Giáo án Hình học 8 - Chủ đề: Đường trung bình của tam giác, hình thang - Mai Hoàng Sanh

TÀI LIỆU TỰ HỌC HÌNH HỌC 8 
Mai Hoàng Sanh 1 Zalo: 0918101315 
CHỦ ĐỀ: 
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG. 
A. LÝ THUYẾT 
1. Đường trung bình của tam giác. 
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung 
điểm của hai cạnh của tam giác. 
AD = DB, AE = EC ⇒ DE là đường trung bình của ΔABC 
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam 
giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh 
thứ ba. 
Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 
Ví dụ: Cho ΔABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và 
BC = 4cm. Tính độ dài MN. 
Lời giải: 
Xét ΔABC có: M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC ⇒ MN là 
đường trung bình của ΔABC (định lý) 
Áp dụng định lý 2, ta có ⇒
1 1
MN BC .4 2(cm)
2 2
 Cách chứng minh đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác. 
Có 2 cách : (hình minh họa ở trên) 
Cách 1 : Chứng minh D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC, Khi đó DE là đường trung 
bình của ΔABC. 
Cách 2 : Chứng minh D là trung điểm của AB và DE song song với BC, khi đó DE là đường trung 
bình của ΔABC. 
Ví dụ: Cho ΔABC có AB = 6cm, AC = 10cm, BC = 14cm. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, 
AC và BC. Tính độ dài các cạnh DE, DF và EF. 
Lời giải: 
+ Xét ΔABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC 
⇒ DE là đường trung bình ⇒
1 1
DE BC .14 7(cm)
2 2
+ Xét ΔABC có D là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC 
⇒DF là đường trung bình ⇒
1 1
DF AC .10 5(cm)
2 2
+ Xét ΔABC có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC⇒ 
EF là đường trung bình ⇒
1 1
EF AB .6 3(cm)
2 2
A
B C
D E
A
B C
M N
A
B C
D E
F
TÀI LIỆU TỰ HỌC HÌNH HỌC 8 
Mai Hoàng Sanh 2 Zalo: 0918101315 
2. Đường trung bình của hình thang. 
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng 
nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang. 
 Hình thang ABCD có AE = ED, BF = FC 
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD 
Định lý 3: Đường thẳng đi trung điểm một cạnh bên của hình 
thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên 
thứ hai. 
Định lý 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 
Ví dụ: Cho hình thang ABCD có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC và AB = 4cm và 
CD = 7cm. Tính độ dài đoạn EF. 
Lời giải: 
Xét hình thang ABCD (AB // CD) có E là trung điểm của AD, F là trung 
điểm của BC (gt) 
⇒ EF là đường trung bình của hình thang (định lý). 
Áp dụng định lý 2, ta có 
AB CD 4 7 11
EF 
2 2 2
⇒ (cm) 
 Cách chứng minh đoạn thẳng là đường trung bình của hình thang. 
Có 2 cách chứng minh. 
Cách 1 : Chứng minh E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, Khi đó EF là đường trung 
bình của hình thang ABCD. 
Cách 2 : Chứng minh E là trung điểm của AD và EF // DC , Khi đó EF là đường trung bình của hình 
thang ABCD. 
CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN 
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của tam giác để chứng minh. 
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí 1, Định lí 2 để suy ra 
điều cân chứng minh. 
Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh. 
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của hình thang, Định lí 3, Định lí 4 để suy 
ra điều cần chứng minh. 
Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang 
để chứng minh. 
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định nghĩa đường trung bình 
của hình thang và các Định lí : 1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần chứng minh. 
D C
A B
E F
D C
A B
E F
TÀI LIỆU TỰ HỌC HÌNH HỌC 8 
Mai Hoàng Sanh 3 Zalo: 0918101315 
BÀI TẬP. 
Bài toán 1 : Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. 
a) So sánh độ dài EK và CD, KF và AB. b) Chứng minh rằng EF 
 Gợi ý :Học sinh tự vẽ hình. 
a) dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác. 
b) dựa vào ý a) đã chứng minh + bất đẳng thức trong tam giác. 
Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. 
Chứng minh rằng : a) EI // CD, IF // AB. b) EF 
Gợi ý : tương tự bài toán 1. 
Bài toán 3 : Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, 
AC. Chứng minh rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng. 
Gợi ý :Học sinh tự vẽ hình. 
Chứng minh EI // DC và FI // DC suy ra EI trùng FI suy ra ba điểm thẳng hàng. 
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC, các trung tuyến BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là 
trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE song song và bằng IK. 
Gợi ý :- Học sinh tự vẽ hình. 
- dựa vào dữ kiện đề bài cho + đường trung bình trong tam giác. 
Bài toán 5 : Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = DC. Gọi M là trung điểm của 
BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM. 
Gợi ý : 
Học sinh tự vẽ hình. 
Gọi O là trung điểm của DC. Đi chứng minh MO // DI. Chứng minh tiếp DI là đường trung 
bình của tam giác AMO. 
Bài toán 6 : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm 
của BD và AC. Chứng minh rằng AE = EC. 
Gợi ý : 
Học sinh tự vẽ hình. 
Gọi N là trung điểm của EC rồi chưng minh MN // ED. 
Chứng minh DE là đường trung bình của tam giác AMN. 
Bài toán 7 : Cho tam giác ABC. Vẽ đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của các cạnh 
AB và AC. Vẽ DI và EK cùng vuông góc với BC. Chứng minh rằng : 
a) DI = EK. b) IK = BC. 
Gợi ý : 
- Học sinh tự vẽ hình minh họa. 
- dựa vào đường trung bình chứng minh DI = 1/2 AH và EK = 1/2AH. 
- I là trung điểm của BH, và K là trung điểm của HC. Dựa vào đó để chứng minh. 
Bài toán 8 : Cho tam giác ABC. Điểm D, E thuộc cạnh AB sao cho AD = DE = EB. Vẽ DG và EF 
song song với BC. 
TÀI LIỆU TỰ HỌC HÌNH HỌC 8 
Mai Hoàng Sanh 4 Zalo: 0918101315 
a) Chứng minh rằng AG = GF = FC. b) Cho DG = 5cm. Tính BC. 
Gợi ý : 
Học sinh tự vẽ hình. 
a) dựa vào đường trung bình trong tam giác. 
Bài toán 9 : Cho hình thang ABCD (AB// CD). gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, 
AC, BD. Tính độ dài các đoạn thẳng EK, KI, IF biết AB = 18cm và CD = 12cm. 
Gợi ý : Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác và hình thang. 
Bài toán 10 : Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90o). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 
rằng tam giác MAD là tam giác cân. 
Gợi ý : 
Cách 1 : Gọi N là trung điểm của AD, chứng minh MN vuông góc với AD. Suy ra tam giác có 
MN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân. 
Cách 2 : gọi E là giao điểm của AM và DC. ABM = ECM suy ra AM = EM. Rồi ứng dụng tính 
chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ADE để suy ra DM = AM. 
Bài toán 11 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = a, CD = b. Trên AD lấy hai điểm E, F sao 
cho AE = EF = FD, trên BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = MN = NC. Tính độ dài các đoạn EM, 
FN theo a và b. Gợi ý : Dựa vào đường trung bình của hình thang. 
Bài toán 12 : Cho BD là đường trung tuyến của tam giác ABC. E là trung điểm của đoạn thẳng AD, 
F là trung điểm của đoạn thẳng DC, M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh BC. 
Chứng minh rằng ME // NF. 
Gợi ý : 
 ME với BD như thế nào? Tại sao? NF với BD như thế nào ? Tại sao? 
Bài toán 13 : Cho hình thang ABCD (AB //CD, AB < CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
AD, CD. Gọi I, K là giao điểm của MN với BD và AC. Chứng minh rằng : IK = (CD - AB). 
Gợi ý : 
- Học sinh tự vẽ hình. 
- Chứng minh MK là đường trung bình cuả tam giác ACD. 
- Chứng minh MI là đường trung bình của tam giác ABD. 
- IK = MK - MI. 
Bài toán 14 : Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D 
sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2KC. 
Gợi ý : 
- Học sinh tự vẽ hình mình họa. 
- Gọi N là trung điểm của AK. 
- BN là đường trung bình của tam giác ADK suy BN//DK suy ra BN//MK. 
- Đi chứng minh MK là đường trung bình của tam giác BNC suy ra K là trung điểm của NC. 
- Từ các dữ kiện trên học sinh suy ra AK = 2KC.