Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 11: Tam giác đồng dạng. Định lí Ta-lét trong tam giác

CHỦ ĐỀ 11.TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG.ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.	Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng đơn vị đo (tỉ số này không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo).
2.	Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng và gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng và nếu có tỉ lệ thức hay .
3.	Định lí Ta-lét trong tam giác
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và 
cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn 
thẳng tương tứng tỉ lệ.
	.
4.	Nhớ lại tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a)	Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số .
b)	Tính chất
Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Nếu thì .
Tính chất 2: Nếu và thì ta có bốn tỉ lệ thức sau:
	.
c)	Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Từ dãy tỉ số bằng nhau , suy ra .
5.	Từ định lí Ta-lét ta thu được kinh nghiệm thứ năm
Cứ nói đến tỉ số của hai đoạn thẳng phải nghĩ đến định lí Ta-lét, ta cứ nói đến định lí Ta-lét phải nghĩ đến đường thẳng song song.
Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán đề cập đến tỉ số của hai đoạn thẳng mà phải vẽ thêm đường phụ, ta vẽ thêm đường thẳng song song để sử dụng định lí Ta-lét.
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.
2.	Một điểm thuộc đoạn thẳng (hoặc đường thẳng ), được gọi là chia đoạn thẳng theo tỉ số ( là các số dương), nếu ta có: .
3.	Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học:
Nếu ta có: thì (với )
4.	Lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Điểm thuộc đoạn thẳng và chia theo tỉ số . Hãy tính các tỉ số: .
Lời giải (hình 260)
Vì chia đoạn theo tỉ số nên: 
	 với .
Do đó . Vậy .
Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng .
a)	Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho . Tính độ dài .
b)	Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Tính độ dài .
Lời giải (hình 261)
a)	Cách 1: Từ giả thiết:
	 với ;
Nên . Vậy .
Cách 2: Từ giả thiết .
Vậy .
Cách 3: Đặt thì .
Từ giả thiết và tính chất cơ bản của tỉ lệ thức ta có hay
	.
b)	Từ giả thiết .
Mặt khác thuộc tia đối của tia nên .
Do đó , suy ra .
Vậy .
Ví dụ 3. Đoạn thẳng được chia thành các đoạn thẳng liên tiếp và lần lượt tỉ lệ với và .
a)	Tính độ dài mỗi đoạn thẳng đó.
b)	Chứng minh rằng hai điểm và chia đoạn theo cùng một tỉ số và tính .
c)	Còn hai điểm nào chia đoạn thẳng nào theo cùng một tỉ số nữa không?
Lời giải
a)	Từ giả thiết và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
	.
Vậy .
b)	Từ câu a) ta có .
Điều này chứng tỏ và chia đoạn theo cùng một tỉ số .
c)	Vì ;
Nên còn hai điểm và chia đoạn theo cùng một tỉ số .
III. BÀI TẬP
1.	Một điểm thuộc đoạn chia theo tỉ số . Hãy tính các tỉ số .
2.	Cho đoạn thẳng . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Tính .
3.	Hãy chia đoạn thẳng dài thành ba phần sao cho .
DẠNG 2.Tính độ dài đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Tính độ dài đoạn thẳng:
Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.
Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.
2.	Trong bốn đoạn thẳng tỉ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tự khi biết độ dài của ba đoạn kia:
Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc.
Dựng đường thẳng song song để xác định đoạn thẳng thứ tư.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính trong các trường hợp sau (h. 262), biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là .
Lời giải (hình 262)
a)	Áp dụng định lí Ta-lét vào có , ta được:
	 hay .
b)	Áp dụng định lí Ta-lét vào có , ta được:
	 hay .
Ví dụ 2. Tính trên hình 263.
Lời giải (hình 263).
Áp dụng định lí Ta-lét vào có , ta được: 
 hay .
Ví dụ 3. Cho ba đoạn thẳng có độ dài là (cùng đơn vị đo). Hãy dựng đoạn thẳng có độ dài sao cho .
Lời giải (hình 264)
Vẽ góc bất kì.
Trên tia đặt các đoạn .
Trên tia đặt .
Vẽ thì là đoạn thẳng cần dựng.
Thật vậy, áp dụng định lí Ta-lét vào có , ta được:
	 hay .
III. BÀI TẬP
5.	Trên một cạnh của một góc đỉnh , đặt liên tiếp các đoạn thẳng . Trên cạnh thứ hai đặt đoạn , qua vẽ đường thẳng song song với cắt cạnh thứ hai ở . Tính độ dài của .
6.	Cho hình thang . Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên và lần lượt ở và . Tính , biết .
DẠNG 3. Chứng minh các hệ thức hình học
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
2.	Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.
3.	Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng theo vế các đẳng thức hình học.
II. 	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình thang . Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên và theo thứ tự ở và . Chứng minh rằng:
a)	b) .
Lời giải (hình 265)
a)	Gọi là giao điểm của đường chéo với .
Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác và 
có , ta được:
	 (1); (2).
Từ (1) và (2) suy ra: .
b)	Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác và ta có ta được 
	 (3); (4).
Cộng theo vế các đẳng thức (3) và (4), thu được:
	.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành có lần lượt là trung điểm của và . Gọi thứ tự là giao điểm của và với đường chéo . Chứng minh rằng: .
Lời giải (hình 266)
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành , 
ta được:
	.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên 
nó là hình bình hành, do đó , suy ra 
.
Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác và có , ta được: 
	 (1).
	 (2)
Từ (1) và (2) ta có: .
III. BÀI TẬP
7.	Cho tam giác . Một đường thẳng song song với cắt các cạnh lần lượt ở và . Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt ở . Chứng minh rằng .
8.	Cho tam giác . Qua là một điểm bất kì trên cạnh , kẻ các đường thẳng song song với và chúng cắt lần lượt ở và . Chứng minh rằng .
9.	Cho tam giác , đường phân giác . Qua điểm là trung điểm của kẻ đường thẳng song song với , cắt và lần lượt ở và . Chứng minh rằng:
a)	b) .
10.	Cho tam giác có trung tuyến . Một đường thẳng song song với cắt ở và ở . Chứng minh rằng .
DẠNG 4*. Vẽ thêm đường thẳng song song để tính tỉ số hai đoạn thẳng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Vẽ thêm đường thẳng song song.
2.	Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.
3.	Áp dụng định lí Ta-lét.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Điểm thuộc đoạn sao cho . Gọi là giao điểm của và . Tính tỉ số .
Lời giải (hình 267)
Kẻ thêm thì .
Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác có , ta được: 
	 (với ).
Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác có , ta được:
Vậy .
Ví dụ 2. Cho tam giác . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Trên đoạn lấy điểm sao cho . Gọi là giao điểm của và . Tính tỉ số .
Lời giải (hình 268)
Kẻ thêm thì .
Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác có , ta được: 
	 (với );
Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác có , ta được:
	. Vậy .
III.	BÀI TẬP
11.	Cho tam giác , trung tuyến . Gọi là trung điểm của và là giao điểm của với . Tính tỉ số .
12.	Cho tam giác , trung tuyến . Trên đoạn lấy điểm sao cho , gọi là giao điểm của và . Tính tỉ số .