Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 6: Phép cộng các phân thức đại số (Có đáp án)

 ĐS8-C2-CD6. PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên 
mẫu thức.
2. Quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân 
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Cộng xác phân thức đại số thông thường
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số nêu trong phần Tóm 
tắt lý thuyết.
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
 x2 4x 4
a) với x 2; 
 6x 12 6x 12
 3a 7 2a 2
b) với a 0 và b 0 .
 5a2b 5a2b
Bài 2. Cộng các phân thức sau:
 11y 6 3y 6 1
a) với y ; 
 4y2 1 4y2 1 2
 mn 3n 7mn 3n
b) với m 0 và n 0 .
 2m2n3 2m2n3
Bài 3. Thực hiện phép cộng các phân thức sau:
 u 10 u 18 u 2 1
a) với u ; 
 u 2 u 2 u2 4 2 2 x 5 2y x 7
b) với x 0 và y 0 .
 2x2 y2 8x3 y2 4x3 y
Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
 1 x 2 x 1
a) với x 1; 
 x 1 x2 1 x2 2x 1
 1 p q
b) với q 2 p. 
 2 p q 4 p2 q2 8p3 q3
Dạng 2. Cộng các phân thức đại số có sử dụng quy tắc đối dấu
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước
 A A
Bước 1. Áp dụng Quy tắc đổi dấu phân thức: ; 
 B B
Bước 2. Thưc hiện tương tự Dạng 1.
Bài 5. Sử dụng quy tắc đổi dấu để thực hiện các phép tính sau:
 3x2 x x 2 3 2x2
a) với x 1; 
 x 1 1 x x 1
 2 4 5y 2
b) với y 2. 
 y 2 y 2 4 y2
Bài 6. Thực hiện phép cộng các phân thức sau:
 2 a2 a 2a2 7 5a
a) với a 3; 
 a 3 3 a a 3
 3 3b 3b 1 11b 5 1
b) với b 0 và b . 
 2b 2b 1 2b 4b2 2
Bài 7. Cộng các phân thức sau:
 1 1 v
a) và v 4;
 v2 8v 16 8v v2 16 v2 16
 m m 4mn
b) với m 2n;
 m 2n m 2n 4n2 m2
Bài 8. Thực hiện các phép tính sau. x2 2 3 1
a) với x 1;
 x3 1 x2 x 1 1 x
 r 1 32r 2 1 r
b) với r 0 và r s. 
 r 2 rs s2 r 2 r 2 rs
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức tổng các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Thực hiện phép cộng các phân thức đại số tương tự Dạng 1 và Dạng 2
Bước 2.Thay giá trị của biến vào phân thức và tính
Bài 9. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
 x2 2 x 5 50 5x
 tại x = -2
 5x 25 x x x 5 
 2 2 4x
Bài 10. Cho biểu thức A với x 0 và x 1.
 x2 x 1 x2 x 1 x3
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức tại x = 2.
Dạng 4. Giải toán đố có sử dụng phép cộng các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Thiết lập các biểu thức theo yêu cầu của đề bài;
Bước 2. Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết.
Bài 11. Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600 m3 
đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình x m 3/ 
ngày và đội đào được 5000m3. Sau đó công việc ổn định hơn, năng xuất của máy tăng 25 m3/ 
ngày.
a) Hãy biểu diễn:
 * Thời gian xúc 5000 m3 đầu tiên; * Thời gian làm nốt phần việc còn lại;
 * Thời gian làm việc để hoàn thành công việc.
b) Tính thời gian làm việc để hoàn thành công việc với x = 250 m3/ngày.
Bài 12. Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó, nó nghỉ lại 
tại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70 km. Vận 
tốc của dòng nước là 5 km/h. Vận tốc riêng của con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng) 
là x km/h.
a) Hãy biểu diễn qua x:
 * Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì;
 * Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội;
 * Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc 
ngược dòng của con tàu là 20 km/h.
 HƯỚNG DẪN
Bài 1. 
 (x 2)2 x 2 5a 9
a) Ta được: ; b) Ta được: . 
 6(x 2) 6 5a 2b
Bài 2. 
 14y 8mn 4
a) Ta được: ; b) Ta được: . 
 4y2 1 2m2n3 mn2
Bài 3. 
a) Gợi ý: u2 – 4 = (u – 2)(u + 2). 
b) Mẫu chung = 8x3y2. 4x2 8x 12y 2xy 5
Rút gọn thu được .
 8x3 y2
Bài 4. 
a) Gợi ý: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1); x2 – 2x + 1 = (x – 1)2;
Mẫu chung = (x + 1)(x – 1)2;
 3x2 x 2
Rút gọn thu được . 
 (x 1)(x 1)2
b) Gợi ý: 4p2 – q = (2p – q)(2p + q);
8p3 + q3 = (2p + q)(4p2 – 2pq + q2);
Mẫu chung = (2p – q)(4p2 – 2pq + q2);
 4 p3 q3 6 p2q 3pq2 2 pq q2
Rút gọn thu được . 
 (2 p q)(2 p q)(4 p2 2 pq q2 )
Bài 5.
 x 2 x 2 (x 1)2
 a) Gợi ý: Rút gọn thu được x 1; 
 1 x x 1 x 1
 5y 2 5y 2
b) Gợi ý: y2 – 4 = (y – 2)(y + 2) và ; 
 4 y2 y2 4
 y 2 1
Rút gọn được . 
 (y 2).(y 2) y 2
Bài 6. 
 a 2a2 2a 2 a
a) Gợi ý: ; 
 3 a a 3
 (a 3)2
Rút gọn thu được a 3. 
 a 3
 11b 5 5 11b
b) Gợi ý: 2b – 4b2 = 2b(1 – 2b); ; 
 2b 4b2 2b(2b 1) 4b 2 1
Rút gọn được: . 
 2b(2b 1) b
Bài 7. 
a) Gợi ý: v2 + 8v + 16 = (v + 4)2;
8v – v2 – 16 = -(v – 4)2
v2 – 16 = (v – 4)(v + 4);
 v3 32v
Rút gọn được . 
 (v2 16)2
b) Gợi ý 4n2 – m2 = (2n – m)(2n + m);
 2m(m 2n) 2m
Rút gọn được . 
 (2n m)(2n m) n 2n
Bài 8. 
 1 1
a) Gợi ý: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1); ; 
 1 x x 1
 2x 2 2
Rút gọn được . 
 (x 1)(x2 x 1) x2 x 1
 32r2 32r2
b) Gợi ý: ;MC r(r s)(r s); 
 s2 r 2 r 2 s2
 r( 32r2 2s 2) 32r2 2s 2
Rút gọn được . 
 r(r s)(r s) (r s)(r s)
 x3 10x2 25x x(x 5)2 x 5
Bài 9. Rút gọn được . 
 5x(x 5) 5x(x 5) 5
Thay x = -2 thu được giá trị biểu thức là 0,6.
Bài 10.
 2
 a) Rút gọn được . 
 x(x 1)(x2 x 1) 1
b) Thay x = 2 vào biểu thức thu gọn được giá trị . 
 7
Bài 11. 
a) Gợi ý công thức
Khối lượng công việc = thời gian làm việc x năng suất
Các biểu thức thu được là
 5000
* (ngày);
 x
* Thời gian làm phần còn lại = (khối lượng công việc còn lại) / (năng suất mới), được biểu 
 6600
thức (ngày)
 x 25
 5000 6600
* Tổng thời gian (ngày); (3)
 x x 25
b) Thay x = 250 vào biểu thức (3) được 44 ngày.
Bài 12. 
a) Công thức chuyển động: s = v.t
(s: quãng đường; v: vận tốc; t: thời gian).
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng;
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng;
Các biểu thức thu được lần lượt là:
 70
* (giờ).
 x 5
 70
* (giờ).
 x 5
 70 70
* + + 2 (giờ). (*)
 x 5 x 5 47
b) giờ = 7 giờ 50 phút.
 6
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
 x 4 10 8x 7x 2 2 8xy 3x y 6x 4y 3xy 4 7 12x 4x 3
a) b) c) d) 
 14 14 24xy 24xy 3x y 3x y 25xy 25xy 25xy
Bài 2: Thực hiện phép tính:
 3 2a 2 x2 2xy 3y2 xy 2y2 3xy
a) b) 
 5 2a 2a 5 x y y x x y
 6b 3 2bx 2ax 6a 3 x2 2 x 2
c) d) 
 a2 b2 b2 a2 x3 2x2 x 2x2 x3 x
Bài 3: Thực hiện phép tính:
 2x 2ax 3x a 2b 2x 1 3x 2y 2 2 3 2 3x2 xy x
a) b) c) d) 
 3 3a ab ax x b xy x y y 1 x x2 y 1 
Bài 4: Thực hiện phép tính:
 5 7 2x 2x 9 2 x 4y 1 2x 5
a) b) c) d) 
 x 2 x2 4 9 4x2 2x 3 2y2 xy x2 2xy x2 x 2x2 2
Bài 5: Tìm x biết:
 2 3 2 3x 2 1
a) 0 (với x 3) b) (với x )
 x 3 x2 9 9x2 6x 1 1 9x2 1 3x 3x 1 2 3
Bài 6: Thực hiện phép tính:
 2 x 1 3 a2 b2 2a b a 1 22 7x 5
a) b) c) 
 x 2 x2 4 x 2 a 2 2b ab b 1 9x 18 72 18x2 12x 24
Bài 7: Thực hiện phép tính:
 5b 3 a 1 4a 2 5 2x 3 4x2 3 x2 2x 2x 1
a) b) c) 
 9a2b 5ab3 15a3b 2x 2x 1 8x2 4x x3 1 x2 x 1 x 1
Bài 8: Thực hiện phép tính: 1 1 x 2x 1 32x2 1 2x x4
a) b) c) x3 x2 x 1 
 x2 6x 9 6x x2 9 x2 9 2x2 x 1 4x2 2x2 x 1 x
Bài 9: Thực hiện phép tính:
 4 3 3 1 2 3
a) b) 
 y x z x y x y z y z x z x2 3x 2 x2 12x 35 x2 7x 10
Bài 10: Cho ba số a;b;c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ 
thuộc vào a;b;c :
 bc ac ab
 a b a c b a b c c a c b 
 2x2 3x 12 A B C
Bài 11: Tìm các số A; B;C để: 
 x 3 3 x 3 3 x 3 2 x 3
 Lời giải
Bài 1: Thực hiện phép tính:
 x 4 10 8x x 4 10 8x 7x 14 7 x 2 x 2
a) 
 14 14 14 14 14 2
 7x 2 2 8xy 7x 2 2 8xy 7x 8xy x 7 8y 7 8y
b) 
 24xy 24xy 24xy 24xy 24xy 24y
 3x y 6x 4y 3x y 6x 4y 9x 3y 3 3x y 
c) 3 
 3x y 3x y 3x y 3x y 3x y
 3xy 4 7 12x 4x 3 3xy 4 7 12x 4x 3 3xy 8x x 3y 8 3y 8 8 3y
d) 
 25xy 25xy 25xy 25xy 25xy 25xy 25y 25y
Bài 2: Thực hiện phép tính:
 3 2a 2 3 2 2a 3 2 2a
a) 1 
 5 2a 2a 5 5 2a 5 2a 5 2a
b) 
 x2 2xy 3y2 xy 2y2 3xy x2 2xy xy 3y2 2y2 3xy x2 2xy xy 3y2 2y2 3xy
 x y y x x y x y x y x y x y x2 y2
 x y 
 x y
 6b 3 2bx 2ax 6a 3 3 6b 2bx 2ax 6a 3 3 6b 2bx 2ax 6a 3
c) 
 a2 b2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2
 a b 6 2x 2x 6
 b2 a2 a b
 x2 2 x 2 x2 2 2 x x x 1 1
d) 
 x3 2x2 x 2x2 x3 x x3 2x2 x x x 1 2 x 1
Bài 3: Thực hiện phép tính:
 2x 2ax 3x 2ax 2ax 3x x
a) 
 3 3a 3a a
 a 2b 2x 1 a 2b 2x a 2
b) 
 ab ax x b a b x a
 3x 2y 2 2 3x 2y 2y 2x 5
c) 
 xy x y xy y
 3 2 3x2 xy x 3x2 2x y 1 3x2 xy x 2xy x 1 2y
d) 
 y 1 x x2 y 1 x2 y 1 x2 y 1 x y 1 
Bài 4: Thực hiện phép tính:
 5 7 2x 5 x 2 7 2x 3x 3
a) 
 x 2 x2 4 x2 4 x2 4
 2x 9 2 2x 9 2 2x 3 2x 3 1
b) 
 9 4x2 2x 3 4x2 9 4x2 9 2x 3
 x 4y x 4y x2 4y2 x 2y
c) 
 2y2 xy x2 2xy y 2y x x x 2y xy 2y x xy
 1 2x 5 1 2x 5 2 x 1 x 2x 5 x2 3x 2
d) 
 x2 x 2x2 2 x x 1 2 x2 1 2x x2 1 2x x2 1 
Bài 5: Tìm x biết: