Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 5: Hình bình hành

Facebook :Toanhocsodo – ĐT 0945943199
Toán học Sơ đồ - Gv Toán Tỉnh Nam Định
Chủ đề 5
HÌNH BÌNH HÀNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. 
 là hình bình hành .
Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.
Tính chất
Tính chất về góc: Các góc đối bằng nhau.
Tính chất về đường trung bình: Đường trung bình của hình bình hành thì song song và bằng hai cạnh còn lại.
Tính chất về cạnh: Các cạnh đối bằng nhau.
Tính chất về đường chéo: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết
Ba dấu hiệu về cạnh:
Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Một dấu hiệu về góc:
Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
Một dấu hiệu về đường chéo:
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Cách vẽ hình bình hành
Có năm cách vẽ hình bình hành nhưng hay dùng nhất là hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hai đoạn thẳng song song và bằng nhau (hình 50a).
Cách 2: Trên hai đường thẳng cắt nhau tại , lấy làm tâm vẽ hai cung tròn, cung thứ nhất cắt ở và , cung thứ hai cắt ở và (hình 50b).
Lưu ý: 
Cách 1 không chứng minh được là nhận được hình bình hành, chỉ là ảnh của hình bình hành.
Cách 2 chứng minh được là hình bình hành.
Từ tính chất của hình bình hành ta thu được kinh nghiệm thứ hai
Cứ nói tới trung điểm phải nghĩ đến hình bình hành.
Ý nghĩa của kinh nghiệm này là, với các bài toán mà giả thiết hoặc kết luận đề cập đến trung điểm của một đoạn thẳng thì khi vẽ đường phụ ta vẽ hình bình hành để sử dụng tính chất hai cạnh đối song song và bằng nhau hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Nhận dạng hình bình hành, chứng minh ba điểm
thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhận dạng hình bình hành: Thường sử dụng dấu hiệu nhận biết về cạnh đối và đường chéo.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy dựa vào nhận xét: Nếu hai hình bình hành có một đường chéo chung thì hai đường chéo còn lại đi qua trung điểm của đường chéo chung đó.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tứ giác có lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
Lời giải (hình 51)
Tứ giác là hình bình hành.
Giải thích: Thật vậy, từ giả thiết ta có thứ tự là các đường trung bình của hai tam giác và . Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác đó, ta được:
	.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
Ví dụ 2. Cho hình 52, trong đó là hình bình hành.
Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải (hình 52)
Từ giả thiết 	(1) 
Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành 
và tính chất góc so le của , ta được:
	 (trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra .
Từ (1) và (2) ta có tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành , ta được hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Do là trung điểm của theo giả thiết nên đi qua , hay là ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho hình bình hành . Tia phân giác của góc cắt ở , tia phân giác của góc cắt ở . Chứng minh rằng:
Tứ giác là hình bình hành.
Các đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Lời giải (hình 53)
Áp dụng định nghĩa vào hình bình hành , ta được , suy ra .	(1)
Áp dụng tính chất về góc, giả thiết vào hình bình hành 
 và tính chất của các cặp góc so le, ta được:
	.(2)
(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Từ (1) và (2) ta có tứ giác có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình bình hành và ta được hai đường chéo còn lại của hai hình bình hành trên là cùng đi qua trung điểm của đường chéo chung . Điều đó chứng tỏ rằng các đường thẳng đồng quy tại trung điểm của .
BÀI TẬP
Các câu sau đúng hay sai?
Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
Cho tam giác , các đường trung tuyến và cắt nhau tại . Vẽ các điểm sao cho là trung điểm của là trung điểm của . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Cho hình thang . Hai điểm lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng:
Các tứ giác và là hình bình hành.
Ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Cho hình bình hành . Lấy thứ tự trên các cạnh và sao cho . Chứng minh rằng:
Các tứ giác là hình bình hành.
Bốn đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Cho hình bình hành . Gọi lần lượt là trung điểm của và thứ tự là giao điểm của và . Chứng minh rằng:
Các tứ giác và là hình bình hành.
Các đường thẳng đồng quy tại một điểm.
6*.	Bài toán Gergome1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện và đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo đồng quy tại một điểm.
DẠNG 2. Nhận dạng hình bình hành để chứng minh
hai đường thẳng song song
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhận dạng hình bình hành (xem dạng 1).
Chứng minh hai đường thẳng song song nhờ định nghĩa hình bình hành.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên hình 54, cho là hình bình hành. Chứng minh .
Lời giải (hình 54)
Gọi là giảo điểm của hai đường chéo và .
Áp dụng tính chất về đường chéo và giả thiết vào hình
 bình hành , ta được:
	.
Tứ giác có hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Theo định nghĩa hình bình hành, ta có .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành , trên hai cạnh thứ tự lấy hai điểm sao cho . Chứng minh .
Lời giải (hình 55)
Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào 
hình bình hành , ta được:
	.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. Theo định nghĩa hình bình hành ta có .
Ví dụ 3. Cho hình bình hành . Gọi và lần lượt là trung điểm của . Đường chéo cắt thứ tự ở . Chứng minh rằng:
 	b) .
Lời giải (hình 56)
Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào
 hình bình hành , ta có:
.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Theo định nghĩa hình bình hành ta có .
Từ câu a), tứ giác là hình bình hành nên theo định nghĩa hình bình hành ta có suy ra .
Lại có theo giả thiết.
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác thu được:
	.
BÀI TẬP
7. 	 có đường trung tuyến , vẽ điểm sao cho là trung điểm của . Chứng minh .
8. 	Cho tam giác , các trung tuyến . Vẽ hai tia chúng cắt nhau tại . Chứng minh .
DẠNG 3. Vẽ thêm hình bình hành để chứng minh quan hệ về
độ dài và tính góc
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ thêm hình bình hành bằng cách xác định một đoạn thẳng có trung điểm làm một đường chéo, sau đó chọn một trong hai giải pháp sau:
Vẽ thêm đường chéo thứ hai.
Kẻ thêm đường thẳng song song.
Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác.
Sử dụng tính chất cặp góc ở vị trí đồng vị hoặc so le của hai đường thẳng song song.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác cân . Trên cạnh lấy điểm , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh .
Lời giải (hình 57)
Để chứng minh ta chịn là một đường chéo. Vẽ thêm hình bình hành bằng cách kẻ .	(1)
Áp dụng tính chất về góc vào tam giác cân 
 và góc đồng vị của , ta được:
	 	(2)
(vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau 
là hai cạnh bằng nhau).
Lại có (3) theo giả thiết nên từ (2) và (3) suy ra 	(4).
Từ (1) và (4) ta có tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành thu được .
Ví dụ 2. Cho tam giác , trung tuyến . Gọi là trung điểm của , là giao điểm của với . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 58)
Do là trung điểm của theo giả thiết nên chọn là một đường chéo.
Vẽ thêm điểm sao cho là trung điểm của thì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành , ta được (1) và 	(2)
Lại có 	(3) 
Từ (2) và (3) suy ra theo định lí đường trung bình,
 lúc đó là đường trung bình của .
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác , ta được:
 	(4)
Từ (1) và (4) suy ra: . Vậy .
Ví dụ 3. Cho CÓ . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính góc .
Lời giải (hình 59)
Do là trung điểm của theo giả thiết nên chọn là một đường chéo. Vẽ thêm điểm sao cho là trung điểm của thì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Kết hợp với là trung điểm của ta có là đường trung bình của .
Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành và giả thiết, ta được:
 (vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).	(1)
Lại có (vì so le trong)	(2) 
Từ (1), (2) suy ra:
Áp dụng định lí đường trung bình vào ta được .
Vậy vì là góc đồng vị của .
BÀI TẬP
Hãy giải các bài tập sau bằng cách vẽ thêm hình bình hành.
9. 	Cho tam giác . Qua là trung điểm của cạnh , kẻ một đường thẳng vuông góc với đường phân giác của góc nó cắt ở và ở . Chứng minh rằng .
10.	Vẽ ra phía ngoài tam giác các tam giác và cùng vuông cân tại , gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng .
11*. Cho tam giác có góc tù. Trong góc vẽ các đoạn thẳng sao cho vuông góc và bằng vuông góc và bằng . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng .
12*. Vẽ ra ngoài các tam giác vuông cân tại vuông cân tại . Gọi là trung điểm của . Tam giác là tam giác gì? Vì sao?
------///---------