Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Bảo (Có đáp án)

 UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MễN: TOÁN 8
 ------------------------------------- Năm học: 2018 - 2019
 Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1. (3,0 điểm)
 1. Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x 4 2019x 2 2018x 2019
 x2 + x ổx + 1 1 2- x2 ử
 2. Cho biểu thức A = :ỗ + + ữ. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
 x2 - 2x + 1 ốỗ x x- 1 x2 - xứữ
 A khi x > 1.
 3. Cho xy = 1, chứng minh rằng: x5 + y5 = (x3 + y3 )(x2 + y2 )- x- y
Cõu 2. (2,0 điểm)
 1. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
 a3 b3 c3
 2. Cho a,b,c > 0 , chứng minh rằng: + + ³ ab + bc + ca
 b c a
Cõu 3. (2,0 điểm)
 Cho ABC vuụng tại A và AB AC . Kẻ đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng cú chứa đỉnh 
 A, bờ là đường thẳng BC, vẽ hỡnh vuụng AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ). Gọi F là 
 giao điểm của DE và AC. Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B 
 song song với AC tại điểm G. Chứng minh rằng:
 a) Tứ giỏc ABGF là hỡnh vuụng.
 b) Tứ giỏc DEHG là hỡnh thang
 c) Ba đường thẳng AG, BF, HE đồng quy.
Cõu 4. (2,0 điểm)
 Cho ABC vuụng cõn tại A. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH ^ CM tại 
 H . Kẻ HE ^ AB tại E. Chứng minh rằng DABH cõn và HM là tia phõn giỏc của Bã HE.
Cõu 5. (1,0 điểm)
 Cho một đa giỏc đều gồm 2019 đỉnh. Người ta tụ mỗi đỉnh của đa giỏc bởi một màu xanh hoặc 
 màu đỏ. Chứng minh rằng luụn tỡm được ba đỉnh của đa giỏc là ba đỉnh của một tam giỏc cõn 
 được đỏnh dấu bởi cựng một màu.
 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI
Cõu 1. (3,0 điểm)
 1. Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x 4 2019x 2 2018x 2019
 x2 + x ổx + 1 1 2- x2 ử
 2. Cho biểu thức A = :ỗ + + ữ. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
 x2 - 2x + 1 ốỗ x x- 1 x2 - xứữ
 A khi x > 1.
 3. Cho xy = 1, chứng minh rằng: x5 + y5 = (x3 + y3 )(x2 + y2 )- x- y
 Lời giải
 1. x 4 2019x 2 2018x 2019
 = x4 - x + 2019x2 + 2019x + 2019
 = x(x- 1)(x2 + x + 1)+ 2019(x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 2019)
 x2 + x ổx + 1 1 2- x2 ử
 2. A = :ỗ + + ữ với x > 1
 x2 - 2x + 1 ốỗ x x- 1 x2 - xứữ
 x(x + 1) x2 - 1+ x + 2- x2
 = :
 (x- 1)2 x(x- 1)
 x(x + 1) x(x- 1)
 = .
 (x- 1)2 x + 1
 x2 x2 - 1+ 1
 = =
 x- 1 x- 1
 1 ổ 1 ử
 = x + 1+ = ỗx- 1+ ữ+ 2
 x- 1 ốỗ x- 1ứữ
 1
 Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho 2 số dương x - 1 và ta được: 
 x- 1
 1 1 1 1
 x- 1+ ³ 2 (x- 1). Û x- 1+ ³ 2 Û x- 1+ + 2 ³ 4 hay A ³ 4
 x- 1 x- 1 x- 1 x- 1
 1 2 ộx- 1= 1 ộx = 2 (thỏa mãn)
 Dấu "=" xảy ra Û x- 1= Û (x- 1) = 1Û ờ Û ờ
 x- 1 ởờx- 1= - 1 ởờx = 0 (loại)
 Vậy Amin = 4 khi x = 2
 3. Ta cú (x3 + y3 )(x2 + y2 )- x- y
 = x5 + x3 y2 + x2 y3 + y5 - x- y
 = x5 + y5 + x2 y2 (x + y)- (x + y)
 = x5 + y5 + (x + y)- (x + y) do xy = 1
 = x5 + y5 (đpcm)
 Vậy x5 + y5 = (x3 + y3 )(x2 + y2 )- x- y Cõu 2. (2,0 điểm)
 1. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
 a3 b3 c3
 2. Cho a,b,c > 0 , chứng minh rằng: + + ³ ab + bc + ca
 b c a
 Lời giải
 1. x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
 Å Xột x = 0 ta thấy phương trỡnh vụ nghiệm
 Å Xột x ạ 0 ta cú: 
 ộổ 3ử2 7 ự
 y3 - x3 = 2x2 + 3x + 2 = 2 ờỗx + ữ + ỳ> 0 với " x ị y3 > x3
 ờốỗ ứữ ỳ
 ởờ 4 16ỷỳ
 3 3
 y3 - (x + 1) = - x2 + 1Ê 0 với " x ạ 0; x ẻ Â ị y3 Ê (x + 1)
 3
 ị x3 < y3 < (x + 1) . mà x, y ẻ Â
 ị y3 = (x + 1)3 Û - x2 + 1= 0 Û x2 = 1Û x = ± 1
 Nếu x = 1ị y = 2
 Nếu x = - 1ị y = 0
 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm (x; y)ẻ {(1;2);(- 1;0)}
 a3 a3
 2. Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho hai số khụng õm ta cú: + ab ³ 2 .ab = 2a2 (1)
 b b
 b3 c3
 Tương tự ta cú: + bc ³ 2b2 (2); + ac ³ 2c2 (3)
 c a
 a3 b3 c3
 Từ (1), (2) và (3) ị + + + ab + bc + ca ³ 2a2 + 2b2 + 2c2 (4)
 b c a
 Lại cú: a2 + b2 ³ 2ab; b2 + c2 ³ 2bc; c2 + a2 ³ 2ac;
 ị 2a2 + 2b2 + 2c2 ³ 2ab + 2bc + 2ac (5)
 a3 b3 c3
 Từ (4) và (5) ị + + ³ ab + bc + ac (đpcm)
 b c a
Cõu 3. (2,0 điểm)
 Cho ABC vuụng tại A và AB AC . Kẻ đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng cú chứa đỉnh 
 A, bờ là đường thẳng BC, vẽ hỡnh vuụng AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ). Gọi F là 
 giao điểm của DE và AC. Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B 
 song song với AC tại điểm G. Chứng minh rằng:
 a) Tứ giỏc ABGF là hỡnh vuụng.
 b) Tứ giỏc DEHG là hỡnh thang
 c) Ba đường thẳng AG, BF, HE đồng quy. Lời giải
a) + Ta cú: AB PFG (gt); BG P AF (gt)
ị ABGF là hỡnh bỡnh hành (1)
+ Xột DAEF và DAHB cú: 
Eà = Hà = 90o
AE = AH ( AHDE là hỡnh vuụng)
Eã AP = Hã AB (cựng phụ với Hã AF )
ị DAEF = DAHB (c.g.c)ị AB = AF (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ị ABGF là hỡnh thoi.
mà Bã AF = 90o (gt) nờn ABGF là hỡnh vuụng
b) Gọi I là giao điểm của BD và FG
+ Xột DBIG và DFID cú:
Gà = Dà = 90o
Bã IG = Fã ID (đối đỉnh)
 IF ID
ị DBIG à DFID (g.g) ị =
 IB IG
ị DBIF à DGID (c.g.c) ị IãDG = IãFB
Mà FB là phõn giỏc của ãAFG = 90o (tớnh chất hỡnh vuụng)
ị IãFB = 45o ị IãDG = 45o
Lại cú: AHDE là hỡnh vuụng ị Eã HD = 45o
ị IãDG = Eã HD
mà IãDG và Eã HD ở vị trớ so le trong nờn GD PHE ị HGDE là hỡnh thang c) Gọi O là giao điểm của HE và AD ị O là trung điểm của AD (tớnh chất hỡnh vuụng)
 + D ADG cú: OH PGD (chứng minh trờn)
 O là trung điểm của AD
 ị OH đi qua trung điểm J của AG (3)
 mà tứ giỏc ABGE là hỡnh vuụng (chứng minh trờn)
 ị BE cũng đi qua trung điểm J của AG (4)
 Từ (3) và (4) ị AG, BF, HE đồng quy tại J
Cõu 4. (2,0 điểm)
 Cho ABC vuụng cõn tại A. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH ^ CM tại 
 H . Kẻ HE ^ AB tại E. Chứng minh rằng DABH cõn và HM là tia phõn giỏc của Bã HE.
 Lời giải
 + Dựng hỡnh vuụng ABCD
 + Xột D ACM và D CDN cú:
 AC = CD (cạnh hỡnh vuụng)
 àA = Cà = 90o
 AM = CN (nửa cạnh hỡnh vuụng)
 ị DACM = DCDN (c.g.c) ị ãACM = Cã DN (hai gúc tương ứng)
 mà Mã CD + Cã DN = 90o
 ị Mã CD + Cã DN = 90o ị CM ^ ND
 mặt khỏc NH ^ CM (gt)
 ị N, H, D thẳng hàng + Gọi P là trung điểm của DC
 mà M là trung điểm của AB ; ABCD là hỡnh vuụng (gt)
 ị BM PCP; BM = CP ị BMCP là hỡnh bỡnh hành ị MC PBP
 mà MC ^ DH do MC ^ NH
 ị BP ^ DH (1)
 + Gọi I là giao điểm của BP và DH ị IP PHC
 + D DHC cú P là trung điểm của DC
 IP PHC (chứng minh trờn)
 ị I là trung điểm của HD (2)
 Từ (1) và (2) ị BP là trung trực của HD ị BH = BD
 mà BD = AB ( ABDC là hỡnh vuụng)
 ị BH = AB ị D ABH cõn tại B (đpcm)
 + Gọi F là giao điểm của HE và DC
 Ta cú EF PBD (cựng vuụng gúc với AB )ị Fã HD = Hã DB (so le trong)
 mà BH = BD (chứng minh trờn) ị D BHD cõn tại B ị Bã HD = Bã DH (tớnh chất tam giỏc cõn)
 ị Bã HD = Fã HD ị HD là phõn giỏc gúc ngoài của DHBE
 Mặt khỏc HM ^ HD (chứng minh trờn)
 ị HM là phõn giỏc trong của DHBE ị HM là phõn giỏc của Bã HE
Cõu 5. (1,0 điểm)
 Cho một đa giỏc đều gồm 2019 đỉnh. Người ta tụ mỗi đỉnh của đa giỏc bởi một màu xanh hoặc 
 màu đỏ. Chứng minh rằng luụn tỡm được ba đỉnh của đa giỏc là ba đỉnh của một tam giỏc cõn 
 được đỏnh dấu bởi cựng một màu.
 Lời giải
 Vỡ đa giỏc đều cú 2019 đỉnh được tụ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ nờn sẽ cú 2 đỉnh liờn 
 tiếp cựng màu (do 2019 lẻ).
 Khụng mất tớnh tổng quỏt, gọi 2 đỉnh đú là A và B cú cựng màu xanh.
 Gọi M là đỉnh nằm trờn đường trung trực của AB ị D MAB cõn tại M .
 Å Nếu M cú màu xanh ị D MAB cõn cú 3 đỉnh cựng màu xanh
 Å Nếu M cú màu đỏ. Xột 2 đỉnh kề với A và B là C và D ị D MCD cõn tại M
 - Nếu C và D cú màu đỏ ị D MCD cõn cú 3 đỉnh cựng màu đỏ
 - Nếu C và D cú màu xanh ị D ABD hoặc D ABC cõn cú 3 đỉnh cựng màu xanh
 Vậy luụn tồn tại một tam giỏc cõn cú 3 đỉnh cựng màu.
  HẾT 