Giáo án môn Đại số 8 - Bài: Ôn tập chương II

Bài. ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Đa giác, đa giác đều
Tổng số đo các góc trong của đa giác cạnh là .
Tổng số đo các góc ngoài của đa giác luôn bằng .
Số đo mỗi góc của đa giác đều cạnh bằng .
Số đường chéo của đa giác đỉnh là .
2. Các công thức tính diện tích đa giác
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của hình chữ nhật , với , là kích thước hình chữ nhật.
Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của hình vuông , với là độ dài cạnh của hình vuông.
Diện tích tam giác vuông bằng tích nửa hai cạnh góc vuông , với, là độ dài hai cạnh góc vuông.
Diện tích tam giác bằng nửa của tích nửa một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó , với , là độ dài cạnh và đường cao tương ứng.
Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao , với , là độ dài hai đáy, là độ dài đường cao tương ứng.
Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó , với , là độ dài cạnh và đường cao tương ứng. 
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo , với , là độ dài hai đường chéo vuông góc. 
Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo , với , là độ dài hai đường chéo. 
3. Bổ sung
Hai tam giác có chung một cạnh (hoặc có một cặp cạnh bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường cao ứng với hai cạnh đó.
Hai tam giác có chung một đường cao (hoặc có một cặp đường cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh tương ứng với đường cao đó.
Hình thang (), hai đường chéo và cắt nhau tại thì .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Bài 1. Cho hình chữ nhật có cm, cm. Gọi , , , lần lượt là các trung điểm của , , , .
a) Tính diện tích hình chữ nhật .
b) Tính diện tích tam giác .
c) Tính diện tích tứ giác .
Lời giải
a) Diện tích hình chữ nhật là
 cm.
b) Do là trung điểm của nên
 cm.
Vì là hình chữ nhật nên hay , do đó là đường cao của .
Vậy diện tích tam giác là cm.
c) Do là trung điểm của nên cm.
 là trung điểm của nên cm.
 là trung điểm của nên cm.
Diện tích tam giác vuông tại là cm.
Diện tích tam giác vuông tại là cm.
Vậy diện tích tứ giác là cm.
Bài 2. Cho hình bình hành . Gọi , là hai điểm thuộc cạnh sao cho . Tính tỉ số diện tích của 
a) Các tam giác và .
b) Tam giác và tứ giác .
c) Các tứ giác và .
Lời giải
a) Do là hình bình hành nên
 nên .
Do và có chung đường cao kẻ từ , nên
.
b) .
Do đó .
c) .
Bài 3. Cho tam giác , các đường trung tuyến , , cắt nhau tại . Chứng minh rằng .
Lời giải
Do là trọng tâm nên .
Nên ta có .(1)
Do là trọng tâm nên .
Nên ta có . (2)
Do là trọng tâm nên .
Nên ta có .(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có .
Bài 4. Một đa giác có tổng số đo các góc trong bằng lần tổng số đo các góc ngoài. Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh?
Lời giải
Tổng số đo các góc ngoài của đa giác luôn bằng , nên tổng số đó các góc trong là .
Gọi số cạnh đa giác là , ta có .
Vậy đa giác có cạnh.
Bài 5. Đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của đa giác bằng . Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh?
Lời giải
Tổng các góc ngoài của một đa giác là nên một góc trong của đa giác là . Theo đầu bài ra, ta có .
Vậy đa giác có cạnh.
Bài 6. Cho ngũ giác đều và một điểm sao cho đều. Tính .
Lời giải
Ta xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Nếu ở trong ngũ giác thì
.
Do , cân ta có 
Suy ra .
Trường hợp 2: Nếu ở ngoài ngũ giác thì 
.
Suy ra .
Bài 7. Cho có diện tích . Lấy bất kỳ thuộc . Kẻ , song song với như hình vẽ bên. Tính diện tích .
Lời giải
Áp dụng tính chất hình thang, khi đó 
Do là hình thang nên .
Tương tự, do là hình thang nên .
Vì là hình thang nên .
Suy ra .
Vậy .
Bài 8. Cho ba viên gạch lát nền hình vuông , , kích thước như hình vẽ bên dưới. Gọi là giao điểm của và . Tính diện tích .
Lời giải
Do giả thiết ta có và nên là đường trung bình của tam giác .
Do đó . Do giả thiết suy ra . Mà
. 
Dễ thấy nên là hình chữ nhật nên .
Do đó .
Vậy diện tích tam giác bằng .
Bài 9. Cho hình thang () có diện tích . Lấy , trên sao cho . Qua , kẻ đường thẳng song song với cắt tại , . Tính diện tích của hình thang .
Lời giải
Kẻ , cắt , lần lượt tại , . Gọi là trung điểm của , kẻ . Do giả thiết, ta suy ra là đường trung bình của hình thang và .
Ta có 
nên . 
Mặt khác do nên là đường trung bình của tam giác suy ra .
Hình thang có là đường trung bình nên .
Mà .
Vậy diện tích của hình thang bằng . 
Bài 10. Cho hình thang (). Gọi là trung điểm . Chứng minh .
Lời giải
Kẻ đường thẳng qua vuông góc với và cắt , lần lượt tại , . Ta có là đường cao của hình thang . Mặt khác theo định lý Ta-lét . Do là trung điểm của nên suy ra . Ta xét 
Suy ra . Vậy . 
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 11. Số đo các góc trong một ngũ giác là tỉ lệ với ; ; ; ; . Tìm số đo của mỗi góc.
Lời giải
Giả sử ngũ giác có số đo các góc trong là , ,, , , ta có 
Theo giả thiết , ,, , tỉ lệ tương ứng là ; ; ; ; .
Khi đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
Khi . 
Khi . Tương tự, ta có 
Khi . Tương tự, ta có . 
Vậy số đo mỗi góc trong của ngũ giác là ; ; ; ; . 
Bài 12. Cho . Gọi là đường thẳng qua . Xác định vị trí của đường thẳng để tổng khoảng cách từ và đến là nhỏ nhất.
Lời giải
Giả sử . Xét hai trường hợp
Trường hợp 1. Giả sử cắt cạnh 
Từ , lần lượt hạ , .
Khi đó và .
Dễ thấy .
Suy ra .
Vì không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đạt giá trị lớn nhất.
Hạ , xét tam giác vuông theo định lý Py-ta-go .
Tương tự, ta có .
Do giả thiết suy ra . Khi đó
Nếu thuộc đoạn suy ra . Do đó . 
Nếu thuộc đoạn suy ra . Do đó . 
Từ , suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi . 
Trường hợp 2. Giả sử không cắt cạnh .
Lấy điểm đối xứng với qua . Chứng minh tương tự như trường trên cho tam giác .
Bài 13. Cho vuông tại . Trên cạnh lấy . Kẻ , , song song với như hình vẽ bên. Tính tỉ số diện tích tứ giác và .
Lời giải
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang, ta có thì ; ; . và là các hình thang có độ dài dường cao bằng nhau, nên
Bài 14. Cho hình thang () có . Gọi , là trung điểm của và . Tính tỉ số diện tích tứ giác và .
Lời giải
Do giả thiết .
Khi đó đặt suy ra ; .
Mà .
Vì hình thang và có độ dài đường cao bằng nhau, nên . 
Bài 15. Qua đỉnh của tứ giác , hãy dựng đường thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Lời giải
Giả sử . Kẻ ( thuộc ). Suy ra và . Gọi là trung điểm của suy ra nên
. 
Mà suy ra .
Vậy đường là đường thẳng thỏa mãn bài toán.
Bài 16. Cho là hình bình hành có diện tích bằng . Gọi là trung điểm của . Gọi là giao điểm của và . Tính diện tích tứ giác .
Lời giải
Do giả thiết suy ra .
Do là trung điểm của nên suy ra .
Dễ thấy , là hai đường trung tuyến của tam giác , là giao điểm của , nên là trọng tâm.
Khi đó , áp dụng tính chất diện tích tam giác suy ra
Mặt khác và .
Vậy diện tích của tứ giác bằng .
Bài 17. Cho hình thoi có cm, cm. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Tính
a) Diện tích hình thoi .
b) Diện tích tứ giác .
c) Diện tích tam giác .
Lời giải
a) Diện tích hình thoi là cm.
b) Do , lần lượt là trung điểm của , nên .
Ta lại có cm.
Do đó cm.
c) Ta có là trung điểm của nên , do đó .
Mặt khác là trung điểm nên , do đó .
Khi đó cm.
Vậy diện tích tam giác là cm.
Bài 18. Cho hình thang () có . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Tính tỉ số diện tích của hai tứ giác và .
Lời giải
Ta có , .
Do , lần lượt là trung điểm của , nên là đường trung bình của hình thang .
Khi đó ta có .
Vì và là hai hình thang có chiều cao bằng nhau nên .
Bài 19. Cho hình bình hành , điểm bất kỳ nằm trong hình bình hành. Chứng minh rằng .
Lời giải
Kẻ , . Do nên , , thẳng hàng, ta có
	.
Mặt khác
.
Do đó .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 20. Cho hình vuông có cm. Trên cạnh lấy , trên cạnh lấy sao cho cm.
a) Tính diện tích hình vuông .	b) Tính diện tích tứ giác .
c) Tính diện tích hình bình hành .
Lời giải
a) Diện tích hình vuông là cm.
Do là hình thang vuông tại , .
Do đó diện tích của tứ giác là
.
c) Ta có cm nên cm.
Diện tích tam giác vuông tại là cm.
Vậy diện tích tứ giác là cm.
Bài 21. Cho hình thang () có , . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Tính tỉ số diện tích của 
a) Các tam giác và .
b) Tam giác và hình thang .
c) Các tứ giác và .
Lời giải
a) và có hai đáy , hai đường cao kẻ từ và bằng nhau. Do đó .
b) Ta có .
c) Do , lần lượt là trung điểm của , nên là đường trung bình của hình thang ().
Nên ta có .
Ta có và là hai hình thang có chiều cao bằng nhau nên .
Bài 22. Cho tam giác . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có là trung điểm của nên , do đó .
Mặt khác là trung điểm nên , do đó .
Khi đó . Vậy .
Bài 23. Cho hình bình hành . Trên cạnh , lấy , sao cho . Trên lấy bất kỳ. Gọi giao điểm của với và lần lượt là , .
Chứng minh .
Lời giải
Ta có . Kẻ , ta có . hay . Suy ra 
Vậy .
Bài 24. Cho tam giác vuông tại , là đường cao. Gọi , là lần lượt hình chiếu của trên , . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh .
Lời giải
Do giả thiết và suy ra . Khi đó, ta có và cùng chung và đường cao và bằng nhau, nên
Mặt khác nên .
Từ , ta có 
Vậy .
Bài 25. Cho tam giác thỏa mãn . Vẽ , là hai đường cao. Tính tỉ số .
Lời giải
Do giả thiết ta có 
Mà suy ra .
Bài 26. Cho tam giác . Hãy tìm điểm nằm trong tam giác .
Lời giải
Phân tích.
Giả sử đã dựng được điểm thoả mãn 
.
Qua kẻ ; (, thuộc ). Ta có các tứ giác , là hình thang nên
và .
Cách dựng. Chia thành phần bằng nhau.
Lấy , thuộc sao cho ; ; qua dựng đường thẳng song song với , chúng cắt nhau tại suy ra là điểm cần dựng.
Chứng minh. Do tứ giác là hình thang nên .
Theo cách dựng suy ra hay .
Tương tự, ta có hay .
Mà 
Suy ra .
Biện luận. Bài toán luôn có duy nhất một điểm thỏa mãn.
Bài 27. Cho hình thang (), . Lấy điểm trên sao cho chia thành hai phần có diện tích bằng nhau. Gọi là trung điểm của . Chứng minh .
Lời giải
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Dễ thấy tứ giác là hình bình hành. Do là trung điểm của suy ra là trung điểm của . Ta có nên . Mà do đó
.
Theo giả thiết là điểm trên sao cho chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Suy ra . 
Theo chứng minh trên nên .
Do và có chung đường cao nên .
Từ suy ra .
Xét tam giác , ta có , suy ra là đường trung bình của tam giác. Do đó . 
--- HẾT ---