Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 10: Hình vuông

Chủ đề 10
HÌNH VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.	Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng 
nhau (hình 97).
Tứ giác là hình vuông .
Từ định nghĩa hình vuông suy ra hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
2.	Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
3.	Dấu hiệu nhận biết
Ba dấu hiệu từ hình chữ nhật:
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác thì nó là hình vuông.
Hai dấu hiệu từ hình thoi: 
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Nhận xét: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.
4.	Cách vẽ hình vuông
Có năm cách vẽ hình vuông, nhưng hay dùng hai cách sau:
Cách 1 (hình 98a): Vẽ một đường chéo, dựng đường trung trực của đường chéo đó. Lấy trung điểm vừa dựng làm tâm vẽ đường tròn có đường kính bằng đường chéo vừa vẽ, nó cắt đường trung trực tại hai điểm ta được đường chéo thứ hai.
Cách 2 (hình 98b): Sử dụng lưới ô vuông để vẽ tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Lưu ý:
Cách 1 chứng minh được là hình vuông.
Cách 2 không chứng minh được là nhận được hình vuông, chỉ là ảnh hình vuông.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Nhận dạng hình vuông
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.
Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.
II. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình 99, tứ giác là hình gì? Vì sao? 
Lời giải
Tứ giác là hình vuông.
Giải thích:
Theo hình vẽ thì . Tứ giác có ba góc 
vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật có 
là đường phân giác của góc nên nó là hình vuông.
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật có . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và .
a)	Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b)	Tứ giác là hình gì? Vì sao?
Lời giải (hình 100)
Đặt thì .
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật , 
ta được .
a)	Tứ giác là hình vuông.
Giải thích: Vì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên nó 
là hình thoi.
Hình thoi có nên nó là hình vuông.
b)	Tứ giác là hình vuông.
Giải thích:
Chứng minh tương tự như câu a) ta cũng có tứ giác là hình vuông.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông và , ta được:
	.
Tứ giác có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật lại có là đường phân giác của góc nên nó là hình vuông.
Ví dụ 3. Cho hình vuông . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho . Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông.
Lời giải (hình 101)
Gọi độ dài cạnh hình vuông là và .
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông , ta được:
 và , nên bốn tam giác vuông bằng nhau trường hợp (c-g-c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là . Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác ta được:
	(1) 
Lại có góc là góc bẹt hay
	(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Điều này chứng tỏ hình thoi có một góc vuông nên nó là hình vuông.
III. BÀI TẬP
1.	Nêu các tính chất về đường chéo của hình vuông. Chỉ rõ tính chất nào có ở hình bình hành, ở hình chữ nhật, ở hình thoi.
2.	Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và hai đường chéo vuông góc có phải là hình vuông không? Nếu không hãy sửa lại một dấu hiệu để tứ giác là hình vuông.
3.	Các câu sau đúng hay sai?
a)	Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
b)	Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
c)	Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
d)	Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
4.	Cho tam giác vuông cân tại . Trên cạnh lấy hai điểm sao cho . Qua và kẻ các đường vuông góc với , chúng cắt lần lượt ở và . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
5.	Cho một hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.
6.	Cho hình vuông . Trên lấy điểm , trên tia đối của tia lấy điểm , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Vẽ hình vuông , thuộc cạnh . Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông.
DẠNG 2. Sử dụng định nghĩa, tính chất của hình vuông để
chứng minh các quan hệ bằng nhau, song song,
vuông góc, thẳng hàng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định nghĩa, tính chất và bổ đề về hình vuông.
II. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình vuông . Trên cạnh lấy điểm , trên cạnh lấy điểm sao cho và .
Lời giải (hình 102)
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông , ta được: 
 (c.g.c), nên .
Gọi là giao diểm của và .
Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông và kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta được:
	(1)
Áp dụng tính chất về góc vào tam giác ta có 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra hay .
Ví dụ 2. Bổ đề về hình vuông
Cho hình vuông . Nếu các điểm lần lượt nằm 
trên các đường thẳng và thì .
Lời giải (hình 103)
Ta cần chứng minh bài toán đúng với các điểm nằm trên các 
cạnh (các trường hợp còn lại chứng minh tương tự).
Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ đến hai cạnh 
 và thứ tự là giao điểm của với với .
Áp dụng định nghĩa vào hình vuông và tính chất góc đồng vị của , ta được .
Các tứ giác và là các tứ giác có ba góc vuông nên chúng là các hình chữ nhật.
a)	.
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hai hình chữ nhật và hình vuông ta được:
	 (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông).
Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác bằng nhau ở trên và tính chất của hai góc đối đỉnh ta có
 (vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng bằng nhau).
Vậy vuông góc với tại .
b)	.
Xét hai tam giác và có vì đối đỉnh, suy ra (1) vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.
Lại có (2) theo câu a).
Từ (1) và (2) suy ra (c-g-c) nên .
Ví dụ 3. Cho hình vuông cạnh . Trên hai cạnh lấy hai điểm sao cho , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Hãy tính:
a)	Số đo góc .
b)	Chu vi tam giác theo .
Lời giải (hình 104)
a)	Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông , 
ta được 
 (c-g-c).
Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có:
.
b)	Đặt thì .
Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a) và giả thiết, ta được:
	 (c-g-c) suy ra .
Vậy chu vi tam giác bằng .
Ví dụ 2. Cho hình vuông . Trên cạnh lấy điểm , qua kẻ (điểm thuộc tia đối của tia ). Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng:
a)	.
b)	Ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
a)	Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông , ta được:
 (c-g-c).
Do đó .
b)	Cách 1 (hình 105a): Nối thì và lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông .
Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên và định nghĩa hình vuông ta được .
Điều này chứng tỏ hai điểm và cách đều hai điểm và nên là đường trung trực của đoạn . Mặt khác theo tính chất về đường chéo của hình vuông thì là trung trực của mà đoạn thì chỉ có một đường trung trực nên trùng với hay thẳng hàng.
Cách 2 (hình 101): Qua kẻ 	(1) (điểm ) suy ra (2).
Lại có (3) theo giả thiết. Từ (2) và (3) suy ra (4) 
theo định lí đường trung bình.
Từ (3) và (4) ta có là đường trung bình của tam giác .
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác ta được 
 (5). 
Từ (1) và (5) suy ra thẳng hàng, vì từ điểm ở ngoài đường 
thẳng chỉ kẻ được một đường thẳng song song với .
Cách 3: Qua kẻ (1) (điểm ) thì (2) do đồng vị.
Mà là đường chéo của hình vuông nên là đường phân giác của hai góc vuông và do đó (3).
Từ (2) và (3) ta có (4) vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau.
Kết hợp (1) với (4) ta được tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành , ta được đường chéo đi qua trung điểm của đường chéo nên đi qua .
Điều đó chứng tỏ thẳng hàng.
III. BÀI TẬP
7.	Cho hình vuông cạnh . Gọi là một điểm nằm giữa và . Tia phân giác của góc cắt ở . Kẻ cắt ở .
a)	Tính độ dài .
b)	Tính số đo góc .
8.	Cho hình vuông . Gọi lần lượt là trung điểm của và là giao điểm của . Chứng minh rằng:
a)	;	b) .
9.	Cho một hình vuông cạnh dài . Vẽ hình vuông thứ hai nhận đường chéo của hình vuông đã cho làm cạnh. Tính độ dài đường chéo của hình vuông này.
10.	Cho hình vuông . Trên tia đối của tia lấy điểm , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Vẽ hình bình hành , gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng:
a) 	Tứ giác là hình vuông.
b)	 thuộc tia phân giác của góc .
c)	.
d)	Tứ giác là hình thang.
DẠNG 3. Tìm điều kiện để một hình trở thành hình vuông
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình vuông.
Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm vị trí của một điểm nào đó để một hình trở thành hình vuông ta làm như sau: Giả sử hình đó là hình vuông rồi dựa vào các tính chất của hình vuông để chỉ ra vị trí cần tìm.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác là điểm nằm giữa và . Qua kẻ các đường thẳng song song với và , chúng cắt các cạnh và thứ tự ở và .
Tứ giác là hình gì? Vì sao?
Điểm ở vị trí nào trên cạnh thì tứ giác là hình thoi?
Nếu tam giác vuông tại thì tứ giác là hình gì? Điểm ở vị trí nào trên cạnh thì tứ giác là hình vuông?
Lời giải (hình 106)
Tứ giác là hình bình hành. 
Giải thích: Từ giả thiết .
Tứ giác có các cạnh đối song song nên nó 
là hình bình hành.
Giả sử là hình thoi khi đó theo tính chất 
vẽ đường chéo của hình thoi thì là đường phân giác của góc .
Vậy nếu là giao điểm của tia phân giác góc với cạnh thì tứ giác là hình thoi.
Nếu tam giác vuông tại thì hình bình hành là hình chữ nhật. Nếu tam giác vuông tại và là giao điểm của tia phân giác góc với cạnh thì vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên nó là hình vuông.
Ví dụ 2. Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và . Hai đường chéo và phải thoả mãn những điều kiện nào để là bốn đỉnh của:
Hình chữ nhật?	b) Hình thoi?	c) Hình vuông?
Lời giải (hình 107)
Trước hết ta chứng minh tứ giác là hình bình hành (xem Ví dụ 1, Dạng 1, Chủ đề 5)
 là hình chữ nhật 
 (vì .
Điều kiện cần tìm là hai đường chéo vuông góc với nhau. 
 là hình thoi 
 (vì )
Điều kiện cần tìm là các đường chéo và bằng nhau.
 là hình vuông .
Điều kiện cần tìm là các đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
III. BÀI TẬP
11. 	Cho tam giác cân tại , đường trung tuyến . Gọi là trung điểm của là điểm đối xứng với qua điểm .
a) 	Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b)	Tứ giác là hình gì? Vì sao?
c)	Tìm điều kiện của tam giác để tứ giác là hình vuông.
12.	Cho hình thoi , gọi là giao điểm của hai đường chéo. Qua vẽ đường thẳng song song với , qua vẽ đường thẳng song song với , hai đường thẳng này cắt nhau ở .
a) 	Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b)	Chứng minh .
c)	Tìm điều kiện của hình thoi để tứ giác là hình vuông.
13.	Cho hình bình hành có và . Gọi thứ tự là trung điểm của .
a) 	Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b)	Tứ giác là hình gì? Vì sao?
c)	Tính số đo của góc .