Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 3: Phân tích đa thức thành nhân tử (Có đáp án)

 ĐS8-C1-CD3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. LÝ THUYẾT:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của 
những đa thức
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x3 6x2 4x b) 3x2 y 9xy2 12x2 y2
c) 2xy x y x y x d) x2 4y2 x 2y
Giải
a) Ta có: 2x3 6x2 4x 2x x2 3x 2 
b) Ta có: 3x2 y 9xy2 12x2 y2 3xy x 3y 4xy 
c) Ta có: 2xy x y x y x 2xy x y x x y 
 x x y 2y x 
 2
d) Ta có: x2 4y2 x 2y x2 2y x 2y 
 x 2y x 2y x 2y x 2y x 2y 1 
 x 2y x 2y 1 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
 3
a) x 2 2 x b) 3xy 4y 3x 4
c) x2 4xy 3y2 d) x2 y2 5x 5y
Giải
 3 3
a) Ta có: x 2 2 x x 2 x 2 
 x 2 x 2 2 1 x 2 x 2 1 x 2 1 x 2 x 3 x 1 
b) Ta có: 3xy 4y 3x 4 3xy 3x 4 4y
 3x y 1 4 y 1 y 1 3x 4 
c) Ta có: x2 4xy 3y2 x2 xy 3xy 3y2
 x x y 3y x y x y x 3y 
d) Ta có: x2 y2 5x 5y x y x y 5 x y 
 x y x y 5 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
 2 2
a) x 2 2 x2 4 x 2 b) 2x2 2xy 4y2
c) x2 2x 4y2 4y d) 4x x 2y 8y x 2y 
Giải
 2 2
a) Ta có: x 2 2 x2 4 x 2 
 x 2 2 x2 4 x2 4 x 2 2
 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 2x x 2 2x x 2 2x x 2 x 2 4x2
b) Ta có: 2x2 2xy 4y2 2x2 2y2 2xy 2y2
 2 x2 y2 2y x y 
 2 x y x y 2y x y 2 x y x y 2y 
 2 x y x 3y 
c) Ta có: x2 2x 4y2 4y x2 4y2 2x 4y
 x 2y x 2y 2 x 2y 
 x 2y x 2y 2 
d) Ta có: 4x x 2y 8y x 2y 
 x 2y 4x 8y 4 x 2y x 2y 4 x 2y 2
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức Lưu ý: Với một số bài toán chưa tường minh để áp dụng hằng đẳng thức thì ta phải thực hiện 
“thêm, bớt” một số hạng tử để xuất hiện dạng áp dụng hằng đẳng thức.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
 1
a) x2 x b) 2x3 12x2 24x 16
 4
 3 3
c) x y x y c) 2x4 2x2 2
Giải
 2
 2 1 2 1 1 1 
a) Ta có: x x x 2 x x 
 4 2 4 2 
b) Ta có: 2x3 12x2 24x 16 2 x3 6x2 12x 8 
 2 x3 3.x2.2 3.4.x 23 2 x 2 3
 3 3
c) Ta có: x y x y 
 x3 3x2 y 3xy2 y3 x3 3x2 y 3xy2 y3 
 6x2 y 2y3 2y 3x2 y2 
d) Ta có: 2x4 2x2 2 2 x4 x2 1 2 x4 2x2 1 x2 
 2
 2 x2 1 x2 2 x2 1 x x2 1 x 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x4 4 b) x3 6x2 16
 1 1
c) a2 b2 d) x2 2x y2 2y
 36 4
Giải
 2
a) Ta có: x4 4 x4 4x2 4 4x2 x2 4 4x2
 x2 4 2x x2 4 2x x2 2x 4 x2 2x 4 
b) Ta có: x3 6x2 16 x3 6x2 12x 8 12x 24
 x 2 3 12 x 2 x 2 x 2 2 12 x 2 x2 4x 8 
 2 2
 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 
c) Ta có: a b a b a b . a b 
 36 4 6 2 6 2 6 2 
d) Ta có: x2 2x y2 2y x2 2x 1 y2 2y 1
 x 2x 1 y2 2y 1 
 x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 x 1 y 1 
 x y x y 2 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
 2
a) x a 25 b) 125a3 75a2 15a 1
c) x8 x4 1 d) x7 x2 2x 1
Giải
 2 2
a) Ta có: x a 25 x a 52 x a 5 x a 5 
b) Ta có: 125a3 75a2 15a 1
 5a 3 3. 5a 2 3.5a 1 1 5a 3
 2
c) Ta có: x8 x4 1 x8 2x4 1 x4 x4 1 x4
 x4 1 x2 x4 1 x2 x4 x2 1 x4 x2 1 
d) Ta có: x7 x2 2x 1 x7 x x2 x 1
 x x6 1 x2 x 1 
 x x3 1 x3 1 x2 x 1 
 x x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 
 x2 x 1 x x3 1 x 1 1 
 x2 x 1 x4 x x 1 1 
 x2 x 1 x5 x4 x2 x 1 
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x4 81 b) x8 98x4 1
c) x7 x2 1 d) x7 x5 1
Giải
a) Ta có: 4x4 81 4x4 36x2 81 36x2
 2 2
 2x2 9 36x2 2x2 9 6x 2 2x2 9 6x 2x2 9 6x 
 2x2 6x 9 2x2 6x 9 
b) Ta có: x8 98x4 1 x8 2x4 1 96x4
 2
 x4 1 16x2 x4 1 64x4 16x2 x4 1 32x4
 2
 x4 1 8x2 16x2 x4 1 2x2 
 2 2
 x4 8x2 1 16x2 x2 1 
 2 2
 x4 8x2 1 4x3 4x 
 4x4 4x3 8x2 4x 1 x4 4x3 8x2 4x 1 
c) Ta có: x7 x2 1 x7 x x2 x 1 
 x x6 1 x2 x 1 
 x x3 1 x3 1 x2 x 1 
 x x 1 x2 x 1 x3 1 x2 x 1 
 2 3 
 x x 1 x x 1 x 1 1 
 x2 x 1 x5 x4 x2 x 1 
d) x7 x5 1 x7 x x5 x2 x2 x 1 
 x x3 1 x3 1 x2 x3 1 x2 x 1 
 x2 x 1 x 1 x4 x x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 
 2 5 4 2 3 2 
 x x 1 x x x x x x 1 
 x2 x 1 x5 x4 x3 x 1 
Lưu ý: Các đa thức có dạng x3m 1 x3n 2 1 . Ví dụ như: x7 x2 1 ; x7 x5 1 ; x8 x4 1 ; 
 x5 x 1; x8 x 1 ; đều có nhân tử chung là x2 x 1
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 2x 2y y2 b)3x3 xy 12xy2 2y2
c) x3 x2 xy y3 y2 d) 16x4 8x2 y2 1 Giải
a) Ta có: x2 2x 2y y2 x2 y2 2 x y 
 x y x y 2 x y x y x y 2 
b) Ta có: 3x3 xy 12xy2 2y2 3x3 12xy2 xy 2y2
 3x x2 4y2 y x 2y 3x x 2y x 2y y x 2y 
 x 2y 3x3 6xy y 
c) Ta có: x3 x2 xy y3 y2 x3 y3 x2 xy y2
 x y x2 xy y2 x2 xy y2 
 x2 xy y2 x y 1 
 4 2
d) Ta có: 16x4 8x2 y2 1 2x 2. 2x 1 y2
 2 2 2 2
` 2x 1 y2 2x 1 y 2x 1 y 
 4x2 1 y 4x2 1 y 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) ax2 2bxy 2bx2 axy b)8 x2 2x
c) x2 2x 4y4 8y 3 d) x4 5x3 20x 16
Giải
a) Ta có: ax2 2bxy 2bx2 axy ax2 2bx2 axy 2bxy
 a 2b x2 xy a 2b a 2b x2 xy x a 2b x y 
b) Ta có: 8 x2 2x 9 x2 2x 1
 9 x 1 2 3 x 1 3 x 1 4 x 2 x 
c) Ta có: x2 2x 4y4 8y 3 x2 2x 1 4y4 8y 4
 x 1 2 4 y 1 2 x 1 2y 2 x 1 2y 2 
 x 2y 1 x 2y 3 
d) Ta có: x4 5x3 20x 16 x4 16 5x3 20x
 x4 24 5x3 20x x2 4 x2 4 5x x2 4 
 x2 4 x2 4 5x x2 4 x 1 x 4 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x2 9y2 4x 6y b) x3 y 1 3x2 x 3y2 1 y3
 2 2
c) a2 x a2 y 7x 7y d) x x 1 x x 5 5 x 1 
Giải
a) Ta có: 4x2 9y2 4x 6y 4x2 9y2 4x 6y 
 2x 3y 2x 3y 2 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2 
b) Ta có: x3 y 1 3x2 x 3y2 1 y3
 x3 y 3x2 y 3xy2 x y3 x3 3x2 y 3xy2 y3 x y 
 x y 3 x y x y x y 2 1 
 x y x y 1 x y 1 
c) Ta có: a2 x a2 y 7x 7y a2 x a2 y 7x 7y 
 a2 x y 7 x y x y a2 7 
 2 2
d) Ta có: x x 1 x x 5 5 x 1 
 x x 1 2 5 x 1 2 x x 5 x 1 2 x 5 x x 5
 x 5 x 1 2 x x 5 x2 3x 1
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x x 4 x 6 x 10 128 b) x4 6x3 7x2 6x 1
Giải
a) Ta có: x x 4 x 6 x 10 128
 x x 10 x 4 x 6 128
 x2 10x x2 10x 24 128 (*)
Đặt x2 10x 12 t , khi đó phương trình (*) trở thành:
 t 12 t 12 128 t 2 144 128 t 2 16 t 4 t 4 
 x2 10x 8 x2 10x 16 x 2 x 8 x2 10x 8 
b) Giả sử x 0 ta có: 4 3 2 2 2 6 1 
 x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 
 x x 
 1 6 
 x2 x2 6x 7
 2 (*)
 x x 
 1 1
Đặt t x thì x2 t 2 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
 x x2
 1 6 
 x2 x2 6x 7 x2 t 2 2 6t 7
 2 
 x x 
 2
 2 2 2 1 2 2
 x t 3 xt 3x x x 3x x 3x 1 
 x 
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
 x4 6x3 7x2 6x 1 x4 6x3 2x2 9x2 6x 1 
 2
 x4 2x2 3x 1 3x 1 2 x2 3x 1 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
 2 2
a) x2 y2 z2 x y z xy yz zx 
 2 2 4
b) 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 x y z x y z 
Giải
 2 2
a) Ta có: x2 y2 z2 x y z xy yz zx 
 2 2 2 2 2 2 2
 x y z 2 xy yz zx x y z xy yz zx (*)
Đặt a x2 y2 z2 , b xy yz zx , khi đó phương trình (*) trở thành:
 a a 2b b2 a2 2ab b2 a b 2
 2
 2 2 2 
 x y z xy yz zx 
b) Ta có:
 2
 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 x y z 2 x y z 4
Đặt a x4 y4 z4 , b x2 y2 z2 , c x y z , khi đó ta có:
 2
 2a b2 2bc2 c4 2a 2b2 b2 2bc2 c4 2 a b2 b c2 (1)
Mặt khác ta có:
 2
 a b2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 x4 y4 z4 x4 y4 z4 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2 
 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 
 b c2 x2 y2 z2 x y z 2
 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 
 2 xy yz zx 
Do đó:
 2
(1) 2 a b2 b c2 
 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 8x2 yz 8xy2 z 8xyz2
 8xyz x y z 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
 3 3 3 2 2
a) x y y z z x b) a b c a b c 4c2
Giải
a) Đặt x y a , y z b , z x c a b c 0 khi đó ta có:
 x y 3 y z 3 z x 3 a3 b3 c3
 a b 3 3a2b 3ab2 c3
 a b c a b 2 a b c c2 3a2b 3ab2 3ab a b 
 3 x y y z x y y z 3 x y y z x z 
 2 2
b) Ta có: a b c a b c 4c2
 a b c 2 a b c 2c a b c 2c 
 a b c 2 a b 3c a b c a b c a b c a b 3c 
 a b c 2a 2b 2c 2 a b c a b c 
Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 4x 3 b) 6x2 11x 3
c) x3 2x2 5x 4 d) x2 4y2 2x 4xy 4y
Giải a) Ta có: x2 4x 3 x2 x 3x 3
 x x 1 3 x 1 x 1 x 3 
b) Ta có: 6x2 11x 3 6x2 2x 9x 3
 2x 3x 1 3 3x 1 3x 1 2x 3 
c) Ta có: x3 2x2 5x 4 x3 x2 x2 x 4x 4
 x2 x 1 x x 1 4 x 1 x 1 x2 x 4 
d) Ta có: x2 4y2 2x 4xy 4y x2 4xy 4y2 2x 4y
 x 2y 2 2 x 2y x 2y x 2y 2 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x2 4x 1 b) 2x3 5x 3
c) 2x3 x2 6x d) 2x3 x2 13x 6
Giải
a) Ta có: 3x2 4x 1 3x3 3x x 1
 3x x 1 x 1 x 1 3x 1 
b) Ta có: 2x3 5x 3 2x3 2x2 2x2 2x 3x 3
 2x2 x 1 2x x 1 3 x 1 x 1 2x2 2x 3 
c) Ta có: 2x3 x2 6x x 2x2 x 6 
 x 2x2 4x 3x 6 x 2x x 2 3 x 2 x 2x 3 x 2 
d) Ta có: 2x3 x2 13x 6 2x3 4x2 5x2 10x 3x 6
 x 2 2x2 5x 3 x 2 2x2 x 6x 3 
 x 2 x 2x 1 3 2x 1 x 2 2x 1 x 3 
Lưu ý: Khi thực hiện tách đa thức để nhóm thành các nhân tử chung ta có thể thực hiện 
các bước như sau:
Bước 1: Thực hiện nhẩm nghiệm của đa thức
(thường các nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn).
Ví dụ: 3x2 4x 1 , với x 1 thay vào ta được 3 4 1 0 x 1 là nghiệm của đa thức.
Bước 2: Thực hiện tách đa thức để có nhân tử chung là nghiệm của đa thức.
Ví dụ: Thực hiện tách đa thức để có x 1 là nhân tử chung