụng
B. HèNH THANG CÂN
 A B B C A B
 D C A D D C
 H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN
 5 1. Định nghĩa
Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề 1 đỏy bằng nhau
 ABCD(là hinh thang )
ABCD là hỡnh thang cõn ( đỏy AB, CD ) ˆ ˆ ˆ ˆ 
 C=D hoac A=B
2. Tớnh chất: Trong hỡnh thang cõn
- Hai cạnh bờn bằng nhau
- Hai đường chộo bằng nhau
3. Dấu hiệu nhận biết
- Hỡnh thang cú 2 gúc kề 1 đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn
- Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn
4. Chỳ ý: Hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau chưa chắc đó là hỡnh thang cõn ( Hỡnh bỡnh 
hành )
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho tam giỏc ABC và đường thẳng d đi qua trọng tõm G của tam giỏc ABC và cắt cỏc 
đoạn AB, AC. Chứng minh rằng tổng khoảng cỏch từ B và C tới d bằng khoảng cỏch từ A tới 
d
 A Lời giải
 Ta cú tứ giỏc BEFC là hỡnh thang ( BE // CF )
 N K F Gọi N là trung điểm của EF, M là trung điểm của BC
 E
 D G
 BE CF BE CF 2MN(1)
 MN 
 B M C 2 MN  d
 P
 6 +) Lấy P thuộc tia đối của MG sao cho MP = MG GP GA
 1
 MN PK
+) Lấy K thuộc d sao cho NG = NK 2
 PK  D
 1
 ADG PKG(ch gn) PK DA MN AD(2) AD BE CF
 2
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G và đường thẳng d nằm ngoài tam giỏc. Gọi D, E, F, 
H lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, D lờn đường thẳng d. Chứng minh rằng: AD + BE + CF 
= 3GH
 A Lời giải
 P +) Gọi M là trung điểm của BC
 G
 M +) P là trung điểm của AG
 B C
 E +) K là hỡnh chiếu của M lờn d
 D
 Q H
 K
 F Ta cú : BE + CF = 2MK
AD + GH = 2PQ; MK + PQ = 2GH
2( MK + PQ ) = 4GH; BE + AD + CF = 3GH (dpcm)
Bài 3: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD ), trong đú CD = BC + AD. Hai đường phõn giỏc 
của hai gúc A và B cắt nhau tại K. Chứng minh rằng C, D, K thẳng hàng.
 Lời giải
 A B
 2 2
 1 1 Trờn CD lấy điểm E sao cho CE = CB
 ˆ ˆ
 AD DE CBE cõn tại C E1 B1 
 2 1
 D E C ˆ ˆ ˆ ˆ
 Mặt khỏc E1 B2 (slt) B1 B2
 7 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
 ADE cõn tại D A1 E2 mà E2 A 2 (slt) A1 A2 
 EA, EB là phõn giỏc của Aˆ, Bˆ giao điểm của hai đường phõn giỏc gúc A và B cắt nhau tại 
E thuộc BC E  K D, K ,C thẳng hàng.
Bài 4: Cho hỡnh thang cõn ABCD ( AB // CD ) cú đường chộo BD vuụng gúc với cạnh bờn 
BC và đồng thời DB là tia phõn giỏc của ADˆC
a. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang cõn ABCD
b. Biết BC = 6cm, tớnh chu vi và diện tớch của hỡnh thang cõn ABCD
 Lời giải
 A B
 a) DBC(Bˆ 900 ) cú 
 0 0
 BCˆD 2BDˆC ADˆC BCˆD 60 ;DAˆB CBˆA 120 
 D K C
 b) Tớnh được DC = 2.BC P ABCD 30cm
 2
Hạ đường cao BK, ta cú BK 3 3cm S ABCD 27 3(cm )
Bài 5: Cho tam giỏc đều ABC. Từ 1 điểm M nằm bờn trong tam giỏc ta vẽ cỏc tia gốc M song 
song với BC cắt AB ở D, song song với AC cắt BC tại E, song song với AB cắt AC tại F. 
Chứng minh rằng chu vi tam giỏc DEF bằng tổng cỏc khoảng cỏch từ M đến ba đỉnh của tam 
giỏc.
 A Lời giải
 F
 Chu vi tam giỏc ABC là : DE + DF + EF
 D
 M
 B C Khoảng cỏch từ M đến 3 đỉnh là : MA + MB + MC
 E
Ta cần chứng minh : DE + DF + EF = MA + MB + MC
+) Ta cú hỡnh thang BDME là hỡnh thang cõn ( MD// BE, Bˆ Eˆ Cˆ 600 ) DE MB
Chứng minh tương tự ta cú : DF= MA, EF = MC
 8 DE + DF + EF = MA + MB + MC ( đpcm)
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, điểm I thuộc đường cao AH, BI giao với AC tại D, CI 
giao với AB tại E
a. Chứng minh rằng: AD = AE b. Xỏc định dạng của tứ giỏc BEDC
c. Xỏc định I sao cho: BE = ED = DC
 A Lời giải
 1 2 a. AIC AIB(cgc) Cˆ Bˆ ACE ABD(gcg) AE AD
 D E 1 1
 2
 I
 b. ADE, ACB cõn tại A cú chung gúc A
 1 1 1800 Aˆ DE // BC
 ADˆE AEˆD ACˆB ABˆC dpcm 
 ˆ ˆ
 2 C B
 2 2
 C H B
 Bˆ Dˆ
 ˆ ˆ 1 2 ˆ ˆ
c. DE // BC B2 D2 . Để BE = ED BED cõn tại E B1 B2 
 ˆ ˆ
 B2 D2
 ˆ ˆ
Chứng minh tương tự: C1 C2
Vậy CE và BD là giao điểm của gúc C và B
Vậy I là giao điểm của 3 đường phõn giỏc của tam giỏc ABC.
Bài 7: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD) tia phõn giỏc gúc C đi qua trung điểm M của AD. 
CMR:
a) Bã MC 900 b) BC = AB + CD
 Lời giải
a) Giả sử MC cắt AB tại E
Khi đú CMD EMA g.c.g CM EM; AD AE
 à ả à
Xột BEC cú: E C2 C1 => BEC cõn
 9 Mà BM là đường trung tuyến A B
 E 2
=> BM là đường cao
Vậy BM  EC
 2
 M
b) Vỡ BEC cõn nờn EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB 1
 1
 2
 D C
Bài 8: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), cú Cà 600 , DB là phõn giỏc của gúc Dà , Biết chu 
vi của hỡnh thang là 20cm, Tớnh mỗi cạnh của hỡnh thang
 Lời giải E
Đặt BC= a, ta cú ngay: AD = AB = BC = a
 à 0 ả 0 ã 0
Mà: C 60 D2 30 DBC 90
 A B
 ả 0 à 0 1
Xột BDC cú D2 30 ,C 60 DC 2a
 a
Mà Chu vi hỡnh thang là 20 cm nờn ta cú: 
 1 1
 a + a + a + 2a = 20 => a = 4 2
 D C
 10