Giáo án Toán học Lớp 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng. 
A.Lý thuyết chung.
 1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức, đa thức.
 2 ) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đặt nhân tử chung;
2) Dùng hằng đẳng thức;
3) Nhóm nhiều hạng tứ;
4) Tách, thêm, bớt;
5 )Phối hợp nhiều phương pháp
B. Nội dung
 Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
 I. Phương pháp đặt nhân tử chung
 1. Phương pháp .
 Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử.
 Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
 Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc.
 2.Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
–3xy + xy – 5xy
2x(y – z) + 5y(z – y)
10x(x + y) – 5(2x + 2y)y
Bài Làm
a) 3xy + xy – 5xy = xy(- 3 + xy – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x(x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x(x + y) – 10y(x + y) = 10(x + y)(x – y) 
 = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y)
 3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
12xy – 12xy + 3x
15x – 30 y + 20z
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
2x(x – y) + 2x(y – x ) + 2x(z – x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
 1. Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
Những hằng đẳng thức:
1/ (A + B) = A + 2AB + B
2/ (A - B) = A - 2AB + B
3 A2 – B2 = (A + B)(A – B)
4/ (A + B) = A + 3AB + 3AB + B
5/ (A - B) = A - 3AB + 3AB - B
6/ A + B = (A + B)(A – AB + B)
7/ A - B = (A - B)(A + AB + B)
8/ (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA
9/ A – B = (A – B)(A + AB + + AB + B) nN, n 2.
10/ A – B = (A +B)(A - AB + +AB2k-2 - B) ( Thay B = - B vào 9).
11/ A + B = (A + B)(A – AB + AB- +B)
12/ (A + B) = A + n AB +AB+An-3B3+ +AB+ nAB+ B
13/ (A - B) = A - n AB +AB - +(-1)B
2.Ví dụ .
Ví Dụ 1. Phân tích đa thức tành nhân tử
x + 6xy + 9y
 a – b 
(x – 3) - (2 – 3x)
 x – 3x + 3x - 1 
Bài Làm
x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y)
a – b = (a) – (b) = (a + b) (a – b) = (a + b) (a + b) (a – b)
(x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x) 
x – 3x + 3x - 1 = (x – 1)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a + b + c – 3abc
(a + b + c) – a – b – c
Bài Làm
a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc 
 = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c] – 3abc( a + b +c)
 = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca)
b) (a + b + c) – a – b – c
 = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c 
 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
(x – 15) – 16 b) 25 – (3 – x) 
(7x – 4) – ( 2x + 1) d) 9(x + 1) – 1
9(x + 5) – (x – 7) f) 49(y- 4) – 9(y + 2) g) (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
8x + 27y
(x + 1) + (x – 2)
1 – y + 6xy – 12xy + 8x
2004 - 16 
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
 1. Phương pháp
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
AÙp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
 2. Ví dụ
 Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử 
x – 3xy + x – 3y
7x – 7xy – 4x + 4y
x + 6x – y + 9
x + y – z – 9t – 2xy + 6zt
Bài Làm
a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x + 6x – y + 9 = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y) – (z – 6zt + 9t)
 = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz
xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz
Bài Làm
a) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz 
= (xz + yz + 2xyz) + xy + xy + xz2 + yz 
= z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z)]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz
= (xy + xz + xyz) + ( xy + yz + xyz) + (xz + yz + xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
 3. Bài Tập
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x + 3x – 9x – 27
x + 3x – 9x – 9
x – 3x + 3x – 1 – 8y
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) 
xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz 
yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
 1. Phương pháp 
Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung 
- Dùng hằng đẳng thức 
- Nhóm nhiều hạng tử 
2. Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 
5x - 45x 
3xy – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bài làm
a) 5x – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3. Bài tập 
Bài tập 1. Phân tích đa thức thành nhân tử .
2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 
8x(x + z) – y(z + 2x) – z(2x - y)
[(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bài tập 2. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) – x – y - z
Hướng dẫn
(x + y + z ) – x – y - z
=[(x + y + z) – x] – (y + z) 
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) 
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] 
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] 
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử(với hệ số nguyên).
Nếu đa thức khụng chứa nhõn tử chung, khụng cú dạng hằng đẳng thức, cũng khụng nhúm được hạng tử ta cú thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhúm cỏc hạng tử.
Ví dụ1: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + 8
C 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
C 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
C 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Một cỏch tổng quỏt để phõn tớch tam thức bậc 2 thành nhõn tử ta tỏch hạng tử bx thành bx +bx sao cho b.b =a.c.
- Trong thực hành ta thực hiện như sau:
1/ Tỡm tớch a.c
2/ Phõn tớch a.c ra thừa số nguyờn bằng mọi cỏch.
3/ Chọn hai thừa số cú tổng bằng b.
Vớ dụ: Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : : 4x-4x-3
Ta cú a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đú ta phõn tớch -4x thành -6x+ 2x
 - Đối với đa thức bậc ba trở lờn người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyờn của đa thức nếu cú phải là ước của hệ số tự do.
Vớ dụ : Phõn tớch đa thức : x - x -4 đa thức này cú nghiệm nguyờn thỡ phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đú đa thức cú chứa nhõn tử x – 2 vậy ta tỏch đa thức trờn thành :
x - x -4 = x -2 x+ x -4 = x(x-2) +(x-2)(x+2) = ...
Chỳ ý : Khi xột nghiệm nguyờn của đa thức ta chỳ ý 2 định lớ sau :
1/ Nếu đa thức f(x) cú tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ 1 là nghiệm của đa thức do đú đa thức cố chứa nhõn tử x -1 .
Vớ dụ : Phõn tớch đa thức x- 5x +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nờn đathức cú chứa nhõn tử x – 1 vậy ta tỏch như sau: x - x- 4 x+8x -4 = x(x-1) – 4(x-1)
2/Nếu đa thức cú tổng cỏc hệ số bậc chẳn bằng tổng cỏc hệ số bậc lẻ thỡ -1 là nghiệm của đa thức do đú đa thức chứa nhõn tử x +1.
Vớ dụ: Phõn tớch đa thức x- 5x + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nờn -1 là nghiệm của đa thức do đú đa thức chứa nhõn tử x+1 ta phõn tớch như sau :
x- 5x +3x +9 = x+ x- 6x+3x +9 = x+ x- 6x+6+3x +3
=x(x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = ...
Trong trường hợp đa thức khụng cú nghiệm nguyờn; đa thức cú thể cú nghiệm hửu tỉ , người ta chứng minh được rắng đa thức cú cỏc hệ số nguyờn nghiệm hửu tỉ nếu cú phải cú dạng trong đú p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất .
 Vớ dụ : Phõn tớch đa thức 3x- 7x +17x -5 ta thấy cỏc số ±1 ,±5 khụng phải là nghiệm của đa thức ,xột cỏc số ± , ± ta cú là nghiệm của đa thức do đú đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tỏch hạng tử như sau :
3x- 7x +17x -5 = 3x- x -6 x+2x + 15x-5 =x(3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=
3. Bài tập 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + 5
c)3x2 – 7x – 6 d) 10x2 – 29x + 10
e)x2 – 7xy + 10y f) 4x2 – 3x – 1
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 4x2 – 29x + 24 b/ x + 6x2 + 11x + 6
c/ x – 2x – 4 d/ 2x – 12x + 7x – 2
e/ x + x + 4 f/ x + 3x + 3x + 2
g/ x + 9x + 26x + 24 h/ 2x – 3x + 3x + 1
k/ 3x – 14x + 4x + 3 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x - 5x + 8x – 4 b/ x – 3x + 2
c/ x – 5x + 3x + 9 d/ x + 8x + 17x + 10
e/ x + 3x + 6x + 4 f/ x + 5x + 3x – 9 g)x + 9x + 11x – 21
h)x – 7x + 6 k/ x3 + 2x2 + 4x - 7
VI/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 64 = x + 64 + 16x – 16x= (x + 8) – (4x) = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) 
Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 4y b) x + x + 1
a) x + 4y= x + 4y + 4xy – 4xy= (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x + x + 1 = (x + x + x) – (x + x + x) + (x + x + 1)
	 = x(x + x + 1) – x(x + x + 1) + (x + x +1)
	 = (x + x + 1)(x – x +1)
Chỳ ý : Cỏc đa thức cú dạng x+ x+1 đều chứa nhõn tử x +x +1
Vớ du: x+ x+1; : x+x+1 ; x+ x+1; x+ x+1 ...
Bài tập 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + x + 1 b) x + x + 1
c)x + x + 1 d) x + 4
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 a/ x4 + 4y4 b/ x4 +4
 c/ 4x8 + 1 d/ 4x16 +1 
 e)x + x4 + 1 f) x8 + y8 + x4y4 
* Moọt soỏ phửụng phaựp khaực
VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ)
Phương pháp
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
6x – 11x + 3
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm
6x – 11x + 3
- Đặt x2 = y0
- Đa thức đã cho trở thành: 6y – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
- Trả lại biến cũ: 
 6x – 11x + 3 = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x - )( x + )
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5
- Đặt x + 3x + 1 = y ị x – 3x – 3 = y – 4
- Đa thức đã cho trở thành
 y(y – 4) – 5 = y – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)
- Trả lại biến cũ.
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – 5 = (x + 3x + 1 + 1)(x + 3x + 1 – 5)
= (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- Đặt x + 8x + 7 = y ị x + 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đã cho trở thành : 
 y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + 7 + 3)
= (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
3. Bài tập 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x + x) – 2(x + x) – 15
(x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – 6
(x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
(4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x
3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + 3
VIII/ PP hệ số bất định:(Trường hợp không có n0 nguyên hoặc n0 hữu tỉ).
Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau.
a x + a x + ... + ax + ax + a = bx + bx + ... + bx + b x + b
Û a = b " i = 1; n
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Vớ duù 1: A = x + 11x + 30
	Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích được thì A có dạng.
A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac
 Û x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có 
Chọn a = 2 c = 15; b = -2
Vậy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15)
2.2 Ví dụ 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1
Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích được thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x + ax + b)(x + cx + d) ÛB = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số, ta có:
 hoặc 
Do vậy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hoặc B = (x – 13x + 1)(x – x + 1)
Bài tập
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x + 4x + 5x + 2
2x – 3x –7x + 6x + 8
5x + 9x – 2x – 4x – 8
Bài 2: Tìm a, b, c
x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c)
x + 3x – x – 3 = (x – 2)( x + bx + c) + a
4x + 7x + 7x – 6 = (ax + b)(x + x +1) + c
IX/ Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: Vớ duù 1: P = (x + y + z)- x – y – z
Bài Làm
Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y thì P = 0 P M (x + y)
Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên.
P M (x + z)
P M (y + z)
 P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số.
Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
Ví dụ 2:
M = a(b + c)(b - c) + b(c + a)(c - a) + c(a + b)(a - b) 
Bài Làm
Coi M là đa thức biến a
Khi a = b thì M = 0
ịM M (a - b)
Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên : 
M M (b - c)
M M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a.
Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R là hằng số)
ị M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chọn a = 0, b = 1, c = 2 ị R = 1
Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
Bài tập
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 
X. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai 
a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c
Nếu b2 – 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết .
Nếu b2 – 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa .
b) Ví dụ: 2x2 – 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3
Xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55
Suy ra Phân tích được thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 , x2 thì 
 P(x) =a( x- x1)(x - x2)
Phần 2: CAÙC BAỉI TOAÙN AÙP DUẽNG PHAÂN TÍCH ẹA THệÙC THAỉNH NHAÂN TệÛ.
I). Bài toán rút gọn biểu thức
1. Phương pháp
+Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung.
+áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
ị Học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển tư duy suy luận lôgic, sáng tạo. 
2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức :
A= B= 
C = D =
Bài Làm
a) A = = =
 =
b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
 B = = = 
3. Bài tập
Bài 1. Rút gọn biểu thức
A = B =
C = D =
Bài 2. Rút gọn biểu thức
A =
B =
C = 
Bài 3. a) Cho x2 - 4x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức A =
 b) Cho x-y =7 Tính giá trị của biểu thức A = x(x+2) + y(y-2) -2xy +37
 c) Cho x+2y =5 Tính giá trị của biểu thức B = x2 + 4y2 -2x + 10 + 4xy -4y
 d) Cho a + b + c =0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị cua biểu thức: M = a4 + b4 + c4.
II) Bài toán giải phương trình bậc cao.
Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích 
 AB = 0 hoặc A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phương trình
* Ví dụ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0 
 x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0 
x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
(x- 5)(x2- 2x + 5) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5}
* Ví dụ 2: 
(2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0	(1)
Đặt: 2x2 + 3x - 1 = t	(*)
 ị 2x2 + 3x + 3 = t + 4
Phương trình đã cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = 0
Û t2 - 5t + 4 = 0 Û (t - 1)(t - 4) = 0 Û Û
+ Thay t = 1 vào (*), ta có: 2x2 + 3x - 1 = 1
Û 2x 2 + 3x - 2 = 0 Û (2x 2 + 4x) - x - 2 = 0 Û 2x(x + 2) - (x + 2) = 0 Û (x + 2) (2x - 1) = 0 
+ Thay t = 4 vào (*), ta có : 
2x2 + 3x - 1 = 4 Û 2x 2 + 3x - 5 = 0 Û (x - 1)( 2x +5) = 0Û 
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; ;; 1} 	
* Ví Dụ 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1)
Û (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 Û (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40
Đặt x2 + 6x + 5 = t (*) ị x2 + 6x + 8 = t + 3
Phương trình đã cho trở thành: t(t + 3) = 40 Û t2 + 3t – 40 = 0 Û (t – 5)(t + 8) = 0 Û 
Thay t = 5 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = 5 Ûx2 + 6x = 0 Ûx(x + 6) = 0 Û
Thay t = -8 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = - 8 Û x2 + 6x + 13 = 0
 Ûx2 + 2x + + = 0 Û (x + )2 + = 0 (Vô lý)
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6}
Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn
 x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 (4)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4)
 ị Chia hai vế của (4) cho x ạ 0, ta được
 x + 3x + 4 + 3 + = 0(x2 +) + 3(x + ) + 4 = 0 
 Đặt x + = t (*) ị x + = t – 2
Phương trình đã cho trở thành : t + 3t + 2 = 0
 (t + 1)(t + 2) = 0 
Thay t = - 1 vào (*), ta được : x + = -1 x + x + 1 = 0 (Vô nghiệm)
Thay t = - 2 vào (*), ta được : x + = - 2 x + 2x + 1 = 0 (x + 1) = 0 x = -1
Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1}
 *Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ
 x – x + 3x + 3x – x + 1 = 0 (5)
Có x = - 1 là 1 nghiệm của phương trình (5).
Do đó (5) Û (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = 0
Giải phương trình đối xứng bậc chẵn.
x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + 1 = 0 (5’)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (5’). Chia cả 2 vế của (5’) cho xạ 0, ta có: 
 x – 2x + 5 - 2 + = 0 Û (x + ) – 2(x + ) + 5 = 0
Đặt (x + ) = t (*) ị (x + ) = t – 2
(5’) Û t – 2t +3 = 0 Û (t – 1) + 2 = 0 ( vô nghiệm)
Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} 
Bài tập: 
Bài 1: Giải phương trình
2x + 3x +6x +5 =0
x – 4x – 19x + 106x – 120 = 0
4x + 12x + 5x – 6x – 15 = 0
x + 3x + 4x + 2 = 0
Bài 2: giải phương trình
x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24
(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
(2x + 1)(x+ 1)(2x + 3) = 18
12x + 7)(3x + 2)(2x + 1) = 3
Bài 3: giải phương trình
(x – 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = 1
(x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = 0
(x + 5x) – 2x – 10x = 24
Bài 4: giải phương trình
x- 2x + 4x – 3x + 2 = 0
x – 3x + 4x – 3x + 1 = 0
2x – 9x + 14x – 9x + 2 = 0
 x + x + x + x +x+ x + 1 = 0
Bài 5: giải phương trình: x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0