Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013

 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ 
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9 
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên
2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= 
Câu 2( 4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A=
2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn . 
Chứng minh rằng 
 Câu 3( 4,0 điểm)
1) Cho phương trình: (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 
2) Giải hệ phương trình: 
Câu 4( 7,0 điểm)
1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.
a) CMR: không đổi.
b) CMR : là tứ giác nội tiếp.
2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: ≤ 
Câu 5( 2,0 điểm)
 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 
---Hêt—
Hướng dẫn 
Câu1.1)
Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được 
( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích)
1.2) Với n chẵn n=2k thì Với n lẻ n=2k+1 
Vậy hoặc ( với mọi n thì A chia hết cho 7
Câu2.1)=
2.2) 
Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM
Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm (*)
Mặt khác ta phải có TM ĐK (*)
3.2)Giải hệ phương trình
HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ Đặt ta có hệ 
Hệ có 2 nghiệm 
Câu 4.1)
a) theo Pitago 
suy ra đpcm
b)Tứ giác HPBS nội tiếp 
Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật 
Do đó 
Tương tự 
Do đó nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo)
4.2) 
Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam giác vuông ta có từ đó suy ra đpcm
Cách 2 Ta có theo Pitago
 ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky)
Tương Tự 
Nên
Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật
Câu 5
Cho a,b c>0 .Chứng minh rằng:
Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b 
Tacó áp dụng BĐT 
Tương tự
Từ (1) (2) (3)
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c