Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 4: Giải toán bằng cách lập phương trình (Có đáp án)

 ĐẠI SỐ 8-CHUYÊN ĐỀ 3-CHỦ ĐỀ 4
 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bước 1: Lập phương trình:
 Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
 Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện 
của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
II.BÀI TẬP MINH HỌA
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN
Phương pháp chung
Bước 1: Kẻ bảng nếu được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.
Dạng 1: Toán Chuyển Động
Loại 1.Chuyển động trên bộ
Phương pháp
Bước 1: Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường và điền các thông tin vào bảng đó rồi gọi ẩn, 
kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.
Ví dụ 1.Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược nhau. Xe đi từ A có vận tốc 40 
km/h, xe đi từ B có vận tốc 30 km/h. Nếu xe đi từ B khởi hành sớm hơn xe đi từ A là 6 giờ 
thì 2 xe sẽ gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tìm độ dài quãng đường AB. Ví dụ 2. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở về A người đó tăng 
vận tốc lên 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận 
tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Ví dụ 3. Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc dự định 4 km/h. Sau khi đi được nửa 
quãng đường AB với vận tốc đó, người ấy đi bằng ô tô với vận tốc 30 km/h, do đó đã đến B 
sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.
Ví dụ 4. Một người dự định đi xe đạp từ Ađến B cách nhau 60 km trong một thời gian nhất 
định. Sau khi đi được 30 km người đó đã dừng lại nghỉ 30 phút . Do đó, để đến B đúng 
thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h. Tính vận tốc dự định của 
người đó.
Ví dụ 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. 
Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến đúng hạn xe 
phải tăng tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
Loại 2.Chuyển động trên dòng nước
-Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng của ca nô + vận tốc dòng nước
( viết tắt là vx= vr + vn)
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – vận tốc dòng nước
( viết tắt là vng= vr - vn, chú ý vr > vn )
-Quãng đường = vận tốc x thời gian; Sx= vx.tx; Sng= vng.tng.
Ví dụ 1 :Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30’; ô tô đi hết 2giờ 30’ 
phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.
Ví dụ 2: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng 
một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước 
yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ.
Dạng 2: Toán Năng Suất
-Năng suất là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
-Tổng lượng công việc = Năng suất x thời gian
-Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian -Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất
Ví dụ 1 : Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800 tấm thảm len. 
Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm 
len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len
 Ví dụ 2. Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng 
 suất như nhau. Sau khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 
 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn một ngày. Tính số sản phẩm làm 
 trong mỗi ngày theo quy định.
Ví dụ 3. Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định. Khi 
làm được 50 sản phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn 
năng suất dự định là 2 sản phẩm một ngày. Do đó, để hoàn thành đúng thời gian đã định, 
người thợ đó tăng năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày so với dự định. Tính năng suất dự 
định của người thợ đó.
Dạng 3: Toán Làm Chung Công Việc
Ví dụ 1 . Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc 
 1
làm được của đội 1 bằng 1 phần việc của đội 2 làm được. Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ 
 2
sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?
Ví dụ 2 . Khối 8 một trường THCS có số lớp nhiều hơn 2, tổ chức trồng cây:
 1 1
Lớp thứ nhất trồng 5 cây và số cây còn lại.Lớp thứ hai trồng tiếp 10 cây và số cây còn 
 5 5
 1
lại.Lớp thứ ba trồng tiếp 15 cây và số cây còn lại.Cứ trồng như vậy đến lớp cuối cùng thì 
 5
vừa hết số cây và số cây mỗi lớp trồng được là bằng nhau. Tính số cây mà khối 8 trồng và 
số lớp 8 của khối tham gia trồng cây.
Ví dụ 3. Trong tháng giêng cả hai tổ công nhân cùng sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang 
tháng hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%, do đó cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi 
tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ đã sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Dạng 4: Toán Có Nội Dung Hình Học
Dạng này ta cần ghi nhớ các công thức về chu vi, diện tích của các hình tam hình vuông, hình chữ 
nhật,...
Ví dụ 1. Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính 
rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình bên thì hình 
chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh 
AC của tam giác ABC
Ví dụ 2. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 320m. nếu tăng chiều dài thêm 10m và tăng 
chiều rộng thêm 20m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 2700m2. Tính kích thước của 
hình chữ nhật.
Dạng 5. Dạng toán có chứa tham số
Ví dụ : Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số 
cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vống cho tháng sau.
a. Hãy viết biểu thức biểu thị :
+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.
b. Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, 
thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?
Dạng 6. Toán về tỉ lệ chia phần
Ví dụ 1. Hai đội công nhân cùng tham gia lao động trên một công trường xây dựng. Số 
người của đội I gấp hai lần số người của đội II. Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì 
 4
số người ở đội II bằng số người còn lại ở đội I. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu người?
 5
 1
Ví dụ 2. Học kì I số học sinh của lớp 8A bằng số học sinh của cả lớp. Sang học kì II có ba 
 8
bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa. Do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh của 
cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh giỏi.
Dạng 7. Dạng toán liên quan đến số học. Phương Pháp: Ở chương trình đại số lớp 8, các em cũng thường gặp loại bài tìm một số tự nhiên có 
hai chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi 
giải loại bài này thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan như :
- Cách viết số trong hệ thập phân.
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm ; điều kiện của các chữ số.
Ví dụ 1. “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ 
số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.
Ví dụ 2.Tìm số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5. Biết rằng nếu xóa chữ tận cùng này thì 
được một số mới nhỏ hơn số đầu là 2003 đơn vị.
 37
Ví dụ 3.Cho phân số . Hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử số và mẫu số trừ đi 
 53
 1
m thì được phân số mới bằng .
 3
Dạng 8 : Dạng toán có nội dung vật lý, hóa học
Phương Pháp .Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa 
học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán.
Ví dụ 1 : Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam 
nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối?
Ví dụ 2. Có hai loại thép vụn chứa 5% và 40% nicken. Cần lấy bao nhiêu thép vụn mỗi loại 
để luyện được 140 tấn thép chứa 30% nicken?
LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN Dạng 1: Toán Chuyển Động
Loại 1.Chuyển động trên bộ
Ví dụ 1.Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược nhau. Xe đi từ A có vận tốc 40 
km/h, xe đi từ B có vận tốc 30 km/h. Nếu xe đi từ B khởi hành sớm hơn xe đi từ A là 6 giờ 
thì 2 xe sẽ gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tìm độ dài quãng đường AB.
Giải. Gọi độ dài quãng đường AB là x (km), với x > 0
 x
Vì hai xe gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B nên quãng đường đi được của mỗi xe là 
 2
(km).
 1 x x
Thời gian đi quãng đường AB của xe đi từ A là. = (h)
 2 2.40 80
 1 x x
Thời gian đi quãng đường AB của xe đi từ B là. = (h)
 2 2.30 60
 x x
Theo đề bài ta có phương trình: - = 6 Û x = 1440
 60 80
Vậy quãng đường AB dài 1440 km.
Ví dụ 2. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở về A người đó tăng 
vận tốc lên 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận 
tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Lời giải
 Vận tốc Thời gian Quãng đường
 Lúc đi x 24 24
 x
 Lúc về x 4 24 24
 x 4
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h). Điều kiện: x 0 .
Vận tốc khi từ B trở về A là x 4 (km/h).
 24 24
Thời gian lúc đi và lúc về lần lượt là và (giờ).
 x x 4 1
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút giờ nên ta có phương trình :
 2
 24 24 1 24(x 4) 24x 1 96 1
 x x 4 2 x(x 4) 2 x(x 4) 2
 x2 4x 192 0 x2 4x 4 196 0 x 2 2 196
 x 2 14 x 12 (TM), x 16 (L).
Vậy vận tốc lúc đi là 12 (km/h).
Ví dụ 3. Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc dự định 4 km/h. Sau khi đi được nửa 
quãng đường AB với vận tốc đó, người ấy đi bằng ô tô với vận tốc 30 km/h, do đó đã đến B 
sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.
Lời giải
 13
Đổi 2 giờ 10 phút = giờ
 6
Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km), (x > 0)
Thời gian người đó đi nửa quãng đường AB với vận tốc 4 km/h là
 x x
 : 4 (giờ)
 2 8
Thời gian người đó đi quãng đường còn lại với vận tốc 30 km/h là
 x x
 : 30 (giờ)
 2 60
 13
Theo đề bài, người đó đến B trước 2 giờ 10 phút ( giờ)nên ta có phương trình :
 6
 x x 13
 8 60 6
Giải phương trình, tìm được x = 20 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Trả lời : Quãng đường AB dài 20 km
Ví dụ 4. Một người dự định đi xe đạp từ Ađến B cách nhau 60 km trong một thời gian nhất 
định. Sau khi đi được 30 km người đó đã dừng lại nghỉ 30 phút . Do đó, để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h. Tính vận tốc dự định của 
người đó.
Lời giải
 Vận tốc Thời gian Quãng đường
 Dự định X 60 60
 x
 Thực tế X 30 30
 x
 x + 2 30 30
 x 2
 1
Đổi 30 phút = giờ
 2
Gọi vận tốc dự định là x ( km/h). Điều kiện: x > 0
 60
Thời gian dự định là (giờ)
 x
 30
Thời gian người đó đi 30 km đầu là (giờ).
 x
 30
Thời gian người đó đi 60 – 30 = 30 km còn lại là ( giờ).
 x 2
Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình
 30 30 1 60 30 30 1 60 1
 + + = - = 
 x x 2 2 x x x 2 2 x(x 2) 2
 x2 + 2x - 120 = 0 x2 + 2x + 1 – 121= 0 (x+1)2 = 121
 x+ 1= 11 x= 10 ( thỏa mãn), x= -12 (loại)
Vậy vận tốc dự định là 10 ( km/h)
Ví dụ 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. 
Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến đúng hạn xe 
phải tăng tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
Lời giải
 Vận tốc Thời gian Quãng đường Dự định X 120 120
 x
 Thực tế X 1 x
 x + 6 120 x 120 - x
 x 6
 1
Đổi 10 phút = giờ
 6
Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x ( km/h). Điều kiện: x > 0
 120
Thời gian dự định của ô tô là (giờ).
 x
Trong 1 giờ đầu ô tô đi được x (km) nên quãng đường còn lại là 120 - x (km).
 120 x
Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là (giờ).
 x 6
Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình
 120 x 1 120 120 120 x 7 x2 720 7
 +1+ = - = 
 x 6 6 x x x 6 6 x(x 6) 6
 6(x2+ 720)=7(x2+ 6x) x2 + 42x – 4320 = 0
 ( x – 48 )( x + 90 )= 0
 x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại)
Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48 ( km/h)
Loại 2.Chuyển động trên dòng nước
Ví dụ 1 :Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30’; ô tô đi hết 2giờ 30’ 
phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.
Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ta vẽ sơ đồ minh họa thì 
học sinh dễ hình dung bài toán hơn
Tóm tắt:
Đoạn đường AB 
 A B
t1 = 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ; t2 = 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ
v2 lớn hơn v1 là 20km/h (v2 – v1 = 20) Tính quãng đường AB=?
- Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy)
- Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian.
- Các số liệu đã biết:
+ Thời gian xe máy đi : 3 giờ 30’
+ Thời gian ô tô đi :2 giờ 30’
+ Hiệu hai vận tốc : 20 km/h
- Số liệu chưa biết: vxe máy? vôtô? sAB ?
Cần lưu ý : Hai chuyển động này trên cùng một quãng đường không đổi. Quan hệ giữa các 
đại lượng s, v, t được biểu diễn bởi công thức: s = v.t. Như vậy ở bài toán này có đại 
lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên có thể chọn x (km) là chiều dài 
đoạn đường AB; điều kiện: x > 0
Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại lượng đã biết.
 x
Vận tốc xe máy : (km/h)
 3,5
 x
Vận tốc ôtô : (km/h)
 2,5
Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(v2 – v1 = 20)
 x x
 - = 20
 2,5 3,5
- Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trị này của x phù hợp với điều kiện trên. Vậy 
ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km.
Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài 
toán này còn có vận tốc của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta 
cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô là ẩn.
- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0
Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h)
- Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy 
đi hoặc của ôtô đi).