Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 1: Hình hộp chữ nhật

Chương 4 HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU
HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Chủ đề 1
HÌNH HỘP CHỮ NHẬT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
HÌNH HỘP CHỮ NHẬT
Hình hộp chữ nhật có tất cả sáu mặt là hình chữ nhật. (Hình 372a, b).
Hình hộp chữ nhật có mặt, đỉnh và cạnh.
Hai mặt của hình hộp chữ nhật không có cạnh chung gọi là hai mặt đối diện và thường gọi là hai mặt đáy của hình hộp chữ nhật, khi đó các mặt còn lại được gọi là các mặt bên.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có mặt là những hình vuông.
CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Hình ảnh một hình hộp chữ nhật trong không gian cho ta thấy rõ nhiều kết cấu (quan hệ) trong không gian. Đây là những tính chất cơ bản nhất của hình học không gian (hình 373).
Mỗi mặt, chẳng hạn mặt là một phần của mặt phẳng trải rộng về mọi phía.
Kí hiệu mặt phẳng là: Mặt phẳng hay gọn hơn .
Có một và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. 
Đường thẳng qua hai điểm của thì nằm 
trọn trong mặt phẳng đó (tức là mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng).
Trong không gian, hai đường thẳng và gọi là song song với nhau 
nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Ba vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt trong không gian:
Cắt nhau, nếu có một điểm chung, chẳng hạn cắt .
Song song, nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung, chẳng hạn , chúng cùng nằm trong .
Không cùng nằm trong một mặt phẳng nào, chẳng hạn và , khi đó ta nói chúng chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Chẳng hạn: .
Khi không nằm trong mà song song với một đường thẳng của mặt phẳng này, chẳng hạn , thì người ta nói song song với và kí hiệu là .
Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: chứa hai đường thẳng cắt nhau mà chứa hai đường thẳng cắt nhau , hơn nữa khi đó người ta nói song song với và kí hiệu là .
Hai vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt trong không gian:
Song song, nếu chúng không có điểm chung.
Cắt nhau, nếu chúng có một điểm chung. Khi đó chúng cắt nhau theo một đường thẳng đi qua điểm chung đó (đường thẳng này gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó).
Chẳng hạn cắt theo giao tuyến .
DIỆN TÍCH XUNG QUANH, THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Khi đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của ta nói vuông góc với mặt phẳng và kí hiệu:
. 
Nếu một đường thẳng vuông góc với một phẳng tại điểm thì nó vuông góc với mọi đường thẳng đi qua và nằm trong mặt phẳng đó.
Mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với ta nói hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau và kí hiệu:
. 
Gọi là độ dài các cạnh đáy và là chiều cao của hình hộp chữ nhật (cùng đơn vị độ dài) thì:
;
.
Thể tích của hình hộp chữ nhật: .
Đường chéo của hình hộp chữ nhật: .
VẼ HÌNH BIỂU DIỄN MỘT HÌNH HỘP CHỮ NHẬT TRONG KHÔNG GIAN
Khi vẽ hình biểu diễn một hình trong không gian ta phải đảm bảo ba yêu cầu sau:
Sự song song và tỉ số đo, bảo toàn trong không gian
Hai đường thẳng song song phải vẽ đúng.
Hai đoạn thẳng song song mà đoạn này gấp lần đoạn kia, phải vẽ đúng như thế.
Trung điểm của đoạn thẳng phải vẽ đúng.
Độ dài đoạn thẳng và góc không bảo toàn trong không gian
Góc vuông, góc nhọn, góc tù vẽ như góc nhọn hoặc góc tù.
Tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông vẽ như tam giác thường.
Hình thang vuông, hình thang cân vẽ như hình thang thường.
Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông vẽ như hình bình hành.
Dùng nét liền vẽ đoạn trông thấy, nét đứt vẽ đường bị khuất nhưng dứt khoát nét đứt không được cắt nét liền
Chú ý: Muốn vẽ hình biểu diễn một hình hộp chữ nhật trong không gian người ta dùng lưới ô vuông rồi vẽ theo các yêu cầu ở trên.
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Nhận biết một điểm thuộc một đường thẳng, thuộc một mặt phẳng.
Đường thẳng thuộc mặt phẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để nhận biết đường thuộc mặt phải sử dụng tính chất: Đường thẳng qua hai điểm của thì nằm trọn trong mặt phẳng đó (tức là mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng).
Để nhận biết điểm thuộc mặt phẳng phải sử dụng phối hợp hai tính chất: Điểm thuộc đường thẳng và đường thẳng thuộc mặt phẳng thì suy ra điểm thuộc mặt phẳng.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. là một hình hộp chữ nhật (hình 374).
Nếu là trung điểm của đoạn thì có là điểm thuộc 
đoạn hay không?
 là điểm thuộc cạnh , liệu có thể là điểm thuộc cạnh 
 hay không?
Lời giải
Câu trả lời là có. Thật vậy, vì mặt bên là hình chữ nhật có là trung điểm của đường chéo nên cũng là trung điểm của đường chéo (theo tính chất về đường chéo của hình chữ nhật). Vậy thuộc đoạn .
 không thuộc cạnh . Vì mà thuộc mặt phẳng đó.
Ví dụ 2. Xem hình 375. Hãy:
Gọi tên các mặt phẳng chứa đường thẳng .
Gọi tên mặt phẳng chứa đường thẳng nhưng chưa thấy 
rõ trên hình vẽ.
Gọi tên mặt phẳng cùng chứa các đường thẳng và .
Lời giải 
Có hai mặt phẳng chứa đường thẳng là và 
.
Ngoài mặt phẳng đáy chứa đường thẳng có thể thấy ngay thì mặt phẳng chưa thấy ngay lập tức là .
Đó là .
Ví dụ 3. Các kích thước của hình hộp chữ nhật là:
Lời giải (hình 376)
Ta thấy:
 thuộc mặt bên là hình chữ nhật nên tam giác 
 vuông ở .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , 
ta được: hay
	.
 thuộc mặt bên là hình chữ nhật nên tam giác vuông ở .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
BÀI TẬP
Cho hình hộp chữ nhật .
Điểm thuộc những mặt phẳng nào?
Gọi tên các mặt phẳng chứa đường thẳng .
Trong các hình sau hình nào gấp theo nét chấm được một hình lập phương.
Chứng minh từ một đoạn dây thép dài có thể tạo ra một cái khung hình lập phương có cạnh là .
DẠNG 2. Nhận biết đường thẳng song song với đường thẳng với mặt phẳng.
Mặt phẳng song song với mặt phẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để chứng minh hai đường thẳng song song thường sử dụng một trong hai cách sau:
Chỉ ra chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, hình chữ nhật.
Chứng tỏ chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng thường sử dụng tính chất:
. 
Để chứng minh , ta cần tìm trong hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với .
VÍ DỤ
Ví dụ 1. là một hình lập phương.
Hãy cho biết:
Những cạnh nào song song với cạnh ?
Những cạnh nào song song với cạnh ?
Lời giải (hình 378)
Các cạnh song song với .
Giải thíc: Vì là một hình lập phương theo giả thiết nên các mặt bên là các hình vuông, do đó:
	 (1) và (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Các cạnh song song với .
Giải thích: Tương tự như câu a).
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật có cạnh .
Hãy kể tên các cạnh khác song song với .
Cạnh song song với những mặt phẳng nào của hình 
hộp chữ nhật?
Đường thẳng không song song với , hãy 
chỉ ra mặt phẳng song song với đường thẳng đó.
Lời giải (hình 379)
 song song với .
; .
.
Ví dụ 3. Hãy giải thích vì sao trên hình 378 (xem ví dụ 2), .
Lời giải
Từ giả thiết là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên và là các hình chữ nhật.
Áp dụng tính chất về cạnh vào hai hình chữ nhật trên ta được:
 là tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. Do đó .
Ta có .
BÀI TẬP
Cho hình hộp chữ nhật . Các đường thẳng sau có cắt nhau không?
 và .
 và .
Cho hình hộp chữ nhật .
Cạnh cắt những cạnh nào? Trong các cạnh của hình hộp chữ nhật, có bao nhiêu cặp cạnh cắt nhau?
Cạnh song song với những cạnh nào? Trong các cạnh của hình hộp chữ nhật, có bao nhiêu cặp cạnh song song?
Cạnh chéo nhau với những cạnh nào? Trong các cạnh của hình hộp chữ nhật, có bao nhiêu cặp chéo nhau?
Cho hình hộp chữ nhật . Chứng minh rằng:
.
Trong các mặt của hình hộp chữ nhật, có bao nhiêu cặp mặt phẳng:
Song song?
Cắt nhau?
DẠNG 3. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
của hình hộp chữ nhật
PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng các công thức tính .
MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Một căn phòng dài , rộng và cao . Người ta muỗn quét vôi trần nhà và bốn bức tường. Hãy tính diện tích tường nhà cần quét vôi, biết rằng tổng diện tích các cửa là .
Lời giải
Diện tích bốn bức tường chính là: .
Diện tích trần nhà: .
Diện tích cần quét vôi: .
Ví dụ 2. Cần bao nhiêu tôn để làm một cái thùng có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao và đáy là một hình vuông có diện tích (không kể diện tích các chỗ ghép và nắp thùng).
Lời giải
Gọi diện tích tôn cần tìm là thì: .
Vì đáy thùng là hình vuông có diện tích là nên đáy có kích thước mỗi cạnh là: .
Do đó: .
Vậy: .
Ví dụ 3. Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước như trong hình 380. Người ta đục một lỗ ngay tâm của đáy có các cạnh song song với các cạnh của hình hộp chữ nhật ban đầu có kích thước và chiều sâu xuyên qua đáy đối diện. Tính diện tích mặt gỗ nếu phải sơn khối gỗ này (cả mặt ngoài và mặt trong).
Lời giải (hình 380)
Gọi diện tích các bề mặt gỗ phải sơn là .
Diện tích toàn phần khối gỗ hình hộp chữ nhật là .
Diện tích bề mặt khối hộp bị đục là .
Diện tích đáy của khối hộp bị đục là .
Khi đó .
Ta có .
.
.
Vậy .
BÀI TẬP
Người ta muốn xây bốn bức tường của một gian phòng hình hộp chữ nhật có ba kích thước là bằng các viên gạch ống có diện tích bề mặt . Hỏi phải cần bao nhiêu viên gạch? Biết diện tích các cửa là (diện tích các mạch xi măng không đáng kể).
Cần bao nhiêu tôn để làm một cái thùng có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao và đáy là một hình vuông có diện tích (không kể diện tích các chỗ ghép và nắp thùng)?
DẠNG 4. Tính thể tích của hình hộp chữ nhật, tính một yếu tố
của hình hộp chữ nhật
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng công thức tính thể tích của hình hộp, hình lập phương, đường chéo của hình hộp.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài . Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể thùng nước, mỗi thùng chứa lít thì mực nước của bể cao .
Tính chiều rộng của bể nước.
Người ta đổ thêm vào bể thùng nước nữa thì đầy bể. 
Hỏi bể cao bao nhiêu mét?
Lời giải (hình 381)
Vì lít tương ứng với nên dung tích của thùng nước, 
mỗi thùng chứa lít là:
	.
Khi đổ khối nước này vào bể ta được một hình hộp chữ nhật có các kích thước là chiều dài , chiều rộng là của bể và chiều cao của khối nước là .
Áp dụng công thức tính thể tích của hình hộp, ta được:
.
Thể tích này chính bằng dung tích của thùng nước, mỗi thùng chứa lít nước nên ta có phương trình: .
Khi đổ thêm vào bể thùng nước nữa thì thể tích của bể chính là dung tích của thùng nước là , gọi chiều cao của bể là .
Ta có:	.
Ví dụ 2. Một cái thùng hình lập phương, cạnh , có chứa nước với độ sâu của nước là . Người ta thả viên gạch có chiều dài , chiều rộng và chiều cao vào thùng. Hỏi nước trong thùng dâng cao bao nhiêu xi mét? (Giả thiết toàn bộ gạch ngập trong nước và chúng hút nước không đáng kể).
Lời giải (hình 382)
Áp dụng công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật, ta có: 
Thể tích nước trong thùng lúc đầu là:
.
Thể tích của một viên gạch là: .
Thể tích của viên gạch là: .
Theo định luật Ác si mét thì khi thả viên gạch vào thùng 
nước nó sẽ chiếm một thể tích nước đúng bằng .
Lúc đó lượng nước trong thùng có dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước là và có thể tích là: .
Như vậy ta có phương trình: .
Khi đó mực nước cách miệng thùng là: .
Ví dụ 3. Các kích thước của hình hộp chữ nhật như ở hình 383. Tính độ dài của đoạn .
Lời giải (hình 383)
Vì là hình hộp chữ nhật nên hay tam giác vuông ở , đáy là hình chữ nhật nên tam giác 
vuông ở .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào hai tam giác vuông và 
, ta được:
	 (1); (2).
Thay đẳng thức (1) vào (2) thu được:
	.
Hay .
BÀI TẬP
Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều dài , chiều rộng và độ dài đường chéo là .
Đường chéo của hình lập phương là . Tính cạnh của hình lập phương đó.
Một bể nước hình hộp chữ nhật có kích thước đáy là chưa có nước. Một vòi nước có lưu tốc lít/giờ chảy vào bể trong giờ. Hỏi mực nước trong bể cao bao nhiêu mét?
Một khối gỗ hình lập phương có cạnh . Người ta đục hai lỗ hình hộp chữ nhật đáy vuông cạnh , ngay tâm của đáy và xuyên qua đáy đối diện. Tính thể tích của khối gỗ còn lại.
Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 
. Một chiếc que dài có thể đặt lọt 
trong hộp được không?
Một khối bê tông với kích thước đã cho như hình 384. 
Biết rằng để đổ bê tông phải cần bao xi măng. 
Hãy tính số bao xi măng cần dùng để đổ khối bê tông nói trên.
DẠNG 5. Nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật 
Đường thẳng vuông góc với những mặt phẳng nào?
Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau? Vì sao?
Lời giải (hình 385)
Đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng và .
Giải thích:
Vì là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên và là các hình chữ nhật, do đó: .
Chứng minh tương tự, ta có: .
Vì là hình hộp chữ nhật nên mặt bên và mặt đáy là các hình chữ nhật, do đó:
	(1)
Lại có .	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: .
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật có là hình vuông. Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh rằng:
 là hình chữ nhật.
.
Các mặt phẳng vuông góc với nhau.
Lời giải (hình 386)
Từ giả thiết là hình hộp chữ nhật nên các 
mặt bên và là các hình chữ nhật, do đó:
.
Mặt khác đường chéo và đi qua , nên:
	.
Chứng minh tương tự như trên, ta cũng được: .
Điều này chứng tỏ tứ giác có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Chứng minh tương tự như câu a) ta được tứ giác là hình chữ nhật.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào các hình vuông ta được là trung điểm của và là trung điểm của nên là đường trung bình các hình chữ nhật và .
Do đó: .
 Suy ra vuông góc với các đẳng thẳng nên .
Áp dụng tính chất về đường chéo vào các hình vuông ta được , ta lại có theo câu a) nên.
Mà suy ra các mặt phẳng vuông góc với nhau.
BÀI TẬP
Cho hình hộp chữ nhật .
Cạnh vuông góc với những cạnh nào của hình hộp chữ nhật?
Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau, vì sao?
Chủ đề 2
HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.	HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
1.	Hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là 
những hình chữ nhật.
	(Hình 387 là hình lăng trụ đứng tứ giác).
2.	Các mặt phẳng chứa đáy của hình lăng trụ đứng là các mặt phẳng 
song song, các mặt bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy, các cạnh bên 
vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài một cạnh bên gọi là chiều cao.
3.	Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng.
Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là những hình chữ nhật.
II.	DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
 ( là nửa chu vi đáy, là chiều cao).
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
 .
III. 	THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
	 ( là diện tích đáy, là chiều cao).
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Tìm số cạnh, số mặt, số đỉnh, các yếu tố song song,
vuông góc trong hình lăng trụ đứng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Hai đáy là các mặt phẳng song song, các mặt bên là các hình chữ nhật.
Các mặt bên vuông góc với đáy, các cạnh bên vuông góc với đáy.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Hãy cho biết:
Một lăng trụ đứng có mặt thì đáy của lăng trụ đó là hình gì?
Một lăng trụ đứng có mặt thì đáy của lăng trụ đó là hình gì?
Lời giải 
Từ khái niệm hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật nên hình lăng trụ đứng có đáy là - giác thì nó có số mặt là .
Một lăng trụ đứng có mặt thì ta có phương trình: .
Điều này chứng tỏ đáy của lăng trụ đó là tứ giác.
Một lăng trụ đứng có mặt thì ta có phương trình: .
Điều này chứng tỏ đáy của hình lăng trụ đó là lục giác.
Ví dụ 2. là một lăng trụ đứng tứ giác.
Những cặp mặt nào song song với nhau? 
Những cặp mặt nào vuông góc với nhau?
Lời giải (hình 388)
 và 
 vuông góc với các mặt phẳng:
.
	 vuông góc với các mặt phẳng:
	.
BÀI TẬP
Gọi số cạnh của một đáy, số mặt, số đỉnh, số cạnh của một hình lăng trụ đứng lần lượt là: và .
Hãy viết hệ thức liên hệ giữa .
Hình lăng trụ đứng có đỉnh thì có bao nhiêu mặt, bao nhiêu cạnh?
Có hình lăng trụ đứng nào có đỉnh hay không? Vì sao?
Tính số mặt , số đỉnh , số cạnh và của mỗi hình sau:
Hình hộp chữ nhật.
Hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác.
 là một hình hộp đứng.
Tìm các cạnh của hình hộp song song với .
Tìm các cạnh của hình hộp vuông góc với .
Tìm mặt phẳng song song với .
Tìm mặt phẳng vuông góc với .
DẠNG 2. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần,
tính một yếu tố của hình lăng trụ đứng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng công thức tính của hình lăng trụ đứng.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các lăng trụ dưới đây.
Lời giải (hình 389a – b).
Xét hình lăng trụ đứng tứ giác (hình 389a):
	;	.
Xét hình lăng trụ đứng tam giác (hình 389b):
Trước hết ta đi tính cạnh .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
	.
	.
Ví dụ 2. Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng , biết rằng đáy là hình thoi có các đường chéo và diện tích toàn phần bằng .
Lời giải (hình 390)
Áp dụng công thức hay
	.
Vì đáy là hình thoi nên vuông góc với tại 
(tính chất về đường chéo của hình thoi).
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Chu vi đáy là .
Áp dụng công thức ta có phương trình:
	.
BÀI TẬP
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một tủ tường hình lăng trụ đứng có chiều cao , đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền .
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của 
hình lăng trụ đứng có chiều cao , đáy là hình thoi với 
các đường chéo bằng và .
Hãy tính tiền dùng để sơn các bề mặt của khối gỗ có các 
kích thước như ở hình 391. Biết rằng đề sơn phải tốn .
DẠNG 3. Tính thể tích, tính các yếu tố của hình lăng trụ đứng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Các hình 390 – a, b, c gồm một hoặc nhiều lăng trụ đứng. Hãy tính thể tích của chúng với các kích thước đã cho trên hình.
Lời giải (hình 392a, b, c)
Áp dụng công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng: .
Lăng trụ đứng ở hình 392a có chiều cao , đáy là tam giác vuông nên . Vậy .
Lăng trụ đứng ở hình 392b có chiều cao , đáy là tam giác có ba cạnh là thoả mãn hệ thức: nên nó là tam giác vuông (theo định lí Py-ta-go).
Tính tương tự như câu a) ta được .
Hình 392c gồm hai lăng trụ đứng cùng có chiều cao là , một hình có đáy là hình chữ nhật có các kích thước là , một hình có đáy là hình vuông có cạnh là , nên . Vậy .
Ví dụ 2. Một trại hè có dạng hình lăng trụ đứng đáy tam giác (hình 393), thể tích phần không gian bên trong là . Biết chiều dài của lều là , chiều rộng của lều là . Tính chiều cao của lều.
Lời giải
Áp dụng công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng: .
Ta có , vậy .
Do đó .
Vì theo giả thiết nên ta có phương trình:
	.
BÀI TẬP
Tính thể tích của một tủ tường hình lăng trụ đứng có 
chiều cao , đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 
.
Tính thể tích của bốn tấm hình lăng trụ đứng có chiều 
cao , đáy là hình thang cân, biết ;
 (hình 394).
 là lăng trụ đứng có chiều cao , đáy là tam giác vuông ở có . Tính độ dài , biết thể tích của lăng trụ bằng .
 là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, là trung điểm của . Biết . Hãy tính:
Độ dài cạnh đáy.
Thể tích của lăng trụ.
DẠNG 4. Tìm các yếu tố song song, vuông góc trong hình lăng trụ đứng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Hai đáy là các mặt phẳng song song, các mặt bên là các hình chữ nhật.
Các mặt bên, các cạnh bên vuông góc với đáy.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho là lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông. Hãy kể tên:
Các cạnh song song với .
Cạnh song song với .
Các đường thẳng song song với .
Các đường thẳng song song với .
Lời giải (hình 395)
Các cạnh song song với cạnh là .
Cạnh song song với cạnh là .
Các đường thẳng song song với là và .
Các đường thẳng song song với là .
Ví dụ 2. Cho là một lăng trụ đứng tam giác có ;
. Hãy tìm các cạnh vuông góc với cạnh , 
các mặt vuông góc với .
Lời giải (hình 396)
Vì hay nên tam giác vuông tại .
Các cạnh vuông góc với cạnh là:
	 và .
Giải thích: Vì .
Các mặt vuông góc với là:
	.
BÀI TẬP 
Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông . Hãy kể tên:
Các cánh song song với cạnh .
Cạnh vuông góc với cạnh .
Các cạnh song song với .
Các cạnh vuông góc với .
Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi. Hãy tìm:
Các cạnh song song với cạnh .
Các mặt song song với cạnh .
Các cạnh của lăng trụ và đường chéo của mặt đáy vuông góc với .
Các mặt vuông góc với cạnh .
Tính thể tích của hình lăng trụ đó, biết .
HÌNH CHÓP ĐỀU
Chủ đề 3
HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. 	HÌNH CHÓP
Hình chóp có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung đỉnh.
Trên hình 397, ta có hình chóp , là đỉnh, và là đường cao của hình chóp.
II.	HÌNH CHÓP ĐỀU
Là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều và các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh (là đỉnh của hình chóp).
Trên hình 398 ta có hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông, 
các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
Chân đường cao là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.
Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp được gọi là trung 
đoạn của hình chóp đó.
III.	HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy (hình 399). 
Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình 
chóp gọi là hình chóp cụt.
Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.
DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn: ( là nửa chu vi đáy, là trung đoạn của hình chóp đều).
Diện tích toàn phần của hình chóp đều bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy: .
THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU
 ( là diện tích đáy, là chiều cao).
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, tính một
yếu tổ của hình chóp đều
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng công thức tính của hình chóp đều.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên bằng , đáy là hình vuông cạnh . Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Lời giải (hình 400)
Gọi là trung điểm của thì là đường cao của mặt bên (vì tam giác cân ở ).
Áp dụng công thức: .
Ta có	.
	 với .
Ta còn phải tính trung đoạn .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay 
	.
Do đó . Vậy .
Ví dụ 2. Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng .
Lời giải (hình 401)
Xét hình chóp có .
Gọi là trung điểm của thì vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều nên và .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay 
	.
Do đó .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Áp dụng công thức .
Ta có .
Vậy .
BÀI TẬP
Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều có chiều cao , độ dài cạnh đáy .
Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng , các mặt bên là những tam giác vuông.
Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có chiều cao bằng , độ dài cạnh đáy bằng .
DẠNG 2. Tính thể tích, tính một yếu tố của hình chóp tứ giác đều
PHƯƠNG PHÁP
Thường sử dụng các kết quả sau:
KQ 1: Cạnh của hình vuông bằng thì diện tích hình vuông đó bằng .
KQ 2: Cạnh của hình vuông bằng thì đường chéo của hình vuông là .
KQ 3: Đường chéo của hình vuông là thì diện tích hình vuông đó bằng .
MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao , cạnh bên .
Lời giải (hình 402)
Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp:
Theo giả thiết .
Ta còn phải tính .
Vì là đường cao của chóp đều nên . 
Hay tam giác vuông ở .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
 hay .
Suy ra .
Áp dụng KQ 2, ta được: .
Vậy .
Ví dụ 2. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh 
đáy , trung đoạn .
Lời giải (hình 403)
Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp:
	.
Theo giả thiết cạnh đáy nên áp dụng KQ 1, ta được:
	.
Trên , qua là trung điểm của kẻ thì , suy ra là đường trung bình của tam giác nên .
Vì là đường cao của chóp đều nên hay tam giác vuông ở .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Vậy .
BÀI TẬP
Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , các cạnh bên bằng .
Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng , trung đoạn bằng .
Một hình chóp tứ giác đều có thể tích , chiều cao . Tính độ dài cạnh đáy.
DẠNG 3. Tính thể tích, tính một yếu tố của hình chóp
tam giác đều, lục giác đều
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Thường sử dụng bốn kết quả sau:
KQ 1: Tam giác đều có đường cao thì vừa là đường trung tuyến vừa là trung trực nên trực tâm vừa là trọng tâm, tâm vòng tròn ngoại tiếp của tam giác. Do đó .
KQ 2: Tam giác đều cạnh có chiều cao là .
KQ 3: Tam giác đều cạnh có diện tích là .
KQ 4: Lục giác đều cạnh có diện tích bằng lần diện tích tam giác đều cạnh , tức là .
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , các cạnh bên bằng .
Lời giải (hình 404)
Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp: 
Theo giả thiết cạnh đáy của tam giác đều là 
nên áp dụng KQ 2 và KQ 3, ta có: ,
.
Kẻ đường cao của chóp đều áp dụng KQ 2, ta có:
	.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Vậy .
Ví dụ 2. Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .
Lời giải (hình 405)
Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp:
	.
Theo giả thiết cạnh đáy của tam giác đều là: 
nên áp dụng KQ 2 và KQ , ta có:
	.
Kẻ đường cao của chóp đều và áp dụng KQ 2, ta có:
	.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Vậy .
BÀI TẬP
Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .
Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , các cạnh bên bằng .
Tính thể tích của hình chóp lục giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng .
LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
Chủ đề 1
Học sinh tự vẽ hình.
Vì .
Chứng minh tương tự, ta cũng được: .
Có hai mặt phẳng chứa đường thẳng là và .
Các hình 377 a, b, c, e gấp được thành hình lập phương.
Hình d) không gấp được hình lập phương.
Trước hết gấp đoạn dây thép thành khúc (mỗi khúc theo số thứ tự như trên hình 406 a, b).
Gấp tiếp đoạn dây thép còn lại thành khúc như trên hình 406b) với chú ý rằng có ba đoạn được gấp hai lần tức là:
	Đoạn chồng lên , chồng lên và chồng lên .
(hình 407)
 cắt .
Giải thích:
 (vì cùng song song và bằng ) nên tứ giác 	
 là hình bình hành, do đó hai đường chéo cắt .
 không cắt .
(hình 408)
Cạnh cắt bốn cạnh là .
Tại mỗi đỉnh có ba cặp cạnh cắt nhau nên với đỉnh ta có 
 cặp cạnh cắt nhau.
Cạnh song song với ba cạnh .
Mỗi cạnh song song với ba cạnh khác. Có cạnh nên 
 cặp cạnh song song.
Nhưng như thế mỗi cặp được tính hai lần nên số cặp song 
song là .
Cạnh chéo nhau với bốn cạnh . Mỗi cạnh chéo nhau với bốn cạnh khác.
Có cạnh nên có cặp cạnh chéo nhau.
Nhưng như thế mỗi cặp được tính hai lần nên số cặp cạnh chéo nhau là:
	.
(hình 409) (vì cùng song song và bằng ) 
nên tứ giác là hình bình hành, do đó .
Suy ra .
Chứng minh tương tự: .
Hai đường thẳng và cắt nhau và cùng song song với , 
suy ra .
Có ba cặp mặt phẳng song song.
Có cặp mặt cắt nhau theo cạnh của hình hộp chữ nhật.
Diện tích cần xây bốn bức tường của gian phòng chính là diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật có ba kích thước là trừ đi diện tích các cửa sổ là .
Diện tích đó bằng: .
Vì mỗi viên gạch ống có diện tích bề mặt là , nên cần có
	.
Điều này chứng tỏ phải tốn ít nhất viên gạch.
Hình vuông đáy có cạnh là .
Diện tích xung quanh của thùng: .
Diện tích tôn cần tìm là: .
Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là thì .
Áp dụng công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật, ta được:
	.
Áp dụng công thức tính đường chéo của hình hộp chữ nhật, ta được:
	 hay .
Vậy .
Gọi cạnh của hình lập phương là .
Áp dụng công thức tính đường chéo của hình hộp chữ nhật, ta được:
	 hay .
Lượng nước mà vòi có lưu tốc lít/giờ hay / giờ trong giờ có dung tích là: .
Khi chảy vào trong bể khối nước này có dạng hình hộp chữ nhật có hai kích thước là: , nên có thể tích: .
Thể tích này đúng bằng khối nước chảy vào bể nên ta có phương trình:
	.
Trước hết, ta có thể tích của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh , chiều cao là cạnh của hình lập phương bằng : .
Thể tích của khối lập phương cạnh bằng là: .
Như vậy thể tích của khối gỗ còn lại là:
	.
Giải thích: Sở dĩ phải cộng thêm một thể tích của một hình lập phương cạnh , vì khi đục hai lỗ xuyên qua nhau thì hình lập phương cạnh là phần chung của hai khối hộp chữ nhật đó.
Câu trả lời là không.
Giải thích: Gọi đường chéo của hình hộp chữ nhật là thì chiếc que dài đặt lọt vào trong hộp khi . Điều này là không thể vì áp dụng công thức tính đường chéo của hình hộp chữ nhật, ta được:
	 hay .
(hình 410) Khối bê tông trên hình vẽ hợp bởi ba khối hộp chữ nhật có các kích thước: và nên có thể tích lần lượt là: 
 và .
Do đó thể tích của khối bê tông là:
	.
Vậy số bao xi măng cần dùng là: (bao).
(hình 411) 
Cạnh vuông góc với bốn cạnh là .
Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau vì là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên và là các hình chữ nhật, do đó:
.
Mặt khác nên .
Chủ đề 2
Vì hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật nên hình lăng trụ đứng có đáy là - giác thì nó có
Số mặt là: 
Số đỉnh là: .
Số cạnh là: .
Do đó ta có hệ thức: .
Với hình lăng trụ đứng có đỉnh, ta có: .
Điều này chứng tỏ số cạnh của mặt đáy là nên .
Câu trả lời là không.
Giải thích: Giả sử tồn tại hình lăng trụ đứng có đỉnh khi đó phương trình phải có nghiệm nguyên dương. Điều này không thể xảy ra vì vế phải là một số chẵn còn vế phải là một số lẻ nên điều giả sử ở trên là sai.
Vậy không tồn tại hình lăng trụ đứng có đỉnh.
Áp dụng kết quả của câu a): và ta có
Hình hộp chữ nhật có nên .
Hình lăng trụ đứng lục giác có nên .
(hình 412)
Ba cạnh của hình hộp song song với cạnh .
Bốn cạnh của hình hộp vuông góc với .
 song song với .
Bốn mặt phẳng và 
của hình hộp vuông góc với .
(hình 413) Gọi cạnh góc vuông của đáy là .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông cân này ta được: 
.
Chu vi đáy gần bằng .
Diện tích xung quanh gần bằng: .
Diện tích toàn phần gần bằng: .
(hình 414) Xét hình lăng trụ đứng có chiều cao.
Áp dụng công thức tính diệ