Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 11: Hình chữ nhật (Có đáp án)

 HH8-C1-CD11. HèNH CHỮ NHẬT
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
• Định nghĩa: Hỡnh chữ nhật là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng.
 Tứ giỏc ABCD là hỡnh chữ nhật
 àA Bà Cà Dà 900. 
* Nhận xột: Hỡnh chữ nhật cũng là một hỡnh bỡnh hành, một hỡnh thang cõn.
* Tớnh chất:
- Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành.
- Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh thang cõn.
- Trong hỡnh chữ nhật, hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
* Dấu hiệu nhận biết:
-Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật.
- Hỡnh thang cõn cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật.
- Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật.
- Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật.
* Áp dụng vào tam giỏc vuụng:
- Trong tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam 
giỏc vuụng.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DANG BÀI MINH HỌA CB-NC
Dạng 1: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh chữ nhật
Phương phỏp giải: Vận dụng cỏc dấu hiệu nhận biết đờ chứng minh một tứ giỏc là hỡnh chữ nhật.
1.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là 
trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA. 
a) Chứng minh EFGH là hỡnh bỡnh hành.
b) Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ?
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại C. Trờn cỏc cạnh AC, BC lần lượt lấy cỏc điểm P, Q sao cho 
 AP CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC M AB . 
a) Chứng minh PM CQ .
b) Chứng minh tứ giỏc PCQM là hỡnh chữ nhật.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC , cỏc trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi P là điểm đối xứng 
của M qua G , gọi Q là điểm đối xứng của N qua G .
a) Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Nếu ABC cõn ở A thỡ tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Dạng 2: Áp dụng tớnh chất hỡnh chữ nhật để chứng minh cỏc tớnh chất hỡnh học.
Phương phỏp giải: Vận dụng định nghĩa và cỏc tớnh chất về cạnh, gúc và đường chộo của hỡnh chữ 
nhật.
Bài 4: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trờn đường chộo BD. Trờn tia đối 
của tia EC lấy điểm F sao cho EF EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuụng gúc với đường thẳng AB 
và AD tại H và K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc AHFK là hỡnh chữ nhật;
b) AF song song với BD; 
c*) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A , đường cao AH . Gọi E, F lần lượt là chõn đường vuụng gúc 
kẻ từ H đến AB, AC .
a) Tứ giỏc EAFH là hỡnh gỡ?
2.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn b) Qua A kẻ đường vuụng gúc với EF , cắt BC ở I . Chứng minh I là trung điểm của BC .
Dạng 3: Vận dụng định lý thuận và định lý đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của 
tam giỏc vuụng.
Phương phỏp giải: Sử dụng định lớ về tớnh chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cả tam giỏc 
vuụng để chứng minh cỏc hỡnh bằng nhau hoặc chứng minh tam giỏc vuụng 
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của 
 AB, AC. Chứng minh:
a) IãHK 900 ; 
b) Chu vi IHK bằng nửa chu vi ABC. 
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cú đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuụng gúc với AC, từ B kẻ tia By 
song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, 
đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H . 
a) Tứ giỏc AMBQ là hỡnh gỡ?
b) Chứng minh rằng CH ⊥ AB. 
c) Chứng minh tam giỏc PIQ cõn.
Dạng 4: Tỡm điều kiện để tứ giỏc là hỡnh chữ nhật
Phương phỏp giải: Vận dụng định nghĩa, cỏc tớnh chất và dấu hiệu nhận biết của hỡnh chữ nhật.
Bài 8: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh 
 AB, BC, CD, DA. Tỡm điều kiện của tứ giỏc ABCD để tứ giỏc EFGH là hỡnh chữ nhật?
Bài 9: Cho tam giỏc ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giỏc. M , N, P, Q lần lượt 
là trung điểm của cỏc đoạn thẳng OB, OC, AC, AB. 
a) Chứng minh tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành.
b) Xỏc định vị trớ của điểm O để tứ giỏc MNPQ là hỡnh chữ nhật.
 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh chữ nhật
3.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là 
trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA. 
a) Chứng minh EFGH là hỡnh bỡnh hành.
b) Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ?
 Bài giải
 A E
 B
 H
 F
 D G C
 EA EB gt 1
a) Ta cú: EF là đường trung bỡnh của BAC EF //AC và EF AC 1 
 FB FC gt 2
 HA HD gt 1
Ta cú: HG là đường trung bỡnh của DAC HG//AC và HG AC 2 
 GC GD gt 2
Từ 1 , 2 suy ra EF //HG và EF HG 
Vậy EFGH là hỡnh bỡnh hành 3 
b) Ta cú: EFGH là hỡnh bỡnh hành.
 EA EB gt 
Ta cú: DE là đường trung bỡnh của ABD HE//BD
 HA HD gt 
 EF //AC
Ta cú: EF  BD
 AC  BD
 EF  BD
Ta cú: EF  HE 4 
 HE//BD
Từ 3 , 4 , suy ra hỡnh bỡnh hành EFGH cú Eà 90o nờn EFGH là hỡnh chữ nhật.
4.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại C. Trờn cỏc cạnh AC, BC lần lượt lấy cỏc điểm P, Q sao cho 
 AP CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC M AB . 
a) Chứng minh PM CQ .
b) Chứng minh tứ giỏc PCQM là hỡnh chữ nhật.
 Bài giải
 A
 P M
 C Q B
a) Ta cú: àA Bà ( vỡ ABC vuụng cõn tại C ) 1 
Vỡ PM //BC nờn Pã MA Bà ( hai gúc đồng vị) 2 
Từ 1 , 2 suy ra àA Pã MA ( vỡ cựng bằng Bà )
 APM cõn tại P AP PM ( hai cạnh bờn bằng nhau)
 AP CQ gt 
Ta cú: PM CQ 
 AP PM
 PM //CQ
b) Ta cú: PCQM là hỡnh bỡnh hành ( tứ giỏc cú một cặp cạnh đối song song và bằng 
 PM CQ
nhau)
Lại cú Cà 90o 
Vậy PCQM là hỡnh chữ nhật.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC , cỏc trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi P là điểm đối xứng 
của M qua G , gọi Q là điểm đối xứng của N qua G .
a) Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
5.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn b) Nếu ABC cõn ở A thỡ tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 Bài giải
 A
 N M
 G
 P Q
 B C
a) Ta cú: 
 GM GP (vỡ P là điểm đối xứng của M qua G ) (1)
 GN GQ ( vỡ Q là điểm đối xứng của N qua G ) (2)
Từ 1 , 2 suy ra MNPQ là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú G là trung điểm của hai đường chộo MP và NQ 
)
b) Nếu ABC cõn tại A thỡ AB AC , khi đú ta cú AMB ANC c.g.c 
 MB NC vỡ thế ta lại cú MP NQ . Từ giỏc MNPQ là hỡnh chữ nhật.
Dạng 2: Áp dụng tớnh chất hỡnh chữ nhật để chứng minh cỏc tớnh chất hỡnh học.
Bài 4: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trờn đường chộo BD. Trờn tia đối 
của tia EC lấy điểm F sao cho EF EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuụng gúc với đường thẳng AB 
và AD tại H và K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc AHFK là hỡnh chữ nhật;
b) AF song song với BD; 
c*) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.
 Bài giải
6.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn K F
 I
 A 2 1 B
 1 H 1
 E
 O
 D C
a) Fã HA Fã KA Hã AK 90o AHFK là hỡnh chữ nhật.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD .
 EF EC gt 
Ta cú: OE là đường trung bỡnh của CAF .
 OA OC
 AF //OE hay AF //BD 
c) Gọi I là giao điểm của AF và HK .
 Hả àA Hả ảA Bà àA KH //AC
Ta cú: 1 1 1 2 1 1 ,
Mà KH đi qua trung điểm I của AF KH đi qua trung điểm của FC .
Mà E là trung điểm của FC K, H, E thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A , đường cao AH . Gọi E, F lần lượt là chõn đường vuụng gúc 
 kẻ từ H đến AB, AC .
a) Tứ giỏc EAFH là hỡnh gỡ?
b) Qua A kẻ đường vuụng gúc với EF , cắt BC ở I . Chứng minh I là trung điểm của BC .
 Bài giải
 A
 F
 E O
 C
 B H I
7.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn àA 90o
 o
a) Ta cú: ãAFH 90 gt EAFH là hỡnh chữ nhật ( vỡ tứ giỏc cú ba gúc vuụng)
 ã o
 AEH 90 gt 
b) Trong tam giỏc AHB ta cú Bà Bã AH 90o , mà Bã AH Hã AF 90o , suy ra Bà Hã AF 1 .
Gọi O là giao điểm hai đường chộo EF và AH của hỡnh chữ nhật AEHF thỡ OA OF , do đú 
 OAF cõn ở O nờn Oã AF Oã FA 2 
Từ 1 và 2 suy ra Bà ãAFE 
Mặt khỏc ta lại cú Bà Cà 90o và IãAC ãAFE 90o , từ đú ta cú IãAC IãCA , do đú AIC cõn tại I 
nờn IA IC . 
Tương tự IB IA, do đú IB IC .
Dạng 3: Vận dụng định lý thuận và định lý đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của 
tam giỏc vuụng.
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của 
 AB, AC. Chứng minh:
a) IãHK 900 ; 
b) Chu vi IHK bằng nửa chu vi ABC. 
 Bài giải
 B
 H
 I
 C
 A K
a) Ta cú BHA vuụng tại H (gt) IH IA IB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB )
 IAH cõn tại I IãHA IãAH ( hai gúc ở đỏy bằng nhau)(1)
8.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn Tương tự Kã HA Hã AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra IãHA Kã HA IãAH Hã AK 90o (gt)
Vậy IãHK 90o .
b) Ta cú: 
 AB
 HI ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giỏc vuụng AHB )(3)
 2
 AC
 IK ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giỏc vuụng AHC )(4)
 2
 AC
 IK ( đường trung bỡnh của tam giỏc ABC )(5)
 2
 AB AC BC AB AC BC P
Từ (3), (4), (5) suy ra : P IH HK IK ABC .
 IHK 2 2 2 2 2
Vậy chu vi IHK bằng nửa chu vi ABC.
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cú đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuụng gúc với AC, từ B kẻ tia By 
song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, 
đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H . 
a) Tứ giỏc AMBQ là hỡnh gỡ?
b) Chứng minh rằng CH ⊥ AB. 
c) Chứng minh tam giỏc PIQ cõn.
 Bài giải
 A
 Q
 P H
 y
 M
 C
 x B I
9.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn ãAQB 90o
 o
a) Ta cú: Mã AQ 90 AMBQ là hỡnh chữ nhật.
 Mã BQ 90o
 AI  BC gt 
b) Ta cú: H là trực tõm của ABC (vỡ H là giao điểm của hai đường cao)
 BQ  AC gt 
Suy ra CH  AB .
c) Ta cú: 
 AB
 PQ ( vỡ PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giỏc vuụng ABQ )
 2
 AB
 PI ( vỡ PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giỏc vuụng AIB )
 2
Từ (1) và (2) suy ra PQ PI  PIQ cõn tại P .
Dạng 4: Tỡm điều kiện để tứ giỏc là hỡnh chữ nhật
Bài 8: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh 
 AB, BC, CD, DA. Tỡm điều kiện của tứ giỏc ABCD để tứ giỏc EFGH là hỡnh chữ nhật?
 Bài giải
 B
 E
 A
 F
 H
 D G C
 EA EB gt 1
Ta cú: EF là đường trung bỡnh của BAC EF //AC và EF AC 1 
 FB FC gt 2
 HA HD gt 1
Ta cú: HG là đường trung bỡnh của DAC HG//AC và HG AC 2 
 GC GD gt 2
Từ 1 , 2 suy ra EF //HG và EF HG 
10.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn