Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 8: Phép trừ các phân thức đại số (Có đáp án)

 ĐS8-C2-CD8. PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phân thức đối
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
 A A
- Phân thức đối của của là . 
 B B
2. Quy tắc trừ hai phân thức đại số
 A C A C
Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thúc đối của , cụ thể như sau:
 B D B D
 A C A C 
 .
 B D B D 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Thực hiện phép tính có sử dụng quy tắc trừ các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Áp dụng quy tắc trừ các phân thức đại số đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết;
Bước 2. Thực hiện tương tự phép cộng các phân thức đại số đã học trong Bài 5.
Bài 1. Làm tính trừ các phân thức sau:
 2x 1 4x 1
a) với x 0 và y 0 ;
 5x2 y 5x2 y
 y 8 2
b) với y 0 và y 4. 
 y2 16 y2 4y
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
 ab a2
a) với a b; 
 a2 b2 b2 a2
 1 36u 18 1
b) với u 0 và u . 
 u 6u2 36u2 1 6 Bài 3. Trừ các phân thức sau:
 x 1 1 x 2x(1 x)
a) với x 5; 
 x 5 x 5 25 x2
 m4 4m2 3
b) m2 1 với m 1. 
 m2 1
Bài 4. Thực hiện phép trừ các phân thức sau:
 1 u2 2
a) 1 với u 1; 
 u2 u 1 u3 1
 4x 2 x
b) với x 3. 
 (x 3)(x 2 9) x2 6x 9 x2 9
Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn yêu cầu
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế;
Bước 2. Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm.
Bài 5. Tìm phân thức P thỏa mãn đẳng thức sau:
 4 2 2x2 4x
 P , với x 0 và x 1.
 x2 x 1 1 x x3 1
Bài 6. Tìm phân thức Q thỏa mãn điều kiện:
 2a 6 6 2a2
 Q , với a 1 và a 3.
 a3 3a2 a 3 a 3 1 a2
 1 1 3
Bài 7. Chứng minh: . Từ đó, tính nhanh biểu thức:
 x x 3 x(x 3)
 1 1 1
 M ... ,
 x(x 3) (x 3)(x 6) (x 12)(x 15)
với các mẫu thỏa mãn 0 .
 1 1 1
Bài 8. Chứng minh: .Áp dụng để tính nhanh biểu thức sau:
 q q 1 q(q 1) 1 1 1
 N ... , với các mẫu thỏa mãn 0 .
 q(q 1) (q 1)(q 2) (q 5)(q 6)
Dạng 3. Giải toán đố có sử dụng phép trừ các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Thiết lập các biểu thức theo yêu cầu của đề bài;
Bước 2. Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ các phân thức đại số đã học.
Bài 9. Một công ty may mặc phải sản xuất 10.000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những 
đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.
a) Hãy biểu diễn qua x:
- Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch;
- Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày;
- Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.
Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25.
Bài 10. Nếu mua lẻ thì giá một chiếc bút bi là x đồng. Nhưng nếu mua từ 10 bút trả lên thì giá mỗi 
chiếc rẻ hơn 100 đồng. Cô Dung dùng 180 000 đồng để mua bút cho văn phòng. Hãy biểu diễn qua x:
 - Tổng số bút mua được khi mua lẻ;
 - Số bút mua được nếu mua cùng một lúc, biết rằng giá tiền một bút không quá 1200 đồng;
 - Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ.
 HƯỚNG DẪN
Bài 1. Làm tính trừ các phân thức
 2x 1 4x 1 2x 1 4x 1 2
a) Ta có 
 5x2 y 5x2 y 5x2 y 5xy
 y 8 2 y 8 2 y 2
b) Ta có 
 y2 16 y2 4y (y 4)(y 4) y(y 4) y(y 4)
Bài 2. Tương tự 1. ab a2 a
 a) 
 a2 b2 b2 a2 a b
 1 36u 18 1 6u
 b) 
 u 6u2 36u2 1 u(1 6u)
Bài 3. Trừ các phân thức sau:
 x 1 1 x 2x(1 x) x 1 1 x 2x(1 x)
 a) Ta có 
 x 5 x 5 25 x2 x 5 x 5 (x 5)(x 5)
 (x 1)(x 5) (1 x)(x 5) 2x(1 x) 2
 (x 5)(x 5) x 5
 m4 4m2 3 (m2 1)(m2 1) m4 4m2 3 4(m2 1)
 b) m2 1 4 
 m2 1 (m 1)(m 1) (m 1)(m 1) (m 1)(m 1)
Bài 4. Tương tự 3. Tìm được
 u x 2
 a) b) 
 u 1 x2 9
 4 2 2x2 4x 2x 2 2
Bài 5. Ta có P 
 x2 x 1 x 1 x3 1 (x 1)(x2 x 1) x2 x 1
 2a
Bài 6. Tương tự 5. Tìm được: Q 
 a 3
 1 1 x 3 x 3
Bài 7. Ta có ĐPCM.
 x x 3 x(x 3) x(x 3) x(x 3)
 Áp dụng, ta có:
 3 3 3
 3M ... 
 x(x 3) (x 3)(x 6) (x 12)(x 15)
 1 1 1 1 1 1
 = ... 
 x x 3 x 3 x 6 x 12 x 15
 1 1 15 5
 M 
 x x 15 x(x 15) x(x 15)
 1 1 6
Bài 8. Tương tự 7. Tìm được: N 
 q q 6 q(q 6) Bài 9. 
a) Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là:
 10000
 (sản phẩm)
 x
 Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày là:
 10000 80
 (sản phẩm)
 x 1
 Số sản phẩm làm thêm trong một ngày là:
 10080 10000 80x 10000
 (sản phẩm)
 x 1 x x(x 1)
 b) Số sản phẩm làm thêm trong một ngày là:
 80x 10000 80.25 10000
 20 (sản phẩm)
 x(x 1) 25(25 1)
Bài 10. Tương tự 9.
 180000
 Tổng bốt bút mua được khi mua lẻ là: (bút)
 x
 180000
 Số bút mua được nếu mua cùng một lúc là: (bút)
 x 100
 18000000
 Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ là: (bút)
 x(x 100)
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
PHIẾU SỐ 1
Dạng 1. Tìm phân thức đối của một phân thức
Câu 1: Tìm phân thức đối của các phân thức:
 2x 3 xy y2 x2 2x 2 x 2
 a) b) . c) . d) . e)
 2 2 
 5 xy x x 1 x 2 
 x2 x
 . 
 x 2 Câu 2: Chứng minh các phân thức sau đối nhau:
 x 2 2 x 2x 1 2x 1 x 2 x 2
 a) và . b) và . c) và 
 x 1 x 1 x3 1 1 x3 x 3 2x 1 x 3 1 2x 
 x2 2x 1 3 2x x2 x2 x 1 2 x
 d) và . e) và . 
 x2 x 2 x2 5x 6 x3 1 x2 3x 2
Dạng 2. Trừ các phân thức cùng mẫu thức
Câu 3: Thực hiện các phép tính sau.
 x2 2 1 x 3 1
 a) . b) .
 x 1 x 1 x2 4 x2 4
 x 2 18 x x 2 5x2 x 4 x2 2x x2 3x 8
c) . d) .
 x 6 x 6 x 6 x3 8 x3 8 x3 8
Câu 4: Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi thực hiện phép tính.
 2x2 x x 1 x2 2 5 1 y
a) . b) . 
 x 1 1 x x 1 y 1 1 y y 1
 4 x2 2x x2 4x 5 2x 9 2 x 1
c) . d) . 
 x 5 5 x x 5 x 6 x 6 6 x
Dạng 3. Trừ các phân thức không cùng mẫu thức 
Câu 5: Thực hiện các phép tính sau.
 2 a 1 3 7 x 7 7x 31
a) . b) . c) .
 2a 2 x 1 2x 2 5 5x 15
 4 4
 2 x y 3x 1 1 2x 9 1
d) x2 y2 . e) . f) . 
 x2 y2 x2 1 x 1 9 4x2 2x 3
Câu 6: Thực hiện các phép tính sau.
 1 1 2x
 a) . b)
 x y x y x2 y2
 x 1 x 1 4
 .
 x 1 x 1 1 x2
 x 1 3 x 4 x
c) . d) 1.
 2x 2 x2 1 2x 2 x2 7x 10 2 x
Câu 7: Thực hiện phép tính
 x2 2xy2 y2
 a) A .
 x y 2 x y x4 2x2 y2 y4 x2 y2 x y 1 1 2 4 8 16
b) B .
 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 1
Câu 8:Với n ¥ * tính các tổng sau:
 1 1 1 1
a) ... .
 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 
 1 1 1 1
b) ... .
 1.5 5.9 9.13 4n 3 4n 1 
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức
Câu 9: Chứng minh rằng nếu tổng hai trong ba số a,b,c khác 0 thì: 
 a b c b c a 2 2
 0 .
 b c a c a c a b b c a b a b a c
 2
Câu 10: Cho các số x, y,z 0 thỏa mãn: x y z x2 y2 z2 . Chứng minh rằng:
 1 1 1 3
 .
 x3 y3 z3 xyz
Dạng 5. Biểu Thị Các Đại Lượng Thông Qua Biến 
Câu 11:Một xe dự định đi từ A đến B dài 180 km trong x giờ (đi với vận tốc đều). Thực tế 
xe đã đi nhanh hơn dự định nên đến B sớm hơn 1 giờ.
a) Hãy biểu diễn theox :
- Vận tốc dự định đi từ A đến B.
- Vận tốc thực tế đã đi.
- Vận tốc tăng thêm so với dự định.
b) Tính vận tốc tăng thêm vớix 4 .
Câu 12:Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km với vận tốc x (km/h). Sau đó 1 
giờ 30 phút một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn, biết rằng vận tốc của xe máy 
gấp 2,5 lần vận tốc của xe đạp. 
a) Biểu diễn theo x : 
- Thời gian của người đi xe đạp đi từ A đến B.
- Thời gian của người đi xe máy đi từ A đến B.
- Thời gian chênh lệch T của người đi xe đạp và người đi xe máy khi đi từ A đến B.
b) Tính T nếu x 12 . HƯỚNG DẪN 
Câu 1: Tìm phân thức đối của các phân thức:
 2x 3 xy y2 x2 2x 2
 a) . b) 2 . c) 2 . 
 5 xy x x 1
 x 2 x2 x
 d) . e) . 
 x 2 x 2
 Hướng dẫn
 2x 3 2x 3 3 2x
 a) Phân thức đối của là: .
 5 5 5
 xy y2 xy y2 y2 xy
 b) Phân thức đối của là: .
 xy x2 xy x2 xy x2
 x2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2
 c) Phân thức đối của là: .
 x2 1 x2 1 1 x2
 x 2 x 2
 d) Phân thức đối của là: .
 x 2 x 2
 x2 x x2 x
 e) Phân thức đối của là: .
 x 2 x 2
Câu 2: Chứng minh các phân thức sau đối nhau:
 x 2 2 x 2x 1 2x 1 x 2
 a) và . b) và . c) và 
 x 1 x 1 x3 1 1 x3 x 3 2x 1 
 x 2
 . 
 x 3 1 2x 
 x2 2x 1 3 2x x2 x2 x 1 2 x
 d) và . e) và . 
 x2 x 2 x2 5x 6 x3 1 x2 3x 2
 Hướng dẫn
 x 2 2 x 2 x 2 x
 a) Do: 0 .
 x 1 x 1 x 1
 2x 1 2x 1
 b) Do: 0 .
 x3 1 1 x3
 x 2 x 2 x 2 x 2
 c) Do: 0.
 x 3 2x 1 x 3 1 2x x 3 2x 1 2
 x2 2x 1 3 2x x2 x 1 3 x 1 x x 1 1 x
 d) Do: 0 .
 x2 x 2 x2 5x 6 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2
 x2 x 1 2 x x2 x 1 2 x 1 1 
 e) Do: 0 .
 x3 1 x2 3x 2 x 1 x2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
Câu 3: Thực hiện các phép tính sau.
 x2 2 1 x 3 1
 a) . b) .
 x 1 x 1 x2 4 x2 4
 x 2 18 x x 2 5x2 x 4 x2 2x x2 3x 8
c) . d) .
 x 6 x 6 x 6 x3 8 x3 8 x3 8
 Hướng dẫn
 x2 2 1 x2 1
a) Ta có: x 1.
 x 1 x 1 x 1
 x 3 1 x 2 1
b) Ta có: .
 x2 4 x2 4 x 2 x 2 x 2
 x 2 18 x x 2 x 2 18 x x 2 3 x 6 
c) Ta có: 3.
 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6
 5x2 x 4 x2 2x x2 3x 8 5x2 x 4 x2 2x x2 3x 8
d) Ta có: 
 x3 8 x3 8 x3 8 x3 8
 2
 3 x 2x 4 3
 .
 x 2 x2 2x 4 x 2
Câu 4: Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi thực hiện phép tính.
 2x2 x x 1 x2 2 5 1 y
a) . b) . 
 x 1 1 x x 1 y 1 1 y y 1
 4 x2 2x x2 4x 5 2x 9 2 x 1
c) . d) . 
 x 5 5 x x 5 x 6 x 6 6 x
 Hướng dẫn
a) Ta có: 
 2
 2x2 x x 1 x2 2 2x2 x x 1 x2 2 2x2 x x 1 x2 2 x 1 
 x 1
 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 5 1 y 5 1 y 6 y
b) Ta có: .
 y 1 1 y y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 c) Ta có: 
 4 x2 2x x2 4x 5 4 x2 2x x2 4x 5 4 x2 2x x2 4x 5 9 6x
 .
 x 5 5 x x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
 2x 9 2 x 1 2x 9 2 x 1 2x 9 2 x 1 x 6
d) Ta có: 1.
 x 6 x 6 6 x x 6 x 6 x 6 x 6 x 6
Câu 5: Thực hiện các phép tính sau.
 2 a 1 3 7 x 7 7x 31
a) . b) . c) . 
 2a 2 x 1 2x 2 5 5x 15
 4 4
 2 x y 3x 1 1 2x 9 1
d) x2 y2 . e) . f) . 
 x2 y2 x2 1 x 1 9 4x2 2x 3
 Hướng dẫn
 2 a 1 2 a a 1
a) Ta có: .
 2a 2 2a a
 3 7 x 3 7 x 6 7 x x 1 1
b) Ta có: .
 x 1 2x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2
 7 7x 31 7 7x 31 7 x 3 7x 31 10 2
c) Ta có: .
 5 5x 15 5 5 x 3 5 x 3 5 x 3 x 3
 2 2
 2 x4 y4 x2 y2 2 x4 y4 x2 y2 
d) Ta có: x2 y2 .
 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 3x 1 1 3x 1 1 3x 1 x 1 2 x 1 2
e) Ta có: .
 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
f) Ta có: 
 2x 9 1 2x 9 1 2x 9 3 2x 2 3 2x 2
 .
 9 4x2 2x 3 3 2x 3 2x 2x 3 3 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 2x
Câu 6: Thực hiện các phép tính sau.
 1 1 2x
 a) . b)
 x y x y x2 y2
 x 1 x 1 4
 .
 x 1 x 1 1 x2
 x 1 3 x 4 x
c) . d) 1.
 2x 2 x2 1 2x 2 x2 7x 10 2 x