Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Liên Chiểu (Có đáp án)

 UBND QUẬN LIÊN CHIỂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019
 ____________________________
 Môn thi : TOÁN
 Thời gian : 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm)
 2 2
 x 1 x2 6x 9 x 3 6x 14
Cho biểu thức A . 1 
 x 3 x 1 x 3
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A được xác định
b) Khi A được xác định, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
Bài 2 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
 2 3 3 x 15
a) x x x x 
 2 4 2 16
 x 18x 5x3 4x2
b) 2 
 3 x 27 x3 x2 3x 9
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Cho a + b + c = 0 và biểu thức M = a5(b2 + c2) + b5(c2 + a2)+ c5(a2 + b2)
b) Chứng minh rằng có một số tự nhiên N gồm toàn chữ số 9 sao cho số N đó chia hết cho 2019.
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AB = a và điểm M là trung điểm của cạnh CD. Tia phân giác của góc 
ABM cắt cạnh AD ở N. gọi L là giao điểm của AM và BN
a) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AN
b) Gọi A’ và N’ lần lượt là các điểm đối xứng của A và N qua điểm L. Tính theo a diện tích tứ giác 
 A’MBN’.
Bài 5 (1,0 điểm) 
Cho hình thang ABCD ( AB//CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và 
song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. 
 2 1 1
Chứng minh rằng : 
 FE AB CD
 Trang 1. HƯỚNG DẪN GIẢI
 Bài 1 
 a) Điều kiện : x 1; x 3 
 2
 x 1 x2 7x 10 x2 5
 b) A . 
 x 3 x 1 x 3
 2
 x3 7x2 17x 15 x 3 x 4x 5 
 x 3 x 3
 x2 4x 5 
 A x2 4x 5 
 1 x 2 2 1
 Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0  x= 2 ( TMđk)
 Vậy A lớn nhất bằng -1 khi x = 2 
 Bài 2 a)
 3 3 x 15
 x2 x x x2 
 2 4 2 16
 32x2 44x 15 0
 8x 5 4x 3 0
 5 3
 Vậy x ; x 
 8 4
 b)
 x 18x 5x3 4x2
 3 2 2
 3 x 27 x x 3x 9 ( x 3 )
 2x3 9x2 27x 54 0
 9x(x 3) 2(x 3)(x2 3x 9) 0
 (x 3)(x 6)(2x 3) 0
 3
Tập nghiệm của pt là S 6; 
 2 
Bài 3 
a) M = a5(b2 + c2) + b5(c2 + a2)+ c5(a2 + b2)
 = a5b2 + a5c2 + b5c2 + b5a2+ c5a2 + c5b2
 = a2b2 (a3 + b3) + b2c2 (b3 + c3) + a2c2 (a3 + c3)
 Ta có a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ) = 0
 Trang 2. =>M = a2b2 (3abc - c3) + b2c2 (3abc - a3) + a2c2 (3abc - b3)
 = 3abc ( a2b2 + b2c2 + c2a2) – a2b2c2( a+b+c)
 = 3abc ( a2b2 + b2c2 + c2a2)
b) Đặt a1 = 9; a2 = 99; a3 = 999; ; a2019 = 99 999 ( 2019 chữ số 9)
 - Nếu trong 2019 số trên có một số chia hết cho 9 hì bài toán được chứng minh
 - Nếu không có số nào chia hết cho 9 thì khi đó tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 
 2019
 - Giả sử ai và aj ( ai > aj ) ,1 i j 2019khi đó a j ai 2019
 j i
 Hay 999.....9999.10 2019
 j ichuso9
 Mà 10 j i không chia hết cho 2019
 Vậy 999.....99992019
 j ichuso9
 Bài 4
 a) Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = AN
 ABN CBE => góc B1 = góc B3
 0
  CBN + B3 = 90
 0 0
 +) góc E = 90 – B3, góc EBM = 90 – B2, mà góc B2 = góc B3 nên góc E = góc EBM
  Tam giác MBE cân tại M => BM = ME
 +) BM = ME = MC + CE = MC + AN => AN = BM – MC . 
 2
 2 2 a 2 a a
 BM MC BC a 5. ; MC 
 2 2 2
 a a ( 5 1).a
 Do đó AN 5. 
 2 2 2
 b) SA’N’BM = SABM – (SN’A’L + SALB)
 = SABM – (SN’AL + SALB) = SABM – SANB
 BC.AB a2 AN.AB a.( 5 1).a
 +) Ta có SABM = ; SABN = 
 2 2 2 2
 Trang 3. 2 2
 a a ( 5 1) 2 5 2
 => SA’N’BM = a
 2 2 2 
Bài 5
 OE DE
 +) (OE / / AB)
 AB AD
 OE AE
 +) (OE / / CD)
 CD AD
 1 1
 =>OE( ) 1(1)
 AB AD
 1 1
 Tương tự ta được : OF( ) 1(2)
 AB AD
 Từ (1) và (2) suy ra 
 1 1 1 1
 ( )(OE OF) 2 ( ).EF 2 => đpcm
 AB AD AB AD
 Trang 4.