Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 4: Chia đa thức một biến đã sắp xếp (Có đáp án)

 1
 ĐS8-C1-CD4-CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
 A.BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
 Phương pháp:Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta làm như sau: Chia mỗi hạng tử của A cho 
 B rồi cộng các kết quả với nhau.
 Bài 1: Thực hiện phép tính
 xy
 a) 2xy3 4x2 y2 : xy b) 3x2 y2 x3 y2 5x2 y :
 2
 c) 5x4 y2 x3 y2 2x2 y : x2 y d) xy 3 3 xy 2 z 2 xy 5 : yx 2
 Giải
 a) Ta có:
 2xy3 4x2 y2 : xy 2xy3 : xy 4x2 y2 : xy 2y2 4xy
 xy
 b) Ta có: 3x2 y2 x3 y2 5x2 y :
 2
 2 2 xy 2 2 xy 3 xy 2
 3x y : x y : 5x y : 6xy 2x y 10x
 2 2 2 
 c) Ta có: 5x4 y2 x3 y2 2x2 y : x2 y 
 5x4 y2 : x2 y x3 y2 : x2 y 2x2 y : x2 y 5x2 y xy 2
 d) Ta có: xy 3 3 xy 2 z 2 xy 5 : yx 2
 xy 3 3 xy 2 z 2 xy 5 : xy 2
 xy 3 : xy 2 3 xy 2 z : xy 2 2 xy 5 : xy 2 
 xy 3z 2 xy 3
 Bài 2: Thực hiện phép tính
 a) 3 x y 2 2 x y 3 : y x 2 b) 2 x y 3 x2 y2 2xy : x y 
 c) 4 x 3y 3 : 3x 9y d) x3 27y3 : 3y x 
 e) 18x4 y3 24x3 y4 12x3 y3 : 3x2 y3 f) 4 x y 5 2 x y 3 3 x y 2 : y x 2
 Giải
 a) Ta có: 3 x y 2 2 x y 3 : y x 2 2
 3 x y 2 2 x y 3 : x y 2
 3 x y 2 : x y 2 2 x y 3 : x y 2 3 2 x y 
 b) Ta có: 2 x y 3 x2 y2 2xy : x y 
 2 x y 3 x y 2 : x y 
 2 x y 3 : x y x y 2 : x y 
 2 x y 2 x y 
 3 3 4 2
 c) Ta có: 4 x 3y : 3x 9y 4 x 3y :3 x 3y x 3y 
 3
 d) Ta có: x3 27y3 : 3y x x 3y x2 3xy 9y2 : x 3y 
 x2 3xy 9y2 
 e) Ta có: 18x4 y3 24x3 y4 12x3 y3 : 3x2 y3 
 18x4 y3 : 3x2 y3 24x3 y4 : 3x2 y3 12x3 y3 :3x2 y3 6x2 8xy 4x
 f) Ta có: 4 x y 5 2 x y 3 3 x y 2 : y x 2
 4 x y 5 2 x y 3 3 x y 2 : x y 2
 4 x y 5 : x y 2 2 x y 3 : x y 2 3 x y 2 : x y 2
 4 x y 3 2 x y 3
 B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA
 Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp:
 Bài 1: Thực hiện phép chia:
 a) 3x 3 5x 2 9x 15 : 3x 5 b) 5x 4 9x 3 2x 2 4x 8 : x 1 
 c) 5x 3 14x 2 12x 8 : x 2 d) x 4 2x 3 2x 1 : x 2 1 
 Bài 2: Thực hiện phép chia:
 a) x 3 2x 2 15x 36 : x 4 
 b) 2x 4 2x 3 3x 2 5x 20 : x 2 x 4 
 c) 2x 3 11x 2 18x 3 : 2x 3 
 Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia: 3
 Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:
 a) 5x 2 3x 3 15 9x : 5 3x b) 4x 2 x 3 20 5x : x 4 
 c) x 2 6x 3 26x 21 : 3 2x d) 2x 4 13x 3 15 5x 21x 2 : 4x x 2 3 
 Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:
 a) 13x 41x 2 35x 3 14 : 5x 2 
 b) 16x 2 22x 15 6x 3 x 4 : x 2 2x 3 
 c) 6x 2x 3 5 11x 2 : x 2x 2 1 
 Dạng 3: Tìm x, biết:
 2
 4 3 3 2 2 1 
 a) 4x 3x : x 15x 6x : 3x 0 b) x x : 2x 3x 1 : 3x 1 0
 2 
 c) 42x 3 12x : 6x 7x x 2 8 d) 25x 2 10x : 5x 3 x 2 4
 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:
 a) 24x 5 9x 3 15x 2 : 3x
 b) 5x 4 12x 3 13x 2 : 2x 
 c) 8x 5 x 3 2x 2 : 2x 2
 d) 16x 6 21x 4 35x 2 : 7x 2 
 Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia:
 Bài 1: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
 a) x 2 2x 1 : x 1 
 b) 8x 3 27 : 2x 3 
 c) 2x 4 8x 2 8 : 4 2x 2 
 d) 125 8x 3 : 4x 10 
 Bài 2: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
 a) x 8 2x 4y 4 y 8 : x 2 y2 
 b) 64x 3 27 : 16x 2 12x 9 
 c) x 3 9x 2 27x 27 : x 2 6x 9 
 Dạng 6: Tìm đa thức M biết:
 a) x 3 5x 2 x 5 x 5 .M
 b) x 2 4x 3 .M 2x 4 13x 3 14x 2 15x
 c) 2x 6 x 4 2x 2 1 M . 2x 2 1 
 d) x 2 x 1 .M x 4 x 3 4x 2 5x 3 
 Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với: 4
 a) A x 3 9x 2 17x 25 a và B x 2 2x 3
 b) A x 4 7x 3 10x 2 a 1 x b a và B x 2 6x 5
 LỜI GIẢI CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
 Dạng 1: Thực hiện phép chia:
 Bài 1: Thực hiện phép chia:
 a) 3x 3 5x 2 9x 15 : 3x 5 x 2 3
 b) 5x 4 9x 3 2x 2 4x 8 : x 1 5x 3 14x 2 12x 8
 c) 5x 3 14x 2 12x 8 : x 2 5x 2 4x 4
 d) x 4 2x 3 2x 1 : x 2 1 x 2 2x 1
 Bài 2: Thực hiện phép chia:
 a) x 3 2x 2 15x 36 : x 4 x 2 6x 9 
 b) 2x 4 2x 3 3x 2 5x 20 : x 2 x 4 2x 2 5 
 c) 2x 3 11x 2 18x 9 : 2x 3 x 2 4x 3 
 Dạng 2: Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi tính:
 Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:
 a) 5x 2 3x 3 15 9x : 5 3x b) 4x 2 x 3 20 5x : x 4 
 3x 3 5x 2 9x 15 : 3x 5 x 3 4x 2 5x 20 : x 4 
 x 2 3 x 2 5
 c) x 2 6x 3 26x 21 : 3 2x d) 2x 4 13x 3 15 5x 21x 2 : 4x x 2 3 
 6x 3 x 2 26x 21 : 2x 3 2x 4 13x 3 21x 2 5x 15 : x 2 4x 3 
 3x 2 4x 7 2x 2 5x 5
 Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:
 a) 13x 41x 2 35x 3 14 : 5x 2 
 35x 3 41x 2 13x 14 : 5x 2 
 7x 2 11x 7 5
 b) 16x 2 22x 15 6x 3 x 4 : x 2 2x 3 
 x 4 6x 3 16x 2 22x 15 : x 2 2x 3 
 x 2 4x 5
 c) 6x 2x 3 5 11x 2 : x 2x 2 1 
 2x 3 11x 2 6x 5 : 2x 2 x 1 
 x 5
 Dạng 3: Tìm x, biết:
 2
 2 1 
 b) x x : 2x 3x 1 : 3x 1 0
 2 
 4 3 3 2 
 a) 4x 3x : x 15x 6x : 3x 0 1 1 
 x 3x 1 0
 ( 4x 3) (5x 2) 0 
 2 4 
 x 1 0 5 3
 x 0
 x 1 2 4
 3
 x 
 10
 c) 42x 3 12x : 6x 7x x 2 8 d) 25x 2 10x : 5x 3 x 2 4
 7x 2 2 (7x 2 14x) 8 0 5x 2 3x 6 4 0
 14x 6 0 8x 4 0
 6 1
 x x 
 14 2
 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:
 b) 5x 4 12x 3 13x 2 : 2x
 a) 24x 5 9x 3 15x 2 : 3x 
 4 2 5 3 2 13 
 3x. 8x 3x 5x : 3x 2x . x 6x x : 2x 
 2 2 
 8x 4 3x 2 5x
 5 13
 x 3 6x 2 x
 2 2
 c) 8x 5 x 3 2x 2 : 2x 2 d) 16x 6 21x 4 35x 2 : 7x 2 
 2 3 1 2 2 16 4 2 2
 2x . 4x x 1 : 2x 7x x 3x 5 : 7x 
 2 7 
 1 16
 4x 3 x 1 x 4 3x 2 5
 2 7
 Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép:
 Bài 1: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức: 6
 2
 a) x 2x 1 : x 1 b) 8x 3 27 : 2x 3 
 2
 x 1 : x 1 2x 3 . 4x 2 6x 9 : 2x 3 
 x 1 4x 2 6x 9
 3
 4 2 2 d) 125 8x : 4x 10 
 c) 2x 8x 8 : 4 2x 
 5 2x . 25 10x 4x 2 : 2 2x 5 
 2 x 4 4x 2 4 : 2 2 x 2 
 2 
 2 2x 5 . 25 10x 4x : 2 2x 5
 2 2 
 2 x : 2 x
 25 10x 4x 2 : 2
 2 x 2 
 25 2 
 5x 2x 
 2 
 Bài 2: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
 a) x 8 2x 4y 4 y 8 : x 2 y2 
 2 3 2
 x 4 y 4 : x 2 y2 b) 64x 27 : 16x 12x 9 
 2 3
 2 2 3 2
 2 2 2 2 4x 3 : 16x 12x 9 
 x y : x y 
 2 2
 2 4x 3 16x 12x 9 : 16x 12x 9 
 x 2 y2 x 2 y2 : x 2 y2
 4x 3
 2
 x 2 y2 x 2 y2 
 c) x 3 9x 2 27x 27 : x 2 6x 9 
 3 2
 x 3 : x 3 
 x 3
 Dạng 6: Tìm đa thức M biết:
 a) x 3 5x 2 x 5 x 5 .M
 M x 3 5x 2 x 5 : x 5 
 M x 3 5x 2 x 5 : x 5
 M x 2 x 5 x 5 : x 5
 M x 5 x 2 1 : x 5
 M x 2 1
 b) x 2 4x 3 .M 2x 4 13x 3 14x 2 15x
 M 2x 4 13x 3 14x 2 15x : x 2 4x 3 
 M x 2 4x 3 . 2x 2 5x : x 2 4x 3 
 M 2x 2 5x
 c) 2x 6 x 4 2x 2 1 M . 2x 2 1 
 M 2x 6 x 4 2x 2 1 : 2x 2 1 
 M 2x 6 x 4 2x 2 1 : 2x 2 1
 M 2x 2 1 . x 3 1 : 2x 2 1 
 M x 3 1 7
 d) x 2 x 1 .M x 4 x 3 4x 2 5x 3
 M x 4 x 3 4x 2 5x 3 : x 2 x 1 
 M x 2 x 1 . x 2 2x 3 : x 2 x 1 
 M x 2 2x 3
 Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với:
 a) A x 3 9x 2 17x 25 a và B x 2 2x 3
 Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a 4 . Vì A chia hết cho B nên 
 a 4 0 a 4
 b) A x 4 7x 3 10x 2 a 1 x b a và ?i
 Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a 2 x a b 5 . Vì A chia hết cho 
 B nên a 2 x a b 5 0 với mọi giá trị x.
 a 2 0 a 2
 Hay 
 a b 5 0 b 3
 D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
 Dạng 1: Thực hiện phép tính
 Bài 1: Thực hiện phép chia.
 a) x3 x2 5x 3 : x 3 
 b) 2x3 5x2 2x 3 : 2x2 x 1 
 c) 2x3 11x2 18x 3 : 2x 3 
 d) 2x3 9x2 5x 41 : 2x2 x 9 
 Bài 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia.
 a) x2 6x3 26x 21 : 3 2x 
 b) 2x4 13x3 15 5x 21x2 : 4x x2 3 
 c) x3 10 3x5 2x2 7x4 : 5 x2 
 d) 9 4x2 2x4 3x3 : 3 2x 
 Dạng 2: Tính nhanh
 Bài 3: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện các phép chia sau:
 a) x2 2x 1 : x 1 
 b) 8x3 27 : 2x 3 
 c) x6 6x4 12x2 8 : 2 x2 
 d) 1 3x2 3x6 x9 : 1 x3 8
 Bài 4: Thực hiện nhanh các phép chia:
 a) x2 6xy 9y2 : x 3y 
 2
 b) x3 9x2 y 27xy2 27y3 : 3y x 
 c) x4 2x2 y2 y4 : x2 2xy y2 
 d) x2 y2 6x 9 : x y 3 
 Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước
 Bài 5: Tìm đa thức M biết:
 a) x3 5x2 x 5 x 5 .M
 b) x2 4x 3 .M 2x4 13x3 14x2 15x
 Bài 6: Cho P x x4 ax3 5a2 x2 12a3 x . Chia P x cho Q x 0 được thương 
 S x x2 3ax a2 và dư R x 14a3 x . Tìm Q x .
 Bài 7: Xác định đa thức f x thỏa mãn cả ba điều kiện sau:
 a) Khi chia cho x 1 dư 4
 b) Khi chia cho x 2 dư 1
 c) Khi chia cho x 1 x 2 thì được thương là 5x2 và còn dư.
 Dạng 4: Tìm điều kiện để phép chia hết (có dư)
 Bài 8: Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với:
 a) A x4 x3 6x2 x a và B x2 x 5
 b) A x4 9x3 21x2 ax b và B x2 x 2
 Bài 9: Tìm giá trị a sao cho:
 a) 2x2 ax 1 chia cho x 3 dư 4.
 b) ax5 4x4 9 chia hết cho x 1
 Bài 10: Tìm a và b biết đa thức x3 ax b khi chia cho đa thức x 1 dư là 4, còn khi chia 
 cho đa thức x 5 dư là 112.
 Bài 11: Tìm số nguyên n để 2n2 n 2 chia hết cho 2n 1.
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
 Bài 1: Thực hiện phép chia.
 a) x3 x2 5x 3 : x 3 x2 2x 1
 b) 2x3 5x2 2x 3 : 2x2 x 1 x 3
 c) 2x3 11x2 18x 3 x2 4x 3 2x 3 12
 d) 2x3 9x2 5x 41 2x2 x 9 x 5 x 4
 Bài 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia.
 a) x2 6x3 26x 21 : 3 2x 
 Sau khi sắp xếp ta có phép chia sau: 6x3 x2 26x 21 : 2x 3 3x2 4x 7
 b) 2x4 13x3 15 5x 21x2 : 4x x2 3 
 Sau khi sắp xếp ta có phép chia sau: 2x4 13x3 21x2 5x 15 : x2 4x 3 2x2 5x 5
 c) x3 10 3x5 2x2 7x4 : 5 x2 9
 Sau khi sắp xếp ta có phép chia sau: 
 3x5 7x4 x3 2x2 10 x2 5 3x3 7x2 16x 33 80x 155
 d) 9 4x2 2x4 3x3 : 3 2x 
 Sau khi sắp xếp ta có phép chia sau: 2x4 3x3 4x2 9 : 2x 3 x3 2x 3
 Bài 3: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện các phép chia sau:
 a) x2 2x 1 : x 1 
 2
 Ta có: x2 2x 1 : x 1 x 1 : x 1 x 1
 b) 8x3 27 : 2x 3 
 Ta có: 8x3 27 : 2x 3 2x 3 4x2 6x 9 : 2x 3 4x2 6x 9
 c) x6 6x4 12x2 8 : 2 x2 
 Ta có: 
 x6 6x4 12x2 8 : 2 x2 x2 2 x4 4x2 4 : 2 x2 x4 4x2 4 x4 4x2 4
 d) 1 3x3 3x6 x9 : 1 x3 
 3 6 9 3 3 3 3 3 2
 Ta có: 1 3x 3x x : 1 x 1 x : 1 x 1 x 
 Bài 4: Thực hiện nhanh các phép chia:
 a) x2 6xy 9y2 : x 3y 
 2
 Ta có: x2 6xy 9y2 : x 3y x 3y : x 3y x 3y
 2
 b) x3 9x2 y 27xy2 27y3 : 3y x 
 2 3 2
 Ta có: x3 9x2 y 27xy2 27y3 : 3y x x 3y : 3y x x 3y
 c) x4 2x2 y2 y4 : x2 2xy y2 
 Ta có: 
 2
 x4 2x2 y2 y4 : x2 2xy y2 x2 y2 : x y 2 x y 2 x y 2 : x y 2 x y 2
 d) x2 y2 6x 9 : x y 3 
 Ta có: 
 x2 y2 6x 9 : x y 3 x 3 2 y2 : x y 3 x 3 y x 3 y : x y 3 x 3 y
 Bài 5: Tìm đa thức M biết:
 a) x3 5x2 x 5 x 5 .M
 Thực hiện phép chia x3 5x2 x 5 cho x 5 thu được kết quả x2 1 .
 Vậy M x2 1
 b) x2 4x 3 .M 2x4 13x3 14x2 15x
 Thực hiện phép chia 2x4 13x3 14x2 15x cho x2 4x 3 thu được kết quả 2x2 5x .
 Vậy M 2x2 5x
 Bài 6: Cho P x x4 ax3 5a2 x2 12a3 x . Chia P x cho Q x 0 được thương 
 S x x2 3ax a2 và dư R x 14a3 x . Tìm Q x .
 Giải:
 Ta có: P x Q x .S x R x . 10
 x4 ax3 5a2 x2 12a3 x Q x . x2 3ax a2 14a3 x
 x4 ax3 5a2 x2 12a3 x 14a3 x Q x . x2 3ax a2 
 x4 ax3 5a2 x2 2a3 x Q x . x2 3ax a2 
 Q x x4 ax3 5a2 x2 2a3 x : x2 3ax a2 
 Q x x2 2ax
 Bài 7: Xác định đa thức f x thỏa mãn cả ba điều kiện sau:
 a) Khi chia cho x 1 dư 4
 b) Khi chia cho x 2 dư 1
 c) Khi chia cho x 1 x 2 thì được thương là 5x2 và còn dư.
 Giải:
 Từ điều kiện c) ta thấy đa thức chia có bậc 2 nên đa thức dư có bậc không quá 1.
 Vậy f x 5x2 x 1 x 2 ax b . Lần lượt cho x các giá trị riêng x 1; x 2 ta được:
 f 1 a b 4 ; f 2 2a b 1 .
 Suy ra a 1;b 3.
 Vậy f x 5x2 x 1 x 2 x 3 5x4 5x3 10x2 x 3
 Bài 8: Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với:
 a) A x4 x3 6x2 x a và B x2 x 5
 Thực hiện A chia cho B được đa thức dư a 5 . Vì A chia hết cho B nên a 5 0 a 5
 b) A x4 9x3 21x2 ax b và B x2 x 2
 Thực hiện A chia cho B được đa thức dư a 1 x b 30 . Vì A chia hết cho B nên 
 a 1 x b 30 0 với mọi giá trị x .
 a 1 0 a 1
 Hay 
 b 30 0 b 30
 Bài 9: Tìm giá trị a sao cho:
 a) 2x2 ax 1 chia cho x 3 dư 4.
 Thực hiện phép chia 2x2 ax 1cho x 3 ta được dư là 3a 19 .
 Theo đề bài thì dư 4 nên 3a 19 4 a 5
 b) ax5 4x4 9 chia hết cho x 1
 Thực hiện phép chia ax5 4x4 9 cho x 1 ta được dư là a 5 .
 Để phép chia là chia hết thì a 5 0 a 5
 Bài 10: Tìm a và b biết đa thức x3 ax b khi chia cho đa thức x 1 dư là 4, còn khi chia 
 cho đa thức x 5 dư là 112.
 Giải: Đặt A x3 ax b
 Vì A chia cho x 1dư 4, ta viết thành A x 1 .P 4 .
 Tại x 1 ta có: 1 a b 0.P 4 1 a b 4 b 3 a (1)
 Tương tự ta có: 53 5a b 112 5a b 13 0 (2)
 Thay (1) vào (2) ta được 5a 3 a 13 0 .
 Giải ra a 4 , thay vào (1) tìm được b 7 .
 Bài 11: Tìm số nguyên n để 2n2 n 2 chia hết cho 2n 1.
 Giải: Thực hiện phép chia 2n2 n 2 cho 2n 1 ta được thương là n 1 và dư 3.