Chuyên đề ôn tập Hình học 8 - Chương 2 - Chủ đề 1: Đa giác. Đa giác đều (Có đáp án)

 HèNH HỌC 8- CHƯƠNG 2- CHỦ ĐỀ 1. ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU
 ❖ Trọng tõm cần luyện
 + Vẽ được cỏc đa giỏc đều với cỏc trục đối xứng của nú
 + Tớnh toỏn được số đo gúc, số đường chộo của đa giỏc lồi
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khỏi niệm đa giỏc
Định nghĩa: Đa giỏc lồi là đa giỏc luụn nằm trong nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỡ cạnh 
nào của đa giỏc
Đa giỏc đều
Định nghĩa: Đa giỏc đều là đa giỏc cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau và tất cả cỏc gúc bằng nhau
Tổng số đo cỏc gúc trong đa giỏc n cạnh là n 2 .180
 n 2 .180
Số đo một gúc của đa giỏc đều n cạnh là 
 n
 n n 3 
Số đường chộo của đa giỏc n cạnh là 
 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết đa giỏc
 Phương phỏp giải
Để kể tờn cỏc đa giỏc ta cần biết đa giỏc cú bao Vớ dụ: Cho hỡnh vẽ sau
nhiờu cạnh thỡ sẽ cú bấy nhiờu đỉnh. Từ đú ta chọn 
cỏc đỉnh của đa giỏc từ cỏc đỉnh đó cho
 Trong hỡnh vẽ cú cỏc tam giỏc là:
 ADE, ABE, ABC, DBE, BEC
 Vớ dụ mẫu
 Trang 1 Vớ dụ 1. Cho ngũ giỏc ABCDE. Kẻ 
cỏc đường chộo AC và AD. Kể tờn cỏc 
đa giỏc cú trong hỡnh vẽ
Hướng dẫn giải
Cú 3 tam giỏc: ABC, ACD, ADE. Để kể tờn cỏc đa giỏc cần 
Cú 2 tứ giỏc: ABCD, ACDE liệt kờ theo quy luật để cú 
Cú 1 ngũ giỏc: ABCDE thể kể hết tờn cỏc đa giỏc
 Bài tập tự luyện dạng 1
Cõu 1: Trong cỏc hỡnh vẽ sau, cú bao nhiờu đa giỏc lồi?
Cõu 2: Trong cỏc hỡnh vẽ sau, cú bao nhiờu đa giỏc lồi?
Cõu 3: Cho lục giỏc ABCDEF . Kẻ cỏc đường chộo AC, AD và AE . Kể tờn cỏc đa giỏc cú trong hỡnh vẽ 
 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cõu 1.
Những hỡnh là đa giỏc lồi: Hỡnh 2; Hỡnh 3; Hỡnh 4.
Cõu 2.
Những hỡnh là đa giỏc lồi: Hỡnh 1; Hỡnh 4.
Cõu 3.
Cú 4 tam giỏc: ABC, ACD, ADE, AEF. 
Cú 3 tứ giỏc: ABCD, ACDE, ADEF.
 Trang 2 Cú 2 ngũ giỏc: ABCDE, ACDEF.
Cú 1 lục giỏc: ABCDEF.
Dạng 2: Tớnh chất về gúc của đa giỏc
 Phương phỏp giải
Tổng số đo cỏc gúc trong của đa giỏc n cạnh Vớ dụ: Tổng số đo cỏc gúc trong một tam giỏc là
 n 2 là n 2 .180 3 2 .180 180
 Tổng số đo cỏc gúc trong một tứ giỏc là
 4 2 .180 360
 Tổng số đo cỏc gúc trong một lục giỏc là
 6 2 .180 720
 Vớ dụ mẫu
Vớ dụ 1.
a) Chứng minh tổng số đo cỏc gúc trong của một hỡnh n – giỏc là n 2 .180
b) Tớnh tổng số đo cỏc gúc của một đa giỏc 12 cạnh
Hướng dẫn giải
a) Vẽ cỏc đường chộo xuất phỏt từ
một đỉnh của n – giỏc, ta được n 2 tam giỏc
Tổng số đo cỏc gúc của hỡnh n – giỏc 
bằng tổng số đo cỏc gúc của n 2 
tam giỏc, tức là cú số đo bằng n 2 .180
b) Ta cú tổng số đo gúc là
 n 2 .180 12 2 .180 1800
 Bài tập tự luyện dạng 2
Cõu 1: Đa giỏc nào cú tổng số đo cỏc gúc bằng 720 ?
 A. Tứ giỏcB. Ngũ giỏcC. Lục giỏc D. Bỏt giỏc
Cõu 2: Ngũ giỏc đều cú số đo mỗi gúc ở đỉnh bằng bao nhiờu độ?
 A. 108 B. 120 C. 90 D. 135
Cõu 3: Đa giỏc nào cú tổng số đo cỏc gúc bằng 540
 A. Tứ giỏcB. Ngũ giỏcC. Lục giỏc D. Bỏt giỏc
Cõu 4: Lục giỏc đều cú số đo mỗi gúc ở đỉnh bằng bao nhiờu độ?
 A. 108 B. 120 C. 90 D. 135
Cõu 5: Tớnh số cạnh của một đa giỏc cú tổng số đo cỏc gúc bằng 1080
Cõu 6: Cho ngũ giỏc ABCDE
a) Tớnh tổng số đo cỏc gúc trong và ngoài của ngũ giỏc (gúc ngoài là gúc kề bự với gúc trong tại đỉnh đú)
 Trang 3 b) Chứng minh rằng ngũ giỏc ABCDE khụng thể cú nhiều hơn ba gúc nhọn
 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 1 – C 2 – A 3 – B 4 – B
 Cõu 5.
 Gọi n là số cạnh của đa giỏc.
 1080
 Ta cú (n 2).180 1080 n 2 8 .
 180
 Vậy đa giỏc cú 8 cạnh.
 Cõu 6.
 a) Ta cú: àA Bà Cà Dà Eà 3.180 540.
 Tổng số đo cỏc gúc ngoài của ngũ giỏc là:
 180 àA 180 Bà 180 Cà 180 Dà 180 Eà 
 5.180 (àA Bà Cà Dà Eà ) 900 540 360 .
b) Thật vậy, giả sử ABCDE cú ớt nhất là bốn gúc nhọn.
 Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta coi cỏc gúc àA, Bà,Cà, Dà là cỏc gúc 
 nhọn.
 Khi đú bốn gúc ngoài tương ứng với bốn gúc trong đú là bốn 
 gúc tự.
 Vậy tổng số đo cỏc gúc ngoài của ngũ giỏc phải lớn hơn 4.90 360 trỏi với điều đó chứng minh.
 Do đú, trong một ngũ giỏc khụng thể cú nhiều hơn ba gúc nhọn.
 Dạng 3. Tớnh chất về đường chộo của đa giỏc
 Phương phỏp giải
 Vớ dụ:
 Sử dụng cụng thức tớnh số đường chộo của một đa 4. 4 3 
 a) Trong tứ giỏc cú 2 đường chộo
 n n 3 2
 giỏc 
 2 5. 5 3 
 b) Ngũ giỏc cú 5 đường chộo
 2
 Vớ dụ mẫu
 Vớ dụ 1. Tớnh số đường chộo của ngũ giỏc, lục giỏc, hỡnh n – giỏc
 Hướng dẫn giải
 Từ mỗi đỉnh của ngũ giỏc vẽ được hai
 đường chộo
 Khi đú, vẽ được tất cả 2.5 10 đường chộo
 Vỡ mỗi đường chộo được tớnh hai lần nờn 
 ngũ giỏc cú tất cả 5 đường chộo
 Trang 4 Tương tự, lục giỏc từ 6 đỉnh vẽ được 
3.6 18 đường chộo
Vỡ mỗi đường chộo được tớnh hai lần nờn 
lục giỏc cú tất cả 9 đường chộo
Từ mỗi đỉnh của hỡnh n – giỏc (lồi) vẽ được 
 n 1 đoạn thẳng nối đỉnh đú với n 1 
đỉnh cũn lại của đa giỏc, trong đú hai đoạn 
thẳng trựng với hai cạnh của đa giỏc sẽ 
khụng tớnh vào số đường chộo
Do vậy, qua mỗi đỉnh của hỡnh n – giỏc vẽ được 
n 1 2 n 3 đường chộo
Hỡnh n – giỏc vẽ được n n 3 đường chộo 
 n n 3 
Vỡ mỗi đường chộo được tớnh hai lần nờn hỡnh n – giỏc cú tất cả đường chộo
 2
 Bài tập tự luyện dạng 3
Cõu 1. Tứ giỏc lồi cú tất cả bao nhiờu đường chộo?
 A. 4B. 2C. 1 D. 3
Cõu 2. Đa giỏc nào cú tất cả 5 đường chộo?
 A. Tứ giỏcB. Bỏt giỏcC. Lục giỏc D. Ngũ giỏc
Cõu 3. Lục giỏc lồi cú tất cả bao nhiờu đường chộo?
 A. 4B. 9C. 5 D. 12
Cõu 4. Đa giỏc nào cú tất cả 14 đường chộo?
 A. Thất giỏcB. Bỏt giỏcC. Lục giỏc D. Ngũ giỏc
Cõu 5. Đa giỏc cú 20 đường chộo thỡ cú bao nhiờu cạnh?
Cõu 6. Tỡm một đa giỏc n cạnh mà số đường chộo của nú
 1
a) bằng số cạnh b) bằng số cạnh
 2
 1
c) bằng 2 lần số cạnh d) bằng số cạnh
 3
 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 1 – B 2 – D 3 – B 4 – A
Cõu 5.
Gọi n n Ơ ,n 2 là số cạnh của đa giỏc.
 n n 3 
Theo đề ra ta cú 20. Từ đú tỡm được n 8 .
 2
Vậy đa giỏc cú 8 cạnh.
 Trang 5 Cõu 6.
Gọi số cạnh là n n Ơ ,n 3 .
 n n 3 
 a) Ta cú n . Tỡm được n 5 (thỏa món).
 2
 b) Tỡm được n 4 .
 c) Tỡm được n 7 .
 d) Tỡm được n  .
Dạng 4. Đa giỏc đều
 Phương phỏp giải
 Vớ dụ. Số đo mỗi gúc của một đa giỏc đều n cạnh 
 bằng 156 . Tỡm n
Áp dụng cụng thức tớnh gúc của đa giỏc đều Hướng dẫn giải
 n 2 .180 Ta cú 
 n n 2 .180
 156 n.180 360 156.n
 n
 24.n 360 n 15
 Vậy n 15
 Vớ dụ mẫu
 Vớ dụ 1. Số đo mỗi gúc của một đa giỏc đều n cạnh bằng 120 . Tớnh số đường chộo của đa giỏc
 Hướng dẫn giải
 n 2 .180
 Ta cú 120. Từ đú, ta tỡm được n 6
 n
 6. 6 3 
 Số đường chộo của đa giỏc 6 cạnh (lục giỏc) là: 9
 2
 Vớ dụ 2. Cho hỡnh thoi ABCD cú àA 60. Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm cỏc cạnh 
AB, BC,CD, DA . Chứng minh đa giỏc MBNPDQ là lục giỏc đều
 Hướng dẫn giải
 1 
 Chứng minh được MQ NP BD 
 2 
 Chứng minh tam giỏc ABD đều, suy ra được 
MB BN NP; PD DQ QM
 Chứng minh cỏc gúc của đa giỏc MBNPDQ 
 bằng nhau và cựng bằng 120
 Từ đú suy ra đa giỏc MBNPDQ là lục giỏc đều 
(điều phải chứng minh)
 Trang 6 Vớ dụ 3. Chứng minh trung điểm cỏc cạnh của một ngũ giỏc đều là cỏc đỉnh của một ngũ giỏc đều
 Hướng dẫn giải
 Xột ngũ giỏc đều ABCDE , cú cỏc điểm
 R, M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của
 cỏc cạnh AB, BC, DC, DE, EA
 Cỏc tam giỏc DAE, DBC, CED, CAB,
 BEA bằng nhau rồi dựa vào tớnh chất
 đường trung bỡnh suy ra cỏc cạnh của ngũ 
 giỏc MNPQR bằng nhau
 Chứng minh DPN, CNM , BMR, AQR, EQP 
 5 2 .180
bằng nhau và dựa vào gúc Pã DN 108 , từ đú suy ra cỏc gúc ngũ giỏc MNPQR bằng nhau 
 5
và cựng bằng 108
 Bài tập tự luyện dạng 4
Cõu 1. Cho lục giỏc đều ABCDEF . Gọi I là giao điểm của FC và AE. N là trung điểm CD. Chứng minh 
rằng IBN đều
Cõu 2. Cho ngũ giỏc đều ABCDE . Hai đường chộo AC và BE cắt nhau tại điểm K. Chứng minh tứ giỏc 
ACDE là hỡnh thang cõn và CDEK là hỡnh thoi
Cõu 3. Cho ngũ giỏc đều ABCDE . Gọi M, N, J, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, 
DE, EA
a) Chứng minh rằng MNJPQ cũng là ngũ giỏc đều
b) I và K lần lượt là trung điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng IK / /CD và CD 4IK
Cõu 4. Cho tam giỏc ABC đều cạnh a. Vẽ về phớa ngoài của tam giỏc ABC cỏc hỡnh chữ nhật ABEF, 
BCIJ và CAGH sao cho AF BJ CH x
a) Chứng minh Jã EF Eã FG Fã GH Gã HI Hã IJ IảJE
b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x2 và a2 để hỡnh lục giỏc EFGHIJ là lục giỏc đều
Dạng 5.Tổng hợp nõng cao và phỏt triển
Vớ dụ mẫu 
Vớ dụ 1. Một lục giỏc đều và một ngũ giỏc đều chung cạnh AD (như hỡnh vẽ). Tớnh cỏc gúc của tam giỏc 
ABC
 Giải
 Trang 7 *Tỡm cỏch giải. Vỡ AD là cạnh của lục giỏc đều và ngũ giỏc đều, nờn dễ dàng nhận ra ABD , ACD ,
 BCD là cỏc tam giỏc cõn đỉnh D và tớnh được số đo cỏc gúc ở 
đỉnh. Do vậy ABC sẽ tớnh được số đo cỏc gúc.
*Trỡnh bày lời giải
Theo cụng thức tớnh gúc của đa giỏc đều, ta cú: 
 6 2 .180
à DB 120 Dã AB Dã BA 30
 6
 5 2 .180
à DC 108 Dã AC Dã CA 36
 5
Suy ra: Bã DC 360 120 108 132
Ta cú: BDC DB DC cõn tại D. Do đú 
 180 132
Dã BC Dã CB 24
 2
Suy ra Bã AC 30 36 66 ,Ã BC 30 24 54 ,
Bã CA 24 36 60
Vớ dụ 2. Cho lục giỏc đều ABCDEF. Gọi M, L, K lần lượt là trung điểm EF, DE, CD. Gọi giao điểm AK 
với BL và CM lần lượt là P, Q. Gọi giao điểm của CM và BL là R. Chứng minh tam giỏc PQR là tam giỏc 
đều. 
 Giải
Cỏc tứ giỏc ABCK, BCDL, CDEM cú cỏc cạnh và cỏc gúc đụi một bằng nhau. Cỏc gúc của lục giỏc đều 
là 120
Đặt Bã AK Cã BL Dã CM ; Lã BA 
Lã BA  Cã KA Eã MC Dã LB   120
Trong tam giỏc CKQ cú Cã QK  180 Cã KQ 60
Trong tam giỏc PBA cú Ã PB  180 ã APB 60
Từ đú suy ra: Rã QP Rã PQ 60 , Vậy PQR đều 
 Trang 8 Vớ dụ 3. Cho bỏt giỏc ABCDEFGH cú tất cả cỏc gúc bằng nhau, và độ dài cỏc cạnh là số nguyờn. Chứng 
minh rằng cỏc cạnh đối diện của bỏt giỏc bằng nhau.
 Giải
 8 2 180
Cỏc gúc của bỏt giỏc bằng nhau, suy ra số đo của mỗi gúc là 135
 8
Kộo dài cạnh AH và BC cắt nhau tại M. Ta cú: 
Mã AB Mã BA 180 135 45 suy ra tam giỏc MAB là tam giỏc vuụng cõn. 
Tương tự cỏc tam giỏc CND, EBF,GQH cũng là cũng là cỏc tam giỏc vuụng cõn, suy ra MNPQ là hỡnh 
chữ nhật. 
Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g; HA = h
Từ cỏc tam giỏc vuụng cõn, theo định lý Py-ta-go, ta cú:
 a c a c
MB , CN nờn MN b 
 2 2 2 2
 e g
Tương tự PQ f 
 2 2
Do 
 a c e g
MN PQ nờn b f 
 2 2 2 2
 1
 a c e g f b
 2
Do f và b là số nguyờn nờn vế phải của đẳng thức trờn là số nguyờn, do đú vế trỏi là số nguyờn. Vế trỏi chỉ 
cú thể bằng 0, tức là f = b, hay BC = FG. Tương tự cú AB = EF, CD = GH, DE = HA.
Nhận xột. Dựa vào tớnh chất số hữu tỷ, số vụ tỷ chỳng ta đó giải được bài toỏn nờn trờn. Cũng với kỹ 
thuật đú, chỳng ta cú thể giải được bài thi hay và khú sau: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc 
cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I,J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hỡnh 8 – giỏc 
EFGHIJKM cú cỏc gúc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài cỏc cạnh của hỡnh 8 – giỏc EFGHIJKM 
là cỏc số hữu tỉ thỡ EF = IJ
Bài tập tự luyện dạng 5
 Trang 9 Cõu 1. Cho lục giỏc ABCDEF cú tất cả cỏc gúc bằng nhau, cỏc cạnh đối khụng bằng nhau. Chứng minh 
rằng BC EF DE AB AF CD . Ngược lại nếu cú 6 đoạn thẳng thỏa món điều kiện ba hiệu trờn 
bằng nhau và khỏc 0 thỡ chỳng cú thể lập được một lục giỏc cú cỏc gúc bằng nhau. 
Cõu 2. Chứng minh rằng trong một lục giỏc bất kỡ, luụn tỡm được một đỉnh sao cho ba đường chộo xuất 
phỏt từ đỉnh đú cú thể lấy làm ba cạnh của một tam giỏc. 
Cõu 3. Cho lục giỏc ABCDEG cú tất cả cỏc cạnh À Cà Eà Bà Dà Gà . Chứng minh rằng cỏc cặp cạnh 
đối của lục giỏc song song với nhau.
 Trang 10