Giáo án Đại số Lớp 8 - Chủ đề 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

CHỦ ĐỀ 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau:
HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TỔNG
HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TÍCH
* Bình phương của tổng 
 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
* Bình phương của hiệu 
 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 
* Lập phương của tổng
 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
* Lập phương của hiệu
 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 
* Hiệu hai bình phương
 A2 – B2 = (A + B)(A – B) 
* Tổng hai lập phương
 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
* Hiệu hai lập phương 
 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
*Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC
(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC 
	(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)
 	(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C) 
A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3)
A4 - B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3)
 	An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4 B3 + .. +(-1)n-1 B n-1)
 	An - Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B + An-3 B2 + An-4 B3 + .. + B n-1)
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ 2
HẲNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
DẠNG 1: Khai triển biểu thức. Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.
I/ Phương pháp.
- Nhận diện số A và số B trong hẳng đẳng thức.
- Viết khai triển theo đúng công thức của hằng đẳng thức đã học.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
1) (5x + 3yz)2 	2) (y2x – 3ab)2 	3) (x2 – 6z)(x2 + 6z) 	4) (2x – 3)3 	
5) (a + 2b)3 	6) (5x + 2y)2 	7) (-3x + 2)2	8) 	
9) 	10) 	11) 	12) 
13) 	14) 15) 	16) 	17) 	18) 	19) 
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
1) 	2) 	3) (x – 2y + z)2	4) (2x – y + 3)2
Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:
1) x2 + 2x + 1	2) x2 + 5x + 	3) 16x2 – 8x + 1 	4) 4x2 + 12xy + 9y2 
5) x2 + x + 	6) x2 - 3x + 	7) + x + 1	8) - x + 
Bài 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu:
a) x3 + 3x2 + 3x + 1 	b) 27y3 – 9y2 + y - 
c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 	d) (x + y)3(x – y)3 
Bài 5: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích 
 a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 7 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích 
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 8: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích 
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	g) 
Bài 9 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích 
a) 	
b) 
c) 	
d) 
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức
I/ Phương pháp.
	- Khai triển các hằng đẳng thức có trong biểu thức.
	- Rút gọn các đơn thức đồng dạng.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) A = (x + y)2 – (x – y)2 
b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 
c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a) E = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 
b) F = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) 
c) G = (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 
d) H = (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 
Bài 3: Rút gọn biểu thức.
a) A = (x + y)2 - (x - y)2 
b) B = (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 
c) C = 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
DẠNG 3: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * trong đẳng thức.
I/ Phương pháp.
	- Quan sát 2 vế cửa đẳng thức, xem đẳng thức thuộc hằng đẳng thức nào đã học.
	- Từ vị trí số hạng đã biết trong hằng đẳng thức, xác định số hạng cần điền vào dấu *
II/ Bài tập vận dụng.
1) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 
2) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 
3) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 
4) (* – 2)(3x + *) = 9x2 – 4
5) 27x3 – 1 = (3x – *)(* + 3x + 1)
6) * + 1 = (3x + 1)(9x2 - * + 1)
7) (2x + 1)2 = * + 4x + *
8) (* - 1)2 = 4x2 - * + 1
9) 9 - * = (3 – 4x)(3 + 4x)
10) (4x2 – 3) = (2x - *)(* + )
DẠNG 4: Tính nhanh:
I/ Phương pháp.
	- Đưa tổng, hiệu, tích các số về dạng hằng đẳng thức
- Thực hiện phép tính trong hằng đẳng thức.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tính nhanh
1) 1532 + 94 .153 + 472 
2) 1262 – 152.126 + 5776 
3) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) 
4) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 
Bài 2: Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh 
a. 252 - 152	b. 2055 - 952 	c. 362 - 142 
d. 9502 - 8502 	e. 
Bài 3. Tính:
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức dương hoặc âm với mọi giá trị của biến x.
I/ Phương pháp.
	- Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức, khi đó nếu :
	+ Biểu thức A có dạng (a ± b)2 thì A ≥ 0
	+ Biểu thức A có dạng (a ± b)2 + c (c là hằng số dương) thì A > 0
	+ Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 thì A ≤ 0
	+ Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 - c (c là hằng số dương) thì A < 0
II/ Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh rằng
a) – x2 + 4x – 5 < 0 với mọi x
b) x4 + 3x2 + 3 > 0 với mọi x
c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 với mọi x
Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến:
a) A = x2 – x + 1 
b) B = (x – 2)(x – 4) + 3 
c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5 
DẠNG 6: Chứng minh đẳng thức.
I/ Phương pháp.
	- Dùng hằng đẳng thức biến đổi một vế của đẳng thức sao cho bằng vế còn lại
II/ Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 
Bài 2: Chứng minh:
a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) 
b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) 
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 
b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 
c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 
d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)
DẠNG 7: Tìm x trong phương trình f(x) = 0.
I/ Phương pháp
	Cách 1: 
	- Đưa f(x) về một trong các dạng hằng đẳng thức sau: A2 – B2 ; A3 + B3 ; A3 - B3 ; A4 - B4 
	- Khai triển các hằng đẳng thức trên ta được: f(x) = 0 
	H(x) và K(x) là các đa thức đơn giản chứa x.
	Cách 2:
	- Nếu f(x) không đưa được về dạng các hằng đẳng thức như Cách 1 thì ta khai triển f(x) thành tổng các đơn thức
- Rút gọn các đơn thức đồng dạng sao cho chỉ còn lại a.x = c 
=> 
Chú ý: Nếu f(x) = => f(x) = 0 ó 
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1 : Tìm x.
a) 9x2 – 6x – 3 = 0 	
b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0
c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3
Hướng dẫn
a) 9x2 – 6x – 3 = 0 
ó 9x2 – 2.3x.1 + 1 – 4 = 0
ó (3x – 1)2 – 4 = 0	(Hiệu của hai bình phương)
ó (3x – 1 + 2)(3x – 1 – 2) = 0
ó (3x + 1)(3x – 3) =0
ó 
b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0
ó x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0 
ó (x + 3)3 – 8 = 0
ó (x + 3)3 – 23 = 0	(Hiệu của hai lập phương)
ó (x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0
ó (x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0
ó (x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0
ó (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0
ó (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0
ó x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x.
ó x = -1 
c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3
ó x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0
ó x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0	(Thu gọn đồng dạng)
ó - 25x = 11
ó x = - 
Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0
Hướng dẫn
x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0
ó (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0
ó (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 	(Tổng các bình phương)
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) x2 – 4x + 4 = 25
b) (5 – 2x)2 – 16 = 0
c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 
Bài 4. Tìm x, biết:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9	
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
DẠNG 8: Dùng hằng đẳng thức so sánh hai số.
I/ Phương pháp.
	- Vận dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B)
	- Biến đổi số phức tạp về dạng: kN – 1 => Khi đó số kN – 1 < kN
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: So sánh hai số sau: 
a) 2003.2005 và 20042 
b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) 
Hướng dẫn
a) 2003.2005 và 20042 
Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – 1 < 20042
b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) 
Ta có: 716 – 1 = (78)2 – 1 = (78 + 1)(78 – 1) 
 = (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1)
 = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1)
 = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8
Bài 2: So sánh hai số A và B biết :
	 A = 20162 và B = 2015 . 2017
Bài 3: So sánh hai số M và N biết :
	M = 216 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1)
Hướng dẫn
Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) 
 = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (28 + 1) 
 = (24 – 1) (24 + 1) (28 + 1) 
 = (28 – 1)(28 + 1) 
 = 216 – 1 
Suy ra : N = 216 – 1 < 216 
Vậy : N < M
Bài 4: So sánh hai số M và N biết : 
M = 22016 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) (21008 + 1) 
Hướng dẫn
Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (21008 + 1) 
 = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (21008 + 1) 
 = (24 – 1) (24 + 1) (21008 + 1) 
 = (28 – 1) (21008 + 1) 
 = 22016 – 1 
Suy ra : N = 22016 – 1 < 22016 . Mà: M = 22016 . Vậy : N < M
Bài 5: So sánh hai số P và Q biết : 
P = 4(32 + 1)(34 + 1) (364 + 1) và Q = 3218 – 1
Hướng dẫn
Ta có : P = 4.(32 + 1).(34 + 1) (364 + 1) = .(32 - 1). (32 + 1).(34 + 1) (364 + 1) 
	 = .(34 - 1).(34 + 1) (364 + 1) = .(364 - 1).(364 + 1) 
	 = .(3128 – 1) 
	Mà .(3128 – 1) < 3128 – 1
	Vậy P < Q.
DẠNG 9: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất.
I/ Phương pháp:
	* Nếu biểu thức A ≤ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m
	=> A đạt GTLN = m khi x = xo 
	* Nếu biểu thức A ≥ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m
	=> A đạt GTNN = m khi x = xo
	* Dùng hằng đẳng thức biến đổi A về dạng:
	- Nếu A = (kx + c)2 + d ≥ d => Amin = d ó kx + c = 0
	- Nếu A = - (kx + c)2 + d ≤ d => Amax = d ó kx + c = 0	
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 
Hướng dẫn
a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 
Dấu “ =” xảy ra Û x – 4 = 0 Û x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
 	Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
 	Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3 
b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 
Hướng dẫn
a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3 
Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 nên M ≥ 3 
Hay GTNN của M bằng 3
Giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 
b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 
 = (x2 – 4x – 5 )(x2 – 4x – 5 – 14) + 49 
 = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 
 = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – 5 ) + 72 
 = (x2 – 4x – 5 – 7 )2 = (x2 – 4x – 12 )2 
Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ 0 nên N ≥ 0 
Hay GTNN của N bằng 0 
Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0 
x = 6 ; hoặc x = -2 
c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = (x – 3)2 + (y – 1)2 + 2 
Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; và (y – 1)2 ≥ 0 nên P ≥ 2
Hay GTNN của P bằng 2
Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0 
	x = 3 và y = 1 
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A = (x2 + 1)2 + 4 nếu có.
Bài 4: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức B = (x – y)2 + 2 nếu có.
Bài 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
	a) A = x2 – 4x + 9 
b) B = x2 – x + 1 
c) C = 2x2 – 6x 
Hướng dẫn
a) A = x2 – 4x + 9 
Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = (x – 2)2 + 5 
Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 
Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 
 x – 2 = 0 x = 2 
b) B = x2 – x + 1 
Ta có: B = x2 – 2.x + = (x - )2 + 
Vậy GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x = 
c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2.x + ] = 2(x - )2 - 
Vậy GTNN của C bằng - , giá trị này đạt được khi x = 
Bài 4: Tìm GTLN của các đa thức:
a) M = 4x – x2 + 3 
b) N = x – x2 
c) P = 2x – 2x2 – 5 
Hướng dẫn
a) M = 4x – x2 + 3 = - x2 + 4x – 4 + 7 = 7 – (x2 – 4x + 4) = 7 – (x – 2)2 
Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên - (x – 2)2 ≤ 0 .
Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7 
Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2 
b) N = x – x2 = - x2 + 2.x - = 2 
Vậy GTLN của N bằng , giá trị này đạt được khi x = 
c) P = 2x – 2x2 – 5 = 2( - x2 + x – 5) = 2[( - x2 + 2. x – ) – ] = - - (x - )2 ≤ - 
Vậy GTLN của biểu thức P bằng - , giá trị này đạt được khi x =