Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 2: Tính chất cơ bản của phân thức (Có đáp án)

 CHỦ ĐỀ 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất cơ bản của phân thức
* Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân 
thức bằng phân thức đã cho. Ta có:
 A A.M
 B B.M
với M là đa thức khác đa thức 0.
* Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức 
bằng phân thức đã cho. Ta có:
 A A: N
 B B : N
với N là một nhân tử chung của cả A và B.
2. Quy tắc đối dấu
* Nếu đổi dấu cà tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:
 A A
 .
 B B
* Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức 
đã cho. Ta có:
 A A A
 .
 B B B
IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế; 
Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm. Bài 1: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:
 A 2x3 4x2
a. , x 2; 
 x 2 x2 4
 5 x y 5x2 5y2
b. , x y 
 3 A
 x2 8 2x3 16x 1
c. , x 0, x 
 2x 1 A 2
 y x x y
d. , x 2 
 2 x A
Bài 2: Tìm bộ ba đa thức A, B,C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:
 A B C
 , x 1, x 3. 
 x 3 x2 4x 3 x3 27
Bài 3: Tìm bộ ba đa thức A, B,C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:
 A x 1 B C
 , x 2 
 x2 4x 4 x2 4 x3 8
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp 
tùy theo yêu cầu đề bài; 
Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa về phân thức 
mới thỏa mãn yêu cầu.
Bài 4: Tìm một phân thức mới có tử thức là đa thức 1 2x và có giá trị bằng phân thức 
 12x2 12x 3
 , x 2, x 5 
 6x 3 5 x 
 1
Bài 5: Biến đổi phân thức thành một phân thức có mẫu thức là đa thức 4x2 x 3 và giá trị 
 4x 3
 3
của hai phân thức bằng nhau với x 1; x 
 4 x 4 x2 16 1
Bài 6: Biến đổi cặp phân thức và , x , x 0, x 4 thành cặp phân thức mới có 
 2x 3x 1 3
cùng tử thức và bằng phân thức ban đầu.
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.
Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn từng phân thức;
Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính.
Bài 7: Tính giá trị phân thức sau:
 x2 2x 3
a. A , x 1 tại 3x 1 0
 x2 2x 1
 x 2
b. B , x 2; x 3 tại x2 4 0 
 x2 5x 6
Bài 8: Với giá trị x thỏa mãn 2x2 7x 3 0 , tính giá trị của các phân thức sau:
 x2 2x 1
a. 
 2x2 x 1
 x3 27
b. 
 x2 2x 3
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh. 
Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai
 A C
phân thức bằng nhau: nếu A.D = B.C
 B D
Bài 9: Các cặp phân thức sau có bằng nhau không. Vì sao? a 3 a 6
a. ; với x 4; x 8 
 a 4 a 8
 9x 6 3x2 3x 3 2
b. ; với x 1; x 
 3x2 3x 2x 2 x3 1 3
 x2 1 x2 2x 3
Bài 10: Cho cặp phân thức và với x 1;2;4 
 x2 3x 4 x2 x 2
a. Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?
b. Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.
Dạng 5: Toán nâng cao.
 A C
Bài 11: Cho hai phân thức và . Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu có dạng 
 B D
 A' C ' A' A C ' C
 và thỏa mãn điều kiện ; .
 E E E B E D
 HƯỚNG DẪN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn từng phân thức thì ta có
 A 2x2
a) A 2x2 
 x 2 x 2
 5 x y 5 x y x y 
b) A 3 x y 
 3 3 x y 
 x2 8 2x(x2 8)
c) A 2x 2x 1 
 2x 1 A
 y x (y x)
d) A x 2
 2 x A
Bài 2:
 A B C
 , x 1, x 3.
 x 3 (x 3)(x 1) x2 3x 9 (x 3)
 A B C
 , x 1, x 3. Chọn A 1 C x2 3x 9; B x 1 
 1 (x 1) x2 3x 9 Bài 3:
Tương tự bài 2 ta rút gọn và chọn A x 2 B (x 1)(x 2);C x 1 x2 2x 4 
Bài 4:
 12x2 12x 3 3(2x 1)2 2x 1 1 2x
 A , x 2, x 5
 6x 3 5 x 3 2x 1 5 x 5 x x 5
Bài 5:
 1 B B
 B x 1
 4x 3 4x2 x 3 4x 3 x 1 
 x 1
Vậy phân thức cần tìm là 
 4x2 x 3
Bài 6:
 x 4 x 4 x 4 x2 16
 Và ta giữ nguyên biểu thức thứ 2
 2x 2x x 4 2x x 4 
 x2 16 1
 , x , x 0, x 4
 3x 1 3
Bài 7:
 x2 2x 3 x 3
 A 
 x2 2x 1 x 1
 1
Thay x A 2 
 3
 2 x 2(loai) x 2 1
b) ta có x 4 0 B 2 
 x 2(tm) x 5x 6 x 3
 1
Với x 2 B 
 5
Bài 8:
 x 3
 2
 2x 7x 3 0 1
 x 
 2 1 2
 a) x 1; do vậy chỉ có x 3là thỏa mãn A 
 2 7
 1 43
 b) x 1;3 do vậy ta chỉ nhận x B 
 2 6
Bài 9:
 a 3 a 6
a) ; ta xét tích chéo a 3 (a 8) a2 5a 24 ; a 4 a 6 a2 2a 24 do vậy hai 
 a 4 a 8
phân thức không bằng nhau.
 9x 6 3 3x2 3x 3 3(x2 x 1) 3
b) ; 
 3x2 3x 2x 2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 x 1
Bài 10:
 x2 1 x 1 x 1 x 1 x2 2x 3 x 1 x 3 x 3
 ; 
 x2 3x 4 x 1 x 4 x 4 x2 x 2 x 1 x 2 x 2
a) Hai phân thức trên không bằng nhau với mọi x
 x 1 x 3 7
b) ta xét x 
 x 4 x 2 4
Bài 11:
 A AD C CB
Với hai phân thức và , để ta thấy ta nhân cả tử và mẫu của hai phân thức trên với 
 B BD D BD
đa thức M 0 thì ta luôn được mẫu số E BD.M . Do có vô số đa thức M nên ta có vô số phân 
thức cùng mẫu bằng hai phan thức đã cho.
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 1: Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:
 5 x y 5x2 5y2
a) với x y; 
 3 ...
 2a3 4a2 ...
b) với a 2. 
 a2 4 a 2 Bài 2: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 
 6b2 9b 3b 3
a) với b ; 
 4b2 9 A 2
 n m m n
b) với m 2.
 2 m A
 x2 2xy y2 A
Bài 3: Dùng tích chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức A biết: 
 x y y2 x2
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.
 4x 3
Bài 4: Cho phân thức . Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó và có tử thức 
 x2 5
là đa thức A 12x2 9x.
 8x2 8x 2
Bài 5: Biến đổi phân thức thành một phân thức bằng nó và có tử thức là 
 4x 2 15 x 
 A 1 2x 
Bài 6: Dùng tích chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân 
thức bằng nó và có cùng tử thức:
 3 x 1 x 5 x2 25
a) và b) và 
 x 2 5x 4x 2x 3
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.
Bài 7: Tính giá trị của phân thức:
 2x 2
a) với x 1 tại x 1 
 x2 2x 1
 3x2 3x
b) với x 1 tại x 2 
 x2 1
 x2 1 1
Bài 8: Tính giá trị của phân thức: với x 1; x tại 3x 1 0 
 2x2 3x 1 2
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. 9x 6 3x2 3x 3 2
Bài 9: Cho cặp phân thức và với x 1 và x . Chứng tỏ cặp 
 3x2 3x 2x 2 x3 1 3
phân thức trên bằng nhau.
 y2 5y 6 2y2 5y 3 1
Bài 10: Cho hai phân thức và với y 2 và y . Cặp phân thức này có 
 3y 6 6y 3 2
bằng nhau hay không?
Dạng 5: Toán nâng cao.
 x2 1 x2 2x 3
Bài 11: Cho cặp phân thức và với x 1; x 2 và x 4. 
 x2 3x 4 x2 x 2
a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?
b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.
Bài 12: Tính giá trị của phân thức:
 x2 1 1
 a) với x 1 và x tại 2x 1 3;
 2x2 3x 1 2
 3x2 10x 3
 b) với x 2; x 3 tại x2 8x 15 0.
 x2 4x 3 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 1:
 2 2
 5 x y 5 x y x y 5 x y 5x2 5y2
a) Ta có: 3 3 x y 3 x y 3 x y . 
 2a3 4a2 2a2 a 2 2a2
 ... 2a2
b) Ta có: a2 4 a 2 a 2 a 2 
Bài 2:
 6b2 9b 3b 2b 3 3b 2b 3 3b
a) Ta có: A 2b 3
 4b2 9 2b 2 32 2b 3 2b 3 2b 3
 n m m n m n
b) Ta có: A m 2 .
 2 m 2 m m 2
Bài 3: 
Ta có: 
 2 2 2 2 2 2 3
 x 2xy y y 2xy x y x y x y x y x 3
 A x y 
 x y x y y x y x . y x y2 x2
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.
Bài 4:
 4x 3 4x 3 .3x 12x2 9x
Ta có: 
 x2 5 x2 5 .3x 3x3 15x
Bài 5:
 2 2
 8x2 8x 2 2 4x 4x 1 2 2x 1 2x 1 1 2x
Ta có: .
 4x 2 15 x 2 2x 1 15 x 2 2x 1 15 x 15 x x 15
Bài 6: 
 3 3. x 1 3x 3
a) Ta có: 
 x 2 x 2 x 1 x2 x 2 x 1 x 1 .3 3x 3
Ta có: 
 5x 5x.3 15x
 x 5 x 5 . x 5 x2 25
b) Ta có: 
 4x 4x. x 5 4x2 20x
 x2 25
Ta có: .
 2x 3
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức
Bài 7: 
 2x 2 2 x 1 2
a) Ta có: A .
 x2 2x 1 x 1 2 x 1
 2 2
Thay x 1 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: A 1.
 x 1 1 1
 3x2 3x 3x x 1 3x
b) Ta có: B 
 x2 1 x 1 x 1 x 1
 3x 3. 2 
Thay x 2 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được: B 2 .
 x 1 2 1
Bài 8: 
 1
Ta có: 3x 1 0 x 
 3
 x2 1 x 1 x 1 x 1
Ta có: C 
 2x2 3x 1 x 1 2x 1 2x 1
 1
 1
 1 x 1
Thay x ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức C ta được: C 3 4.
 1
 3 2x 1 2. 1
 3
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.
Bài 9:
 9x 6 9x 6 9x 6 3 3x 2 3
Ta có: 1 
 3x2 3x 2x 2 3x2 3x 2x 2 3x2 x 2 x 1 3x 2 x 1