Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 13: Tính chất đường phân giác trong tam giác

CHỦ ĐỀ 13.TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.
	 hay . 
Chú ý: Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác.
	.
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.
Áp dụng định lí Py-ta-go.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác có và . Tia phân giác của góc cắt cạnh ở . Tính các đoạn .
Lời giải (hình 286)
Áp dụng tính chất của đường phân giác vào tam giác 
và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
	, 
Hay .
II. 	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác vuông ở , đường phân giác . Tính biết và .
Lời giải (hình 287)
Áp dụng tính chất của đường phân giác vào tam giác , ta được:
	 (với ). 
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay 
	 (vì ).
Vậy .
Ví dụ 3. Cho tam giác có . Tia phân giác của góc ngoài tại cắt đường thẳng ở . Tính độ dài .
Lời giải (hình 288)
Áp dụng tính chất của đường phân giác ngoài vào tam giác , ta được:
	.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 
Vậy .
III.	BÀI TẬP
1.	Cho tam giác vuông ở , đường phân giác . Tính độ dài biết .
2.	Cho tam giác có , đường phân giác . Tính các độ dài .
3.	Cho tam giác vuông ở , đường phân giác . Tính độ dài , biết .
4.	Cho tam giác vuông tại , đường cao có . Tia phân giác của góc cắt ở , tia phân giác của góc cắt ở . Tính độ dài của các đoạn và .
DẠNG 2.Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.
Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.
II. 	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác với đường trung tuyến . Tia phân giác của góc cắt cạnh ở , tia phân giác của góc cắt các cạnh ở . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 289)
Từ giả thiết là trung tuyến, đặt .
Áp dụng tính chất của đường phân giác và vào hai tam giác 
 và , ta được:
	.
Điều này chứng tỏ đường thẳng cắt hai cạnh và của tam 
giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên (theo định lí Ta-lét đảo).
Ví dụ 2. 
a)	Cho tam giác với đường trung tuyến và phân giác . Tính diện tích tam giác biết .
b)	Cho . Hỏi diện tích tam giác chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ?
Lời giải (hình 290)
a)	Ta có hay 
(vì chung chiều cao kẻ từ đến , với ).
Ta còn phải tính tỉ số .
Áp dụng tính chất của đường phân giác vào tam giác , 
ta được:
	 (với ).
Do đó , nên: .
.
Suy ra tỉ số .
Vậy .
b)	Với thì .
Điều này chứng tỏ diện tích tam giác chiếm diện tích tam giác .
Ví dụ 3. Cho tam giác , các đường phân giác và . Biết . Tính các cạnh của tam giác , biết chu vi tam giác bằng .
Lời giải (hình 291)
Áp dụng tính chất của các đường phân giác và vào tam giác , ta được:
	 (với ); 
	.
Từ giả thiết chu vi của tam giác bằng , ta có:
	.
Vậy .
III.	BÀI TẬP
5.	Cho tam giác có , các đường phân giác cắt nhau ở .
a)	Tính các độ dài .
b*)	Tính tỉ số diện tích các tam giác và .
6*.	Cho tam giác có , đường phân giác . Trên đoạn lấy điểm sao cho . Gọi là giao điểm của và . Tính tỉ số .
7*.	Cho tam giác có . Các đường phân giác cắt nhau ở . Chứng minh rằng:
a)	;	b) .