Giáo án Đại số Lớp 8 - Bài 1: Mở đầu về phương trình

Chương
3
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Bài 1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Khái niệm phương trình một ẩn
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng , trong đó và là các biểu thức của biến .
2. Các khái niệm khác liên quan
Giá trị được gọi là nghiệm của phương trình nếu đẳng thức đúng.
Giải phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
Tập nghiệm của phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đó.
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.
Hai phương trình vô nghiệm cũng tương đương với nhau.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Xét xem một số cho trước có là nghiệm của phương trình hay không
Để xem số thực có là nghiệm của phương trình hay không, ta thay vào phương trình rồi kiểm tra
Nếu thì là nghiệm của phương trình đã cho.
Nếu thì không là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 1. Hãy xét xem có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không?
a) ;	ĐS: có.
b) .	ĐS: có.
Ví dụ 2. Trong các giá trị giá trị nào là nghiệm của phương trình .	ĐS: .
Ví dụ 3. Cho phương trình ẩn : . Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
Dạng 2: Xét sự tương đường của hai phương trình
Bước 1: Tìm các tập nghiệm của hai phương trình.
Bước 2: Nếu thì hai phương trình tương đương.
Chú ý: Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này mà không là nghiệm của phương trình kia thì hai phương trình đã cho không tương đương.
Ví dụ 4. Xét xem hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?
a) và ;	b) và .
Ví dụ 5. Cho hai phương trình và .
a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là .
b) Chứng minh là nghiệm của phương trình nhưng không là nghiệm của phương trình .
c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không? Tại sao?	ĐS: có.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Hãy xét xem số có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không?
a) .	ĐS: có.
b) .	ĐS: không.
Bài 2. Cho phương trình ẩn : . Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của sao cho phương trình nhận làm nghiệm.	ĐS: .
Bài 4. Cho hai phương trình và .
a) Chứng minh là nghiệm chung của hai phương trình.
b) Chứng minh là nghiệm của phương trình nhưng không phải là nghiệm của phương trình .
c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không? Vì sao?	ĐS: không.
Bài 5. Chứng minh tập nghiệm của phương trình là tập số thực .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Hãy xét xem có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không?
a) ;	ĐS: không.
b) .	ĐS: không.
Bài 7. Trong các giá trị giá trị nào là nghiệm của phương trình .	ĐS: .
Bài 8. Cho phương trình ẩn : . Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
Bài 9. Xét xem hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?
a) và ;	b) và .
Bài 10. Cho hai phương trình và .
a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là .
b) Chứng minh là nghiệm của phương trình .
c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau hay không biết mỗi phương trình đều có hai nghiệm?	ĐS: có.
--- HẾT ---
Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
VÀ CÁCH GIẢI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Khái niệm
Phương trình dạng với là các số đã cho và được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Hai quy tắc cơ bản để biến đổi phương trình
Quy tắc chuyển vế: khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình thì phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân (hoặc chia) với một số khác 0: trong cùng một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) hai vế với cùng một số khác 0.
3. Cách giải phương trình bậc nhất
Cách giải phương trình dạng .
Dùng quy tắc chuyển vế: .
Chia hai vế cho : .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn
Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn. Hãy chỉ ra hệ số và tương ứng.
a) ;	b) ;	c) ;
d) ;	e) ;	f) .
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình là phương trình bậc nhất 1 ẩn
Phương trình dạng là phương trình bậc nhất một ẩn khi .
Ví dụ 2. Tìm điều kiện của để các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn :
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Dạng 3: Giải phương trình bậc nhất một ẩn
Dựa vào cách giải trong phần kiến thức trọng tâm.
Chú ý
Nếu phương trình thu gọn có dạng thì phương trình có vô số nghiệm hay .
Nếu phương trình thu gọn có dạng với thì phương trình vô nghiệm hay .
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) ;	ĐS: .
e) ..;	ĐS: .
f) ;	ĐS: .
g) ;	ĐS: .
h) ;	ĐS: .
i) ;	ĐS: .
j) .	ĐS: .
Ví dụ 4. Chứng minh các phương trình sau đây vô nghiệm:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a) khi ;	ĐS: .
b) khi ;	ĐS: .
c) khi .	ĐS: .
Ví dụ 6. Tìm giá trị của sao cho phương trình:
a) nhận làm nghiệm;	ĐS: .
b) nhận làm nghiệm.	ĐS: .
Ví dụ 7. Tìm giá trị của sao cho nghiệm của phương trình cũng là nghiệm của phương trình :
	ĐS: .
Ví dụ 8. Tìm giá trị của biết rằng một trong hai phương trình và nhận làm nghiệm, phương trình còn lại nhận làm nghiệm.	ĐS: .
Ví dụ 9. Cho phương trình . Giải phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) .	ĐS: .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn. Hãy chỉ ra hệ số và tương ứng.
a) ;	b) ;	c) ;
d) ;	e) ;	f) .
Bài 2. Tìm điều kiện của để các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn :
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) ;	ĐS: .
e) ;	ĐS: .
f) ;	ĐS: .
g) ;	ĐS: .
h) ;	ĐS: .
i) ;	ĐS: .
j) .	ĐS: .
Bài 4. Chứng minh các phương trình sau đây vô nghiệm:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) khi ;	ĐS: .
b) khi ;	ĐS: .
c) khi .	ĐS: .
Bài 6. Tìm giá trị của sao cho phương trình: 
a) nhận là nghiệm;	ĐS: .
b) nhận là nghiệm.	ĐS: .
Bài 7. Tìm giá trị của sao cho nghiệm của phương trình cũng là nghiệm của phương trình :
	ĐS: .
Bài 8. Tìm giá trị của biết rằng một trong hai phương trình và nhận làm nghiệm, phương trình còn lại nhận làm nghiệm.	ĐS: .
Bài 9. Cho phương trình . Giải phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) .	ĐS: .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 10. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất một ẩn trong các phương trình sau. Nếu có hãy chỉ ra hệ số và tương ứng.
a) ;	b) ;	c) ;
d) ;	e) ;	f) .
Bài 11. Tìm điều kiện của để các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn :
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) ...	ĐS: .
Bài 12. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) ;	ĐS: .
e) ;	ĐS: .
f) ;	ĐS: .
g) ;	ĐS: .
h) ;	ĐS: .
i) ;	ĐS: .
j) .	ĐS: .
Bài 13. Chứng minh các phương trình sau đây vô nghiệm:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 14. Giải các phương trình sau:
a) khi ;	ĐS: .
b) khi ;	ĐS: .
c) khi .	ĐS: .
Bài 15. Tìm giá trị của sao cho phương trình:
a) nhận làm nghiệm;	ĐS: .
b) nhận làm nghiệm.	ĐS: .
Bài 16. Tìm giá trị của sao cho nghiệm của phương trình cũng là nghiệm của phương trình : 	ĐS: .
Bài 17. Tìm giá trị của biết rằng một trong hai phương trình và nhận làm nghiệm, phương trình còn lại nhận làm nghiệm.	ĐS: .
Bài 18. Cho phương trình . Giải phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) .	ĐS: .
--- HẾT ---
Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG 
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Sử dụng các quy tắc trong bài trước để đưa phương trình đã cho về dạng . Chú ý đến các kiến thức liên quan, bao gồm
Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản.
Quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, chia với số khác 0.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi thường gặp để giải một số phương trình đơn giản
Bước 1: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc hoặc quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu.
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
Bước 3: Thu gọn, giải phương trình tìm được.
Chú ý: để hai biểu thức A và B bằng nhau thì ta cho và giải phương trình vừa tìm được.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) ;	ĐS: .
e) ;	ĐS: .
f) .	ĐS: .
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 3. Tìm các giá trị của sao cho hai biểu thức và sau đây có giá trị bằng nhau:
a) và ;	ĐS: .
b) và ;	ĐS: .
c) và ;	ĐS: .
d) và .	ĐS: .
Dạng 2: Phương trình có chứa tham số
Bước 1: Thực hiện các quy tắc để biến đổi phương trình về dạng .
Bước 2: Nếu giá trị là nghiệm của phương trình thì .
Ví dụ 4. Cho phương trình .
a) Giải phương trình với .	ĐS: .
b) Tìm để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
Ví dụ 5. Cho phương trình: 	(1)
	và 	(2)
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó.	ĐS: .
b) Giải phương trình khi .	ĐS: .
c) Tìm giá trị của để phương trình có một nghiệm bằng nghiệm của phương trình .	
	ĐS: .
Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn ở mẫu xác định
 xác định khi và chỉ khi .
Ví dụ 6. Tìm điều kiện của để giá trị mỗi phân thức sau xác định
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Dạng 4: Một số bài toán đưa về giải phương trình bậc nhất một ẩn
Dựa vào các dữ kiện của bài toán để kaapj phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 7. Một nhóm phượt phủ khởi hành từ Hà Nội đi Sa Pa với vận tốc trung bình km/h. Sau đó giờ, một nhóm phượt phủ khác cũng khởi hành từ Hà Nội đi Sa Pa, cùng đường với nhóm đi trước, với vận tốc trung bình km/h. Hãy viết phương trình biểu thị việc hai nhóm phượt phủ gặp nhau giờ, kể từ khi nhóm thứ hai khởi hành. Tìm .	ĐS: .
Ví dụ 8. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Bài 2. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) ;	ĐS: .
e) ;	ĐS: .
f) .	ĐS: .
Bài 3. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 4. Tìm các giá trị của sao cho hai biểu thức và sau đây có giá trị bằng nhau
a) và ;	ĐS: .
b) và ;	ĐS: .
c) và .	ĐS: .
Bài 5. Cho phương trình .
a) Giải phương trình với ;	ĐS: .
b) Tìm để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
Bài 6. Cho phương trình 
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó;	ĐS: .
b) Giải phương trình khi ;	ĐS: .
c) Tìm giá trị của để phương trình có một nghiệm bằng lần nghiệm của phương trình .	
	ĐS: .
Bài 7. Tìm điều kiện của để giá trị mỗi phân thức sau xác định
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Bài 8. Một xe máy khởi hành từ thành phố đến thành phố với vận tốc trung bình km/h. Sau giờ một ô tô cũng khởi hành từ thành phố đến thành phố cùng đường với xe máy và với vận tốc trung bình là km/h. Hãy viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau giờ, kể từ khi ô tô khởi hành. Tìm .	ĐS: .
Bài 9. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 10. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) ;	ĐS: .
e) ;	ĐS: .
f) .	ĐS: .
Bài 11. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 12. Tìm các giá trị của sao cho hai biểu thức và sau đây có giá trị bằng nhau:
a) và ;	ĐS: .
b) và ;	ĐS: .
c) và ;	ĐS: .
d) và .	ĐS: .
Bài 13. Cho phương trình .
a) Giải phương trình với .	ĐS: .
b) Tìm để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
Bài 14. Cho phương trình 
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó.	ĐS: .
b) Giải phương trình khi .	ĐS: .
c) Tìm giá trị của để phương trình có một nghiệm bằng nghiệm của phương trình .	
	ĐS: .
Bài 15. Tìm điều kiện của để giá trị mỗi phân thức sau xác định
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Bài 16. Một xe máy khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh đi Cần Thơ với vận tốc trung bình km/h. Sau đó giờ, một ô tô cũng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh đi Cần Thơ, cùng đường với nhóm đi trước, với vận tốc trung bình km/h. Hãy viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau giờ, kể từ khi ô tô khởi hành. Tìm .	ĐS: .
--- HẾT ---
Bài 4. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Phương trình tích dạng 
Giải phương trình dạng , ta sử dụng công thức
.
Ví dụ: Phương trình được gọi là phương trình tích. Ta có
.
2. Mở rộng với phương trình tích
.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình tích
Bước 1: Áp dụng công thức .
Bước 2: Lấy tất cả các nghiệm rồi kết luận.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Dạng 2: Giải phương trình đưa về phương trình tích
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích.
Bước 2: Áp dụng công thức: .
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 4. Giải các phương trình bậc hai sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 4. Giải các phương trình bậc hai sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 6. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 7. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 8. Giải các phương trình bậc hai sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
--- HẾT ---
Bài 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
Bước 3: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 4: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 5 (kết luận): Trong các giải trị của ẩn vừa tìm được ở bước 4, các giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Lưu ý: khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần đặc biệt chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) là tất cả các mẫu thức phải khác 0.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Phân thức (với là các đa thức) xác định khi và chỉ khi .
Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Xem các bước ở phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) ; 	ĐS: PT vô nghiệm.
b) ; 	ĐS: .
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) ; 	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Ví dụ 4. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau
a) ; 	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Ví dụ 5. Cho phương trình ẩn : .
a) Giải phương trình với ; 	ĐS: .
b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ; 	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 3. Cho phương trình ẩn : .
a) Giải phương trình với ; 	ĐS: .
b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm . 	ĐS: .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Tìm điều kiện xác định của biểu thức
a) ;	ĐS: .
b) ;	ĐS: .
c) ;	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 5. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Bài 6. Giải các phương trình sau
a) ;	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Bài 7. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau
a) ; 	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Bài 8. Cho phương trình ẩn : .
a) Giải phương trình với ; 	ĐS: .
b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm .	ĐS: .
--- HẾT ---
Bài 6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Bước 1: lập phương trình
Đặt ẩn số và điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình đã lập.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Bài toán liên quan đến tìm số
Từ các dữ kiện đề bài ta cần thiết lập phương trình của ẩn đã đặt. Lưu ý thêm về biểu diễn các số
.
Trong đó các chữ số .
Ví dụ 1. Cho một phân số có tử nhỏ hơn mẫu là , nếu tăng tử lên đơn vị và giảm mẫu đi đơn vị thì được một phân số bằng . Tìm phân số đó.	ĐS: .
Ví dụ 2. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục và nếu xen thêm chữ số vào giữa hai chữ số ấy thì được số mới lớn hơn số ban đầu là . Tìm số đó.	
	ĐS: .
Dạng 2: Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm
Chú ý đổi các số liệu phần trăm trong bài toán ra phân số .
Ví dụ 3. Hai tổ công nhân trong một công xưởng, sản xuất được sản phẩm trong tháng đầu. Sang tháng thứ hai, tổ I làm vượt mức , tổ II vượt mức do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất dược sản phẩm. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
	ĐS: Tổ I sản xuất được sản phẩm và tổ II sản xuất được sản phẩm.
Ví dụ 4. Năm ngoái, tổng số dân của tỉnh A và B là triệu người . Năm nay dân số của tỉnh A tăng , dân số tỉnh B tăng . Do đó tổng dân số hai tỉnh năm nay tăng thêm 83400 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh.
	ĐS: Tỉnh A có và tỉnh B có .
Dạng 3: Bài toán liên quan đến năng suất
Ta sử dụng công thức với là khối lượng công việc, là năng suất và là thời gian.
Ví dụ 5. Một công xưởng sản xuất một lượng hàng, theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất được 380 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện, do cải tiến kĩ thuật mỗi ngày công xưởng sản xuất được 480 sản phẩm. Do đó, công xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước ngày và còn vươt mức sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, công xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
	ĐS: sản phẩm.
Dạng 4: Bài toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng
Ta coi công việc như một đơn vị, biểu diễn khối lượng của mỗi đội theo cùng một đơn vị thời gian (ngày, giờ, ).
Ví dụ: một người hoàn thành công việc trong giờ thì mỗi giờ người đó làm được công việc.
Ví dụ 6. Hai tổ công nhân cùng làm thì sau giờ sẽ hoàn thành công việc. Nếu tổ I làm công việc trong giờ rồi đi làm việc khác, tổ II làm tiếp công việc trong giờ nữa thì sẽ hoàn thành được công việc. Tính thời gian mỗi tổ làm riêng để hoàn thành công việc.
	ĐS: Tổ I mất giờ, tổ II mất giờ.
Ví dụ 7. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau giờ phút thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vời II chảy được gấp lần lượng nước chảy của vòi I. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể?	ĐS: Vòi I mất giờ, vòi II mất giờ.
Dạng 5: Bài toán liên quan đến tính tuổi
Ta vận dụng các dữ liệu của đề bài để lập phương trình với chú ý rằng sau mỗi năm thì tuổi của mỗi người tăng lên 1.
Ví dụ 8. Năm nay tuổi bố gấp 5 lần tuổi con. Biết sau năm nữa tuổi bố chỉ gấp lần tuổi con. Tính tuổi của hai bố con hiện nay.	ĐS: con tuổi và bố tuổi.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho một phân số có tử nhỏ hơn mẫu là , nếu tăng tử lên đơn vị và giảm mẫu đi đơn vị thì được một phân số bằng . Tìm phân số đó.	ĐS: .
Bài 2. Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức , tổ II vượt mưc . Do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
	ĐS: Tổ I sản xuất được sản phẩm và tổ II sản xuất được sản phẩm.
Bài 3. Một đội thợ mỏ theo kế hoạch cần khai thác tấn than mỗi ngày. Do cải tiến kĩ thuật nên trên thực tế đội đã khai thác được 42 tấn mỗi ngày, do đó đội không những hoàn thành trước 12 tiếng mà còn làm vượt chỉ tiêu thêm tấn nữa. Hỏi kế hoạch đội cần khai thác bao nhiêu tấn than?	
	ĐS: tấn .
Bài 4. Hai người công nhân cùng làm một công việc trong giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong giờ rồi và người thứ hai làm trong giờ thì được công việc. Hõi mỗi người làm một mình công việc đó trong mấy giờ thì xong?	ĐS: Tổ I mất giờ, tổ II mất giờ.
Bài 5. Tuổi mẹ hiện nay gấp 3 lần tuổi con. Biết sau năm trước đây tuổi mẹ gấp lần tuổi con. Hỏi tuổi mẹ và tuổi con hiện nay là bao nhiêu?	ĐS: con tuổi và mẹ tuổi.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Cho hai số nguyên dương có hiệu là , tỉ số giữa chúng bằng . Tìm hai số đó.	
	ĐS: và .
Bài 8. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, nếu lấy chữ số hàng đơn vị chia cho chữ số hàng chục thì được thương là dư . Nếu viết thêm chữ số vào bên trái số đó ta được một số mới gấp lần chữ số ban đầu. Tìm số đã cho.	ĐS: .
Bài 9. Một đội xe tải mỗi ngày theo kế hoạch phải chở tấn hàng. Khi thực hiện, mỗi ngày đội chở thêm tấn. Do đó, đội không chỉ hoàn thành kế hoạch trước ngày mà còn vượt mức tấn hàng. Hỏi theo kế hoạch, đội phải chở được bao nhiêu tấn hàng?
	ĐS: tấn hàng.
Bài 10. Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay là . Biết rằng cách đây năm tuổi em bằng một nửa tuổi anh. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
	ĐS: Em tuổi và anh tuổi.
--- HẾT ---
ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) ;
b) .
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) ;	b) .
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Dạng 3: Phương trình có cách giải đặc biệt
Ví dụ 5. Giải phương trình: .
Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Ví dụ 6. Lúc 7 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ tỉnh để đi đến tỉnh . Sau 30 phút, một ôtô khởi hành từ để đi đến với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h và hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 30 phút. Tính vận tốc của xe máy và ôtô?
Ví dụ 7. Hai công xưởng sản xuất theo kế hoạch cần làm 400 sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên trên thực tế công xưởng I đã vượt mức 15% kế hoạch, công xưởng II vượt mức 25% kế hoạch, do đó cả hai đội làm được 474 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi đội phải làm bao nhiêu sản phẩm?
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau
a) ;	b) .
Bài 2. Giải các phương trình sau
a) ;	b) .
Bài 3. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 4. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 5. Giải phương trình: .
Bài 6. Một xe tải đi từ đến với vận tốc 50 km/giờ. Sau khi đi được 30 phút thì gặp đường xấu nên trên quãng đường còn lại vận tốc giảm còn 35 km/giờ, vì vậy đến chậm 18 phút so với dự định. Tính quảng đường ?
Bài 7. Giải các phương trình sau
a) ;
b) .
Bài 8. Giải các phương trình sau
a) ;	b) .
Bài 9. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 10. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 11. Giải phương trình: .
Bài 12. Lúc 6 giờ sáng, một xe khách khởi hành từ để đi đến . Đến 7 giờ 30 phút, một ôtô cũng khởi hành từ để đi đến với vận tốc lớn hơn vận tốc xe khách là 30km/h. Hai xe cùng đến lúc 9 giờ. Tính vận tốc của xe khách?
Bài 13. Một xưởng may được đặt hàng may một số lượng áo đồng phục học sinh. Mỗi ngày xưởng may dự định may được 100 cái áo. Trên thực tế số áo mỗi ngày xưởng sản xuất được là 120 cái, do đó xưởng không những đã hoàn thành trứớc thời hạn 1 ngày mà còn vượt chỉ tiêu thêm 20 sản phẩm. Hỏi xưởng may được đặt hàng may bao nhiêu cái áo?
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III – ĐẠI SỐ 8 – ĐỀ SỐ 1
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. Giá trị là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình là
A. .	B. .
C. và .	D. và .
Câu 5. Với giá trị nào của thì phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. Mọi giá trị của .	B. .
C. .	D. .
Câu 6. Với giá trị nào của thì là nghiệm của phương trình .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7. Trong các phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8. Số nghiệm của phương trình là
A. 2 nghiệm.	B. 1 nghiệm.	C. 3 nghiệm.	D. Vô nghiệm.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 9. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Câu 10. Lúc 6 giờ, một người đi xe máy từ tỉnh đến tỉnh với vận tốc là 35km/h. Khi đến , người đó nghỉ lại 30 phút rồi trở về với vận tốc 45km/h và về đến tỉnh vào lúc 11 giờ 50 phút. Tính quãng đường .
Câu 11. Giải phương trình: .
LỜI GIẢI ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III – ĐẠI SỐ 8 – ĐỀ SỐ 1
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn với và .
Câu 2. Giá trị là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Thay vào từng phương án thì là nghiệm của phương trình .
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có 
Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình là
A. .	B. .
C. và .	D. và .
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là .
Câu 5. Với giá trị nào của thì phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. Mọi giá trị của .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi
.
Câu 6. Với giá trị nào của thì là nghiệm của phương trình .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có . Phương trình có nghiệm nên
.
Câu 7. Trong các phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phương trình có tập nghiệm . Do đó phương trình tương đương với phương trình là vì phương trình có tập nghiệm .
Câu 8. Số nghiệm của phương trình là
A. 2 nghiệm.	B. 1 nghiệm.	C. 3 nghiệm.	D. Vô nghiệm.
Lời giải
Ta có 
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 9. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Lời giải
a) .
b) .
.
Câu 10. Lúc 6 giờ, một người đi xe máy từ tỉnh đến tỉnh với vận tốc là 35km/h. Khi đến , người đó nghỉ lại 30 phút rồi trở về với vận tốc 45km/h và về đến tỉnh vào lúc 11 giờ 50 phút. Tính quãng đường .
Lời giải
Gọi (km) là quãng đường , . Ta có
quãng đường
vận tốc
thời gian
Lúc đi
35
Lúc về
45
Vì xe khởi hành lúc 6 giờ và nghỉ lại 30 phút, đồng thời về đến lúc 11 giờ 50 phút nên tổng thời gian đi và về là 5 giờ 50 phút giờ, nên ta có phương trình
Giải phương trình ta được (thỏa điều kiện).
Vậy quãng đường dài 105km.
Câu 11. Giải phương trình: .
Lời giải
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III – ĐẠI SỐ 8 – ĐỀ SỐ 2
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. Giá trị là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình là
A. 	B. 	C. 	D. .
Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình là
A. .	B. hoặc .
C. .	D. và .
Câu 5. Với giá trị nào của tham số thì phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. .	B. .	C. .	D. Mọi giá trị của .
Câu 6. Với giá trị nào của tham số thì phương trình có nghiệm ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7. Trong các phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8. Số nghiệm của phương trình là
A. 2 nghiệm.	B. 1 nghiệm.	C. 4 nghiệm.	D. vô nghiệm.
B. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 9. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Câu 10. Hai đội công nhân theo kế hoạch cần làm 360 sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên trên thực tế đội I đã vượt mức 25% kế hoạch, do đó cả hai đội làm được 442 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi đội phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Câu 11. Giải phương trình: .
LỜI GIẢI ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III – ĐẠI SỐ 8 – ĐỀ SỐ 2
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn vì .
Câu 2. Giá trị là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Thay giá trị vào từng phương trình thì phương trình thỏa mãn.
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình là
A. 	B. 	C. 	D. .
Lời giải
Ta có 
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình là
A. .	B. hoặc .
C. .	D. và .
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là và hay và .
Câu 5. Với giá trị nào của tham số thì phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn?
A. .	B. .	C. .	D. Mọi giá trị của .
Lời giải
Phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi
.
Câu 6. Với giá trị nào của tham số thì phương trình có nghiệm ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Câu 7. Trong các phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
.
.
.
Câu 8. Số nghiệm của phương trình là
A. 2 nghiệm.	B. 1 nghiệm.	C. 4 nghiệm.	D. vô nghiệm.
Lời giải
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
B. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 9. Giải các phương trình sau
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Lời giải
a) .
b) .
c) 
Câu 10. Hai đội công nhân theo kế hoạch cần làm 360 sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên trên thực tế đội I đã vượt mức 25% kế hoạch, do đó cả hai đội làm được 442 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi đội phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Lời giải
Gọi là số sản phẩm mà đội I phải làm theo kế hoạch ();
suy ra số sản phẩm của đội II phải làm theo kế hoạch là (sản phẩm).
Do cải tiến kĩ thuật nên thực tế đội I đã hoàn thành vượt mức 25% kế hoạch nên số sản phẩm đội I làm được là (sản phẩm). Theo đề bài ta có phương trình
Giải phương trình, ta được (thỏa mãn).
Vậy theo kế hoạch thì đội I đã làm được 328 sản phẩm, đội II làm được (sản phẩm).
Câu 11. Giải phương trình: .
Lời giải
Đặt , (). Khi đó phương trình (*) trở thành
.
Với 
Vậy phương trình có nghiệm , .
--- HẾT ---
Chương
4
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT MỘT ẨN
Bài 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Thứ tự trên tập hợp các số
Trên tập số thực, khi so sánh hai số a và b, xảy ra một trong ba trường hợp sau
: a bằng b.	: a nhỏ hơn b.	: a lớn hơn b.
Ngoài ra ta còn kết hợp các trường hợp trên với nhau
Kí hiệu : đọc là a lớn hơn hoặc bằng b hoặc a không nhỏ hơn b.
Kí hiệu : đọc là a nhỏ hơn hoặc bằng b hoặc a không lớn hơn b.
2. Bất đẳng thức
Định nghĩa: Bất đẳng thức là hệ thức có dạng (hoặc ); trong đó a và b lần lượt được gọi là vế trái và vế phải của bất đẳng thức.
Tính chất: Khi ta cộng vào hai vế