Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 3: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Facebook :Toanhocsodo – ĐT 0945943199
Toán học Sơ đồ - Gv Toán Tỉnh Nam Định
Chủ đề 3 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH
CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
A. KIẾN THỨC CẦN NHƠ
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng của chúng.
TỪ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TA THU ĐƯỢC KINH NGHIỆM THỨ NHẤT
Cứ nói tới trung điểm phải nghĩ đến đường trung bình.
Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán mà giả thiết hay kết luận đề cập đến trung điểm của một đoạn thẳng thì khi vẽ đường phụ ta vẽ thêm đường trung bình nhằm sử dụng các định lí về đường trung bình của tam giác, của hình thang.
PHÂN TÍCH ĐI LÊN ĐỂ TÌM KIẾM LỜI GIẢI CHO CÁC CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ CỦA CHỦ ĐỀ 3
Định lí 1: Xét tam giác có . Chứng minh .
Chứng minh
Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hình (hình 30). 
Phân tích:
.
Định lí 2: Xét tam giác có . Chứng minh rằng: . 
Chứng minh
Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hình (hình 31).
Phân tích:
 là hình thang có 
.
Định lí 3: Xét hình thang có 
. Ta phải chứng minh .
Chứng minh
Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hình (hình 32).
Phân tích:
.
Định lí 4: Xét hình thang có . Ta phải chứng minh .
Chứng minh
Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hình (hình 33). 
Phân tích:
 (giả thiết cho)
 là đường trung bình của tam giác 
.
.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Vẽ thêm đường trung bình để tính góc, tính độ dài đoạn thẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ thêm đường trung bình của một tam giác, của một hình thang bằng một trong ba cách sau: vẽ thêm trung điểm một đoạn thẳng, vẽ đường thẳng song song, vẽ đường thẳng vuông góc.
Sử dụng
Định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.
Tính chất về góc trong tam giác.
Tính chất hai góc ở vị trí so le hoặc đồng vị của hai đường thẳng song song.
Trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại.
Tính chất góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính ở hình 34. 
Lời giải (hình 34)
Do có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau nên .	(1)
Lại có 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra hay .
Do và cùng vuông góc với nên .(1)
Lại có 	(2) 
Từ (1) và (2) suy ra .	(3)
Từ (2) và (3) ta có là đường trung bình của hình thang .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang , ta có:
	 hay hay .
Ví dụ 2. Tính trên hình 35.
Lời giải (hình 35)
Do cùng vuông góc với nên
 	(1)
Lại có .	(2)
Từ (1) và (2) suy ra , do đó là đường trung bình
 của tam giác là đường trung bình của hình thang .
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác và hình thang
 , ta được: hay .
 hay hay .
Trên (hình 35b) ta thấy lần lượt là đường trung bình của
 hình thang và .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang trên, ta được: 
	.
Ví dụ 3. Cho tam giác có . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính góc .
Lời giải (hình 36)
Do lần lượt là trung điểm của theo giả thiết nên vẽ thêm là trung điểm của thì thứ tự là đường trung bình của hai tam giác và . Đặt .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên, ta có: 
	 	(1)
	 	(2)
	 	(3)
	 	(4)
Từ (1) (vì so le trong).	(5)
Từ (2) và (3) suy ra nên (vì trong một tam giác,
 đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).	(6)
Từ (5) và (6) suy ra . Từ (4) (vì đồng vị)
Mà nên .
Ví dụ 4. Cho hình thang có . Gọi là trung điểm của . Tính góc .
Lời giải (hình 37)
Đặt thì .
Do là trung điểm của theo giả thiết nên vẽ thêm là
 trung điểm của thì .	(1) 
Ta được là đường trung bình của hình thang . 
Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang , 
ta có: , hay .	(2)
 Từ (1) và (2) suy ra: (vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).
Áp dụng tính chất về góc vào tam giác , thu được:
	 hay .
Do đó . Vậy .
BÀI TẬP
Cho tam giác có . Các điểm lần lượt là trung điểm của . Tứ giác là hình gì? Tính các góc của nó.
Tam giác vuông có đường cao . Gọi lần lượt là trung điểm của và là giao điểm của . Tính góc .
Cho tam giác cân tại có đường cao . Kẻ , gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng: .
Cho tam giác có . Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ đến tia phân giác của góc , là trung điểm của . Tính độ dài .
Cho hình thang cân có . Lấy điểm sao cho là trung điểm của . Gọi là chân đường cao kẻ từ đến đường thẳng . Tính độ dài .
DẠNG 2. Vẽ thêm đường trung bình để chứng minh quan hệ về độ dài
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ thêm đường trung bình
Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác , trung tuyến . Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và . Chứng minh rằng:
	.
Lời giải (hình 38)
Do là trung điểm của theo giả thiết nên vẽ thêm là trung điểm của thì (1), ta được là đường trung bình của tam giác .
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác , ta được: 
	 (2) và (3)
Từ (2) mà theo giả thiết.
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác , ta được: 
 (4)
Từ (1) và (4) suy ra (5) hay .
Từ (4) và (5) ta có là đường trung bình của tam giác .
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác , ta có: (6)
Thay (6) vào (3) ta được: hay .
Ví dụ 2. Cho tam giác trung tuyến . 
Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 39)
Do là trung điểm của theo giả thiết nên vẽ thêm điểm 
 sao cho là trung điểm của , ta có là đường trung bình
 của tam giác . Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
 thu được 	(1)
Từ giả thiết nên là đường trung trực của
 đoạn do đó .
Thay vào đẳng thức (1) ta được .
Ví dụ 3. Cho tam giác , là trung điểm cạnh . Gọi là trọng tâm của tam giác. Vẽ đường thẳng cùng vuông góc với . Chứng minh rằng: và .
Lời giải (hình 40)
Theo giả thiết là trung điểm của nên là trung tuyến
 của tam giác .
Nên trọng tâm của tam giác nằm trên trung tuyến và
 .
Gọi là trung điểm của thì 	(1)
Vẽ ta có 	(2)
Ta được hai hình thang vuông và .
Từ (1) và (2) suy ra và theo định lí đường trung bình.
Do đó là đường trung bình của tam giác và lần lượt là đường trung bình của hai hình thang vuông và .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang vuông , ta được:
	 	(3) và 	(4)
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác , ta có: 	(5)
Thay (5) vào (4) ta được: 	(6)
Thay (6) vào (3), ta được: .
Ví dụ 4. Cho tứ giác . Gọi thứ tự là trung điểm
 của . Chứng minh rằng:
;
Lời giải (hình 41)
Từ giả thiết là đường trung bình
 của tam giác .
Áp dụng định lí đường trung bình vào , ta được:
	 	(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có là đường trung bình của tam giác , nên:
	(2)
Áp dụng bất đẳng thức vào tam giác , ta có , hay
, do (1) và (2).
Dấu bằng xảy ra khi nằm giữa và hay thẳng hàng tức là .
BÀI TẬP
Cho tam giác , trung tuyến . Gọi là một điểm trên cạnh sao cho , cắt tại . Chứng minh: .
Cho có đường cao . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng:
 là trung trực của đoạn .
Tứ giác là hình thang cân.
Cho . Lấy điểm trên cạnh , điểm thuộc tia đối của tia sao cho . Gọi là giao điểm của với cạnh . Chứng minh: .
Cho , trung tuyến . Lấy điểm sao cho là trung điểm của . Chứng minh rằng: .
Cho có trung tuyến . Qua là trung điểm của trung tuyến kẻ đường thẳng sao cho cắt cả hai cạnh . Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ các điểm đến đường thẳng . Chứng minh rằng .
Cho có là trọng tâm. Qua kẻ đường thẳng sao cho cắt cả hai cạnh . Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng . Chứng minh rằng .
DẠNG 3. Vẽ thêm đường trung bình để chứng minh hai đường
 thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ thêm đường trung bình.
Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.
Sử dụng tiên đề Ơ-clit vẽ đường thẳng song song: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó hoặc sử dụng tính chất nếu một góc là góc bẹt thì hai cạnh của góc ấy là hai tia đối nhau hay hai cạnh của góc này nằm trên một đường thẳng.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho kéo dài trung tuyến đến sao cho và trung tuyến đến sao cho . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải (hình 42)
Vì là hai trung tuyến của theo giả thiết nên 
 lần lượt là trung điểm của hay .
Từ giả thiết suy ra là đường trung bình 
của hai tam giác và .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên, ta được:
	 ba điểm thẳng hàng (vì qua điểm nằm
 ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với ).
Ta cũng có thể giải thích lí do trên bằng cách khác:
Ta có vì là các góc so le trong của và .
Áp dụng tính chất về góc vào , thu được:
	 hay là góc bẹt suy ra và là hai tia đối nhau tức thẳng hàng.
Ví dụ 2. Từ đỉnh của lần lượt kẻ các đường vuông góc xuống các đường phân giác của và . Chứng minh .
Lời giải (hình 43)
Gọi giao điểm của với đường thẳng lần lượt
 là và . 
Từ giả thiết suy ra vừa là đường phân giác vừa là đường
 cao của nên tam giác này cân tại . vừa là đường
 phân giác vừa là đường cao của nên tam giác giác này
 cân tại . Theo tính chất của tam giác cân thì là các 
đường trung tuyến của và hay ,
 nên là đường trung bình của .
Áp dụng định lí đường trung bình vào thu được .
Vậy .
Ví dụ 3. Hình thang có đáy . Gọi thứ tự là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải (hình 44) 
Vì thứ tự là trung điểm của theo giả thiết
 nên là đường trung bình của , là đường trung
 bình của hình thang .
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác và hình 
thang , ta có”
	 là ba điểm thẳng hàng. Vì từ điểm 
 ở ngoài đường thẳng chỉ kẻ được một đường thẳng song song với nó.
BÀI TẬP
12.	Cho các đường trung tuyến cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh và .
Chứng minh rằng trong một hình thang, trung điểm hai cạnh bên, trung điểm hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng.
Cho tứ giác có . Đường thẳng đi qua hai trung điểm của cắt các đường thẳng thứ tự tại và . Chứng minh rằng .
------///---------