Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 9: Hình thoi

Chủ đề 9
HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. 
Tứ giác là hình thoi .
Từ định nghĩa hình thoi, ta suy ra: Hình thoi cũng là một
hình bình hành.
Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Nhưng cần chú ý các tính chất về đường chéo. Trong hình thoi:
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi,
Dấu hiệu nhận biết
Hai dấu hiệu về cạnh:
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Hai dấu hiệu về đường chéo:
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Cách vẽ hình thoi
Có bốn cách vẽ hình thoi nhưng hay dùng nhất là hai cách sau:
Cách 1 (hình 89a): Vẽ một đường chéo, dựng đường trung trực của đường chéo đó, nối hai đầu đường chéo với hai giao điểm của hai cung tròn vừa vẽ thu được bốn đỉnh của hình thoi.
Cách 2 (hình 89b): Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Nhận dạng hình thoi, tính chấtđối xứng của hình thoi
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhận dạng hình thoi bằng một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có thêm một trong các dấu hiệu: hai cạnh kề bằng nhau, hai đường chéo vuông góc hoặc có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
Sử dụng định nghĩa hình có tâm đối xứng, trục đối xứng.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.
Lời giải (hình 90)
Xét hình chữ nhật có lần lượt là trung điểm
của các cạnh và , ta phải chứng minh 
là hình thoi.
Vì là hình chữ nhật nên
	 	(1)
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ,
ta được:
	 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông bằng nhau nên bốn cạnh tương ứng bằng nhau là .
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Ví dụ 2. Cho hình thoi . Trên các cạnh và lần lượt lấy hai điểm và sao cho . Gọi thứ tự là giao điểm của với đường chéo . Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi.
Lời giải (hình 91)
Gọi là giao điểm của và thì tại 
theo tính chất về đường chéo của hình thoi.
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình 
thoi , ta được:
	 (c-g-c)
.	(1)
Điều này chứng tỏ tam giác có đường cao vừa là đường phân giác nên nó cân lại tại suy ra 	(2)
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ta được 	(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có tứ giác là hình bình hành có đường chéo là đường phân giác của góc nên nó là hình thoi.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng:
Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi. 
Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.
Lời giải (hình 92)
Vì giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của 
hình bình hành đó mà hình thoi là một hình bình hành nên giao điểm hai 
đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi , ta được 
và vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, 
do đó là đường trung trực của . Nên điểm đối xứng của điểm 
qua là điểm , điểm đối xứng của điểm qua là chính nó, điểm đối xứng của điểm qua cũng là chính nó. Như vậy, điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua cũng thuộc hình thoi. Do đó là trục đối xứng của hình thoi.
Chứng minh tương tự, ta cũng được là trục đối xứng của hình thoi.
BÀI TẬP
Nêu các tính chất về đường chéo của hình thoi. Chỉ rõ tính chất nào suy ra từ hình bình hành, tính chất nào có ở hình thoi.
Cho tam giác cân tại có là trung điểm của . Qua kẻ và . Chứng minh rằng tứ giắc là hình thoi.
Cho hình bình hành có . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi.
Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thang cân là các đỉnh của một hình thoi.
Cho tam giác cân tại , các đường cao và . Gọi là trung điểm của và lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ đến và là trung điểm của . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
Cho hình thoi . Trên hai cạnh lần lượt lấy hai điểm và sao cho . Gọi thứ tự là giao điểm của và với đường chéo . Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi.
DẠNG 2. Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình thoi để tính
toán, chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc
bằng nhau, các đường thẳng vuông góc với nhau
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định nghĩa hình thoi.
Áp dụng các tính chất của hình thoi.
Xác định tam giác vuông chứa đoạn cần tính để áp dụng định lí Py-ta-go.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Hai đường chéo của một hình thoi bằng và . Hỏi cạnh của hình thoi bằng bao nhiêu?
Lời giải (hình 93)
Xét hình thoi có là giao điểm của hai đường chéo và . Vì hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau nên ta chỉ cần tính một cạnh, chẳng hạn cạnh .
Áp dụng tính chất về đường chéo và giả thiết vào hình thoi , ta được:
	 vuông tại và có hai cạnh 
góc vuông là và .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông , ta được:
	 hay nên .
Vậy cạnh của hình thoi là .
Ví dụ 2. Cho hình thoi có góc tù. Biết đường cao kẻ từ đỉnh đến cạnh chia đôi cạnh đó. Tính các góc của hình thoi.
Lời giải (hình 94)
Gọi là chân đường cao kẻ từ đến cạnh và từ giả thiết, ta có:
	 là đường trung trực của đoạn nên 
	(1)
Áp dụng định nghĩa vào hình thoi , ta được 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra nên tam giác là tam giác 
đều, do đó .
Vì góc và góc là hai góc trong cùng phía của nên chúng 
bù nhau hay hay .
Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được .
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các đường cao của hình thoi bằng nhau.
Lời giải (hình 95)
Xét hình thoi , kẻ hai đường cao .
Ta phải chứng minh .
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi 
, ta được:
	.
(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra .
Ví dụ 4. Cho tam giác . Trên các cạnh và lần lượt lấy hai điểm sao cho . Gọi thứ tự là trung điểm của và . Chứng minh rằng vuông góc với .
Lời giải (hình 96)
Từ giả thiết ta có lần lượt là các đường 
trung bình của tam giác và .
Áp dụng định lí đường trung bình và giả thiết vào bốn tam 
giác trên, ta được:
	.
Ta có có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ta được .
III. BÀI TẬP
7. 	Tính chu vi của hình thoi, biết các đường chéo bằng và .
8.	Hình thoi có chu vi bằng , đường cao . Tính các góc của hình thoi.
9.	Hình thoi có , kẻ hai đường cao và . Tam giác là tam giác gì? Vì sao?
10*. Cho hình bình hành có . Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng là trung điểm của là chân đường vuông góc kẻ từ đến và cắt ở .
Tứ giác là hình gì? Vì sao?
Tam giác là tam giác gì? Vì sao?
Chứng minh rằng .