Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HểA CẤP TỈNH
 BẮC GIANG NĂM HỌC: 2012 – 2013
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MễN THI : TOÁN : LỚP 8 PHỔ THễNG 
 (Đề thi gồm 1 trang) Ngày thi: 30/03/2013
 Thời gian làm bài: 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề
Cõu 1: (4,5 điểm)
 1. Phõn tớch biểu thức sau thành nhõn tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3
 2. Cho x2 x 1. Tớnh giỏ trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1.
Cõu 2: (4,5 điểm)
 x 1 x 1 4 4026
 1. Cho biểu thức R 2 2 3 : .
 x 2x x 2x x 4x x
 Tỡm x để biểu thức xỏc định, khi đú hóy rỳt gọn biểu thức.
 2. Giải phương trỡnh sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4.
Cõu 3: (4,0 điểm) 
 1. Cho n là số tự nhiờn lẻ. Chứng minh n3 n chia hết cho 24.
 2. Tỡm số tự nhiờn n để n2 4n 2013 là một số chớnh phương.
Cõu 4: (6,0 điểm) 
 1. Cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D. Biết CD 2AB 2AD và BC a 2
 a) Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD theo a.
 b) Gọi I là trung điểm BC, H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D xuống AC.
 Chứng minh Hã DI 45 
 2. Cho tam giỏc ABC cú BC a, AC b, AB c . Độ dài cỏc đường phõn giỏc trong của tam 
 1 1 1 1 1 1
 giỏc kẻ từ đỉnh A,B,C lần lượt là la ,lb ,lc . Chứng minh rằng: 
 la lb lc a b c
Cõu5: (1,0 điểm) 
 Cho hai số khụng õm a và b thỏa món a2 b2 a b. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
 a b
 S 
 a 1 b 1
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 NĂM HỌC: 2020 – 2021
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MễN THI : TOÁN – LỚP 8 
 (Đề thi gồm 1 trang) Ngày thi: 
 Thời gian làm bài: 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Cõu 1: (6 điểm)
 1. Phõn tớch biểu thức sau thành nhõn tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3
 2. Cho x2 x 1. Tớnh giỏ trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1.
 Lời giải
 1. P 2a3 7a2b 7ab2 2b3
 2 a3 b3 7ab a b 
 2 a b a2 ab b2 7ab a b 
 a b 2a2 2ab 2b2 7ab 
 2 2 
 a b 2a 4ab ab 2b 
 a b 2a a 2b b a 2b 
 a b 2a b a 2b 
 2. Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1.
 x6 x5 x5 x4 x4 x3 x3 x2 x2 x x 1 
 x4 x2 2 x3 x2 2 x2 x2 2 x x2 2 x2 2 x 1 
 x2 2 x4 x3 x2 x 1 x 1
 x4 x3 x2 2x 2 (do x2 x 1)
 x2 x2 x x2 x x 2 
 x2 x x2 1 x 2 
 x2 x 3 (do x2 x 1) 1 3 4
Cõu 2: (4,5 điểm)
 x 1 x 1 4 4026
 1. Cho biểu thức R 2 2 3 : .
 x 2x x 2x x 4x x
 Tỡm x để biểu thức xỏc định, khi đú hóy rỳt gọn biểu thức.
 2. Giải phương trỡnh sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4.
 Lời giải
 1. Biểu thức R xỏc định với điều kiện: 
 x2 2x 0 x x 2 0
 x 0
 x2 2x 0 x x 2 0 
 x 2
 x3 4x 0 x x 2 x 2 0
 x 2
 x 0 x 0
 Vậy với x 0, x 2 thỡ biểu thức R xỏc định.
 Với x 0, x 2 thỡ:
 x 1 x 1 4 4026
 R 2 2 3 :
 x 2x x 2x x 4x x
 x 1 x 1 4 x
 R .
 x x 2 x x 2 x x 2 x 2 4026
 x 1 x 2 x 1 x 2 4 x
 R .
 x x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2 4026
 x2 2x x 2 x2 2x x 2 4 x
 R .
 x x 2 x 2 4026
 2x2 8 x
 R .
 x x 2 x 2 4026
 2 x 2 x 2 x
 R 
 x x 2 x 2 .4026
 1
 R 
 2013
 1
 Vậy với x 0, x 2 thỡ R 
 2013 2. x 2 x 1 x 1 x 2 4. (1)
 ) x 2 x 2 x 2 0 x 2 thỡ phương trỡnh (1) trở thành:
 x 2 x 1 x 1 x 2 4
 x2 4 x2 1 4
 x4 4x2 x2 4 4 0
 x4 5x2 0
 x2 x2 5 0
 x 0 x 0 ( Loai vỡ x 2) 
 2 2
 x 5 x 5
 x 5 ( Loai vỡ x 2)
 x 5 ( Thoa món) 
 ) x 2 2 x x 2 0 x 2 thỡ phương trỡnh (1) trở thành:
 2 x x 1 x 1 x 2 4
 4 x2 x2 1 4
 4x2 4 x4 x2 0
 5x2 x4 8 0
 4 2 25 7
 x 5x 0
 4 4
 2 2 2
 2 5 7 2 5 2 5 7
 x ( vụ lớ vỡ x 0 x 0 , mà 0 )
 2 4 2 2 4
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 5
Cõu 3: (4,0 điểm) 
 1. Cho n là số tự nhiờn lẻ. Chứng minh n3 n chia hết cho 24.
 2. Tỡm số tự nhiờn n để n2 4n 2013 là một số chớnh phương.
 Lời giải
 1. Ta cú : n3 n n n2 1 n n 1 n 1 
 Vỡ n là số tự nhiờn lẻ nờn n 1,n,n 1là 3 số tự nhiờn liờn tiếp. n n 1 n 1 3
 Hay n3 n3 (1)
 Vỡ n là số tự nhiờn lẻ n 1,n 1 là hai số tự nhiờn chẵn liờn tiếp.
 n 1 n 1 8
 Hay n3 n8 (2)
 Ta cú ƯCLN (3,8) 1 (3)
 Từ (1),(2),(3) n3 n 3.8 
 Hay n3 n24
 2. Vỡ n2 4n 2013 là một số chớnh phương nờn
 n2 4n 2013 m2 (m N)
 n2 4n 4 2009 m2
 n 2 2 2009 m2
 m2 n 2 2 2009
 m n 2 m n 2 2009
Vỡ m,n N m n 2;m n 2 Z và m n 2 m n 2 0 (1)
 m n 2;m n 2 U (2009) (2)
Từ (1),(2) ta cú bảng:
 m n 2 2009 287 49
 m n 2 1 7 41
 m 1005 147 45
 n 1002 138 2
 Vậy n 1002;138;2 thỡ n2 4n 2013là số chớnh phương
Cõu 4: (6,0 điểm) 
 1. Cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D. Biết CD 2AB 2AD và BC a 2
 a) Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD theo a. b) Gọi I là trung điểm BC, H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D xuống AC.
 Chứng minh Hã DI 45 
 2. Cho tam giỏc ABC cú BC a, AC b, AB c . Độ dài cỏc đường phõn giỏc trong của tam 
 1 1 1 1 1 1
 giỏc kẻ từ đỉnh A,B,C lần lượt là la ,lb ,lc . Chứng minh rằng: 
 la lb lc a b c
 Lời giải
1. a) Gọi E là trung điểm CD
 1
 DE EC DC (1)
 2
Mà 2AB 2AD DC (GT)
 1
 AB AD DC (2)
 2
Từ (1),(2) DE EC AB AD
Xột tứ giỏc ABED ta cú: AB // DE, AB DE
 Tứ giỏc ABED là hỡnh bỡnh hành (dhnb)
mà Bã AD 90 (GT); AB AD
 Tứ giỏc ABED là hỡnh vuụng (dhnb)
 BE  EC
 BEC vuụng tại E cú BE EC
 BEC vuụng cõn tại E (dhnb)
 BC 2 EC 2 BE 2 (Py ta go)
 2
 a 2 2EC 2
 EC 2 a2
 EC a (vỡ EC 0 ) AB AD a; DC 2a
 AB CD .BE a 2a a 3a2
 Vậy S 
 ABCD 2 2 2
 àA Dả 90 
 1 1 ả à
 b) Ta cú  D1 C1 (4)
 à à 
 A1 C1 90  
 Xột BDC ta cú BE  DC , BE là trung tuyến ứng với DC
 BDC cõn tại B (dhnb)
 Mà Eã CB 45 (do BEC vuụng cõn tại E )
 BDC vuụng cõn tại B (dhnb)
 BD BC
 1 1
 Vỡ I là trung điểm BC (GT) BI IC BC BD
 2 2
 Xột ADC vuụng tại D và BID vuụng tại B, ta cú:
 AD IB
 DC BD
 ADC : IBD(c.g.c)
 à ã
 C1 BDI (5)
 ả ã
 Từ (4),(5) D1 BDI
 ả ã ã ã ã 
Mà D1 BDH 45 BDI BDH 45 HDI 45
2. Gọi AD là tia phõn giỏc gúc Bã AC
 Bã AC
 Bã AC Dã AC 
 2
 Qua C kẻ CM // AD(M AB)
 Bã AD Mả
 ã ã
 DAC ACM
 Mà Bã AD Dã AC
 Mả ãACM
 ACM cõn tại A (dhnb)
 AM AC b Cú AD // MC
 AD AB
 (Ta lột)
 MC BM
 AD c
 MC c b
Mà CM AM MC (bất đẳng thức tam giỏc) 2b
 c AD c la 1 1 1 1 
 (1) 
 b c 2b b c 2b la 2 b c 
 1 1 1 1 
Chứng minh tương tự : (2)
 lb 2 a c 
 1 1 1 1 
 (3)
 lc 2 a b 
 1 2 2 2 
Từ (1),(2),(3) la lb lc 
 2 a b c 
 1 1 1
 l l l (đpcm)
 a b c a b c
Cõu5: (1,0 điểm) 
 Cho hai số khụng õm a và b thỏa món a2 b2 a b. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
 a b
 S 
 a 1 b 1
 Lời giải
 Cú a 1 2 0 a a2 2a 1 0 a
 a2 1 2a a
 Chứng minh tương tự: b2 1 2b b
 a2 b2 2 2(a b) a2 b2 (a b) 2 a b 2 a b (do a2 b2 a b )
 1 1 4 x y 4
Xột hiệu: (x, y 0)
 x y x y xy x y
 x y 2 4xy
 xy(x y)
 x2 y2 2xy
 xy(x y) (x y)2
 xy(x y)
Cú: (x y)2 0 x, y; xy(x y) 0 vỡ x, y 0
 1 1 4
 0
 x y x y
 1 1 4
 (1) (x, y 0) 
 x y x y
Cú a,b 0 a 1,b 1 0 nờn ỏp dụng bất đẳng thức (1) cho hai bộ số
 1 1 4
 a 1 b 1 a b 2
 a b 1 1
 S (1 ) (1 )
 a 1 b 1 a 1 b 1
 a b 1 1 4 4
 S 2 ( ) 2 2 1
 a 1 b 1 a 1 b 1 a b 2 2 2
 a 1 b 1
Dấu “=” xảy ra a 1 0 a b 1
 b 1 0
Vậy Smax 1 tại a b 1