Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 1: Phân thức đại số (Có đáp án)

 ĐS8-C2-CD1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 A
• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng với A và B là các đa 
 B
thức, B khác đa thức 0.
 A
Chú ý: Trong phân thức , đa thức A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay 
 B
mẫu).
 A C
• Hai phân thức và gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.
 B D
Ta viết:
 A C
 = nếu A.D = B.C.
 B D
Chú ý: * Các tính chất về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.
* Các giá trị của chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hay 
không xác định.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa
Phương pháp:
 A
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng với A và B là các đa 
 B
thức, B khác đa thức 0.
 A
Chú ý: Trong phân thức , đa thức A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay 
 B
mẫu).
Bài 1. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định x 2 x 1 5
a) b) c) 
 x x 3 9 x
 1
 x 4
 x 3 8 x
d) e) f) 5 
 1 3
 2x 10 x 4 6 x
 2 2
Bài 2. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định
 x 4 9 x2 2x 7 2x 1
a) b) c) d) 
 x 1 x 3 x2 1 x2 x x2 4x 4
Dạng 2. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa
Phương pháp giải: Thực hiện theo 3 bước:
Bước 1. Lựa chọn 1 trong 3 cách biến đổi thường dùng sau:
Cách 1. Biến đổi vế trái thành vế phải.
Cách 2. Biến đổi vế phải thành vế trái.
Cách 3. Biến đổi đồng thời hai vê'.
Bước 2. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
Bước 3. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân từ chung và sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau 
nếu cần, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của x 
 7 6 x 8 x2 2x 11
a) b) c) d) 
 x2 5 x 1 2 4 x2 2x 9 x2 4x 5
Bài 4. Chứng minh 
 2
 3y 6xy x y 3x x y 
a) b) 
 4 8x 3x 9 x2 x y 
 2x2 4x 2x x 1 x2 4x 3
c) d) 
 x 2 2 x 2 x 3 x2 6x 9 x 2 8 x3 x2 y2 2xy 1 x y 1
e) f) 
 x x x2 2x 4 x2 y2 2x 1 x y 1
Dạng 3. Tìm đa thức trong đẳng thức
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử ở hai vế;
Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.
Bài 5. Tìm đa thức A trong các đẳng thức sau
 A x A x2 y2
a) b) 
 x2 4 x 2 x y x y
 x2 x 1 1 x2 1 x3 1 x x2
c) d) 
 x A A x
 x2 2xy y2 A x2 2xy y2 A
e) f) 
 x y x2 y2 x y x2 y2
Bài 6. Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống 
 3x 15 ... x 1 x2 x
a) b) 
 2x 10 2 x 1 ...
 x ... x 1 ...
c) d) 
 x 4 x2 16 x 3 x2 9
Dạng 4. Tìm x để giá trị phân thức bằng 0
Phương pháp giải
-Đặt đk cho mẫu khác 0, rút ra đk của x (*)
-Nhân mẫu thức với 0 vế phải để triệt tiêu mẫu
-Cho tử = 0 để tìm giá trị của x so sánh với đk (*) kết luận giá trị của x
Bài 7. Tìm giá trị của x để giá trị của các phân thức sau bằng 0 x 3 3x 6 5x2 125 x2 4x 4
a) b) c) d) 
 x 3 x2 2 x2 1 x2 4x 5
Dạng 5. Chứng minh đẳng thức có điều kiện.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau (xem 
phần Tóm tắt lý thuyết);
Bước 2. Thu gọn biểu thức và dựa vào điều kiện đề bài cho để lập luận.
 P R P R
Bài 8. Cho hai phân thức và thỏa mãn = và P ≠ Q.Chứng minh: R ≠ S và 
 Q S Q S
 P R
 . 
 Q P S R
 P Q R S P R P R
Bài 9. Chứng minh đẳng thức và hai phân thức và thỏa mãn = .
 Q S Q S Q S
 A C E A C E A C E A
 Bài 10. Cho hai phân thức , và thỏa mãn . Chứng minh: . 
 B D F B D F B D F B
 HƯỚNG DẪN
Bài 1. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định
 x 2
a) có nghĩa khi x 0 
 x
 x 1
b) có nghĩa khi x 3 0 x 3
 x 3
 5
c) có nghĩa khi 9 x 0 x 9
 9 x
 x 3
d) có nghĩa khi 2x 10 0 x 5 
 2x 10
 8 x 1
e) có nghĩa khi x 4 0 x 8
 1
 x 4 2
 2 1
 x 4 3
f) 5 có nghĩa khi 6 x 0 x 4
 3
 6 x 2
 2
Bài 2. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định
 x 4 x 1
a) có nghĩa khi x 1 x 3 0 
 x 1 x 3 x 3
 9
b) có nghĩa khi x2 1 0 x 1 
 x2 1
 2
 x 2x 7 2 x 0
c) 2 có nghĩa khi x x 0 
 x x x 1
 2x 1
d) có nghĩa khi x2 4x 4 0 x 2 
 x2 4x 4
Bài 3. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của x 
 7
a) x2 0,x x2 5 5,x 
 x2 5
 6 x 2 2
b) x 1 0,x x 1 4 4,x 
 x 1 2 4
 2
 8 x 2
c) x2 2 x 9 x 1 8 8,x 
 x2 2x 9
 2x 11 2
d) x2 4 x 5 x 2 1 1;x 
 x2 4x 5
Bài 4. Chứng minh 
 3y 6xy
a) 3y.8x 24xy 
 4 8x
 4.6xy 24xy 2
 x y 3x x y 2
b) x y .9 x2 x y 9x2 x y 
 3x 9 x2 x y 
 2 2
3x.3x x y 9x2 x y 
 2
 2x 4x 2x 2 3 2
c) 2 2x 4x x 2 2x 8x 8x 
 x 2 x 2
 2
 x 2 .2x 2x4 8x3 8x 
 2
 x 1 x 4x 3 2 2
d) 2 x 1 x 6x 9 x 1 x 3 
 x 3 x 6x 9
 2 2
 x 3 x 4x 3 x 3 x 1 
 x 2 8 x3
e) x 2 .x. x2 2x 4 x x 2 x2 2x 4 
 x x x2 2x 4 
 x. 8 x3 x 2 x x2 2x 4 x x 2 x2 2x 4 
 x2 y2 2xy 1 x y 1
f) 
 x2 y2 2x 1 x y 1
 x2 y2 2xy 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 
 x2 y2 2x 1 x y 1 x 1 y x 1 y x y 1 
Bài 5. Tìm đa thức A trong các đẳng thức sau
 A x 2
a) 2 x. x 4 A. x 2 A x. x 2 
 x 4 x 2
 2 2
 A x y 2
b) x y x2 y2 A. x y A x y 
 x y x y
 1 x3 1 x x2
c) 1 x3 .x A. 1 x x2 A x. 1 x 
 A x 2 2
 x 2xy y A 2 2 2 2 3
d) 2 2 x 2xy y . x y A. x y A x y 
 x y x y
Bài 6. Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống 
 3x 15 ...
a) . Đa thức cần điền: 3 
 2x 10 2
 x 1 x2 x
b) . Đa thức cần điền: x2 x 
 x 1 ...
 x ...
c) . Đa thức cần điền: x2 4x 
 x 4 x2 16
 x 1 ...
d) . Đa thức cần điền: x2 2x 3 
 x 3 x2 9
Bài 7. Tìm giá trị của x để giá trị của các phân thức sau bằng 0.
 x 3 x 3
a) x 3 0 x 3 0 x 3 
 x 3 x 3
 3x 6 3x 6
b) 0 3x 6 0 x 2
 x2 2 x2 2
 5x2 125 5x2 125
c) 0 5x2 125 0 x 5
 x2 1 x2 1
 x2 4x 4 x2 4x 4
d) 0 x2 4x 4 0 x 2
 x2 4x 5 x2 4x 5
Bài 8. Xuất phát từ điều cần chứng minh P(S + R) = R(Q + P) 
 P R
Rút gọn còn PS = RQ hay (đúng với giả thiết).
 Q S
Bài 9. Tương tự 8.
Bài 10. Tương tự 8. Rút gọn còn CB - EB = DA - FA.Mà 
 A C A E
 A.D B.C, A.F B.E ĐPCM.
 B D B F PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 1
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
 1 2x 1 1
a) với x ≠ -2 và x ≠ .
 x 2 2x2 3x 2 2
 y2 5y 4 y2 3y 2
b) với y ≠ 2 và y ≠ 4.
 y 4 y 2
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
 3a2 10a 3 3 1
a) a với a ≠ 3;
 2(a 3) 2 2
 b2 3b 9 b 2
b) với b ≠ 2 và b ≠ 3.
 b3 27 b2 5b 6
Bài 3. Tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
 A 2x2 3x 3
a) với x ≠ ± ;
 2x 3 4x2 9 2
 b2 3b b2 3b 3
b) với b và b 3 .
 2b2 3b 9 A 2
Bài 4. Tìm đa thức B trong mỗi đẳng thức sau:
 2y 1 1 1
a) với y ; y 1 và y 3;
 (y 3)B y2 4y 3 2
 a 1 B
b) và a 2 .
 a2 2a 4 a3 8
Bài 5. Tìm một cặp đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức:
 (x 1)P (x 1)Q
 với x 2.
 x2 4 x2 4x 4
 x2 1 x 1
Bài 6. Cho đẳng thức: với x 2;1;3. 
 (x2 2x 1) (x2 x 6)B
Hãy tìm một cặp đa thức A và B thỏa mãn đẳng thức trên. 3 2x 1
Bài 7. a) Tìm GTNN của phân thức: 
 14
 4x2 4x
 b) Tìm GTLN của phân thức: 
 15
Bài 8. Tìm GTLN của các phân thức:
 5 3
 a) b) 
 x 2 + 2x + 2 2x - 5 + 2
 HƯỚNG DẪN
Bài 1. 
 2x 1 1
a) Biến đổi VP VT ĐPCM.
 (2x 1)(x 2) x 2
b) Biến đổi được:
 (y 1)(y 4) (y 1)(y 2)
VT y 1 và VP y 1. 
 y 4 y 2
Từ đó suy ra ĐPCM.
Bài 2.
 Tương tự 1. Chú ý rằng:
a) 3a2 – 10a + 3 = (3a – 1)(a – 3).
b) b3 – 27 = (b – 3)(b2 + 3b + 9) và b2 – 5b + 6 = (b – 2)(b – 3).
Bài 3.
 a) 
 A x(2x 3)
Cách 1. Ta có: 
 2x 3 (2x 3)(2x 3)
 A x
 A x. 
 2x 3 2x 3 (2x2 3x)(2x 3) x(2x 3)(2x 3)
Cách 2. Ta có: A x 
 4x2 9 (2x 3)(2x 3)
 A x. 
b) 
 b(b 3) b(b 3) b b(b 3)
Cách 1. Ta có: 
 (2b 3)(b 3) A 2b 3 A
 1 b 3
 A 2b2 9b 9. 
 2b 3 A
 (b2 3b)(2b2 3b 9)
Cách 2. Ta có: A 
 b2 3b
Từ đó tìm được: A = 2b2 + 9b + 9.
Bài 4. 
Tương tự 3. Chú ý rằng:
a) y2 – 4y + 3 = (y – 1)(y – 3 ). Tìm được: B = 2y2 – 3y + 1.
b) a3 – 8 = (a – 2)(a2 + 2a + 4). Tìm được: B = a2 – 3a + 2.
Bài 5. 
 (x 1)P (x 1)Q (x 1)(x 2)
Biến đổi P Q. 
 (x 2)(x 2) (x 2)2 (x 1)(x 2)
Chọn Q = (x + 1)(x – 2) P = (x – 1)(x + 2).
Bài 6. 
Tương tự 5. Chú ý rằng:
x2 - 2x +1 = (x - 1)2; x2 - x -6 = (x + 2)(x - 3)
 x 1
 B A . Chọn A = (x + 2)(x - 3) B = x-1.
 (x 2)(x 3)
Bài 7.