Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 14: Hình thoi (Có đáp án)

 HH8-C1-CD14. HÌNH THOI
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành.
* Tính chất:
- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
- Trong hình thoi:
+ Hai đường chéo vuông góc vói nhau.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.
* Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CB-NC
Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi
Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết
+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, 
BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của 
các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.
Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học
Phương pháp: Sử dụng tính chất và định nghĩa của hình thoi để giải toán
+ Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
-- Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.
-- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Ngoài ra, trong hình thoi có:
-- Hai đường chéo vuông góc với nhau.
-- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Bài 3. Cho hình thoi ABCD có B = 60°. Kẻ AE  DC, AF  BC.
a) Chứng minh AE = AF.
b) Chứng minh tam giác AEF đều.
c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy 
theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ. Chứng minh:
a) M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng;
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thoi.
Bài 5. Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo 
của hình thang.
a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.
b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?
Bài 6. Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, 
cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?
Dạng 4.Tổng hợp
Bài 7. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua 
D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh EF là phân giác của ·AED.
Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a) EFGH là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui.
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt 
AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.
a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh PQ//BC.
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M v à N sao cho 
AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.
a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.
b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ·ABD và ·ACE 
cắt nhau tại O, và lần lượt cắt AC, AB tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H: Chứng 
minh rằng:
a) BN  CM;
b) Tứ giác MNFIK là hình thoi. HƯỚNG DẪN
 Bài 1. Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh 
 được:
 1 1
 EH FG BD và HG EF AC
 2 2
 Mà AC = BD EH = HG = GF= FE nên EFGH là hình thoi.
 Bài 2.Chứng minh AECF là hình bình hành có 2đường chéo vuông 
 góc với nhau có 4 cạnh bằng nhau.
 Bài 3.
 a) Do AC là phân giác của góc D· BC nên AE = FA
 b) Có Bµ = 600 nên ABC và ADC là các tam giác đều 
 E· AC F· AC 300 . Vậy AFE cân và có F· AE 600 nên FAE đều.
 c) EF là đường trung bình của E· AC F· AC 300 DCB
 1
 Vậy FE DB 8cm;
 2
 Chu vi FAE là 24cm
 Bài 4.
 a) Chứng minh được MBPD và BNDQ đều là hình bình hành 
 ĐPCM.
 b) Áp dụng định lý Talet đảo cho ABD và BAC tacos MQ//BD và 
 MN//AC.
 Mà ABCD là hình thoi nên AC  BD MQ  MN
 MNPQ là hình chữ nhật vì có các góc ở đỉnh là góc vuông
 Bài 5.
 a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác cho ABC và 
 DBC ta sẽ có:
 1
 MQ//PN//BC và MQ = PN = BC MPNQ là hình bình hành.
 2
 1
 b) Tương tự ta có QN//MP//AD và QN = MP = AD.
 2
 Nên để MPNQ là hình thoi thì MN  PQ khi đó MN  CD và trung 
 trực hay trục đối xứng của AB và CD.
 hình thang ABCD là hình thang cân. Bài 6.
a) Học suinh tự chứng minh
b) nếu AEDF là hình thoi thì AD là phân giác của F· AE suy ra AD là 
phân giác của B· AC
Bài 7. Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi
 EF là phân giác của ·AED
Bài 8.
a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho BAC và ADC ta có:
 1 1
EF//HG; EF = HG = AC và HE//HG; HE = FG = BD.
 2 2
Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB = BD EFGH là hình thoi.
b) Gọi O = AC  BD O là trung điểm của AC và BD. Chứng minh 
EBGD và BFDH là hình bình hành suy ra AC, BD,EG, FH đồng quy 
tại trung điểm mỗi đường (điểm O).
Bài 9.
a) Vận dụng đinh lý 1 về đường trung bình của tam giác suy ra APMQ 
là hình thoi do có 4 cạnh bằng nhau.
b) Vì PQ  AM mà AM  BC (tính chất tamgiacs cân) nên PQ//BC.
Bài 10.
a) Do AM = DN MADN là hình bình hành
 Dµ ·AMN E· MB M· BC
Ta có MPE = BPE nên EP = FP. Vậy MEBF là hình thoi và 2 điểm 
E, F đối xứng nhau qua AB.
b) Tứ giác MEBF có MB  EF = P; Lại có P trung điểm BM, P là 
trung điểm EF, MB  EF.
 MEBF là hình thoi.
c) Để BNCE là hình thang cân thì C· NE B· EN
Mà
C· NE Dµ M· BC E· BM nên MEB có 3 góc bằng nhau, suy ra điều 
kiện để BNCE là hình thang cân thì ·ABC 600
Bài 11.
a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 1800. ·ABC ·AEC
 N· BD M· CA
 Trong DBN có: N· BD B· ND 900
 Gọi O = CM  BN CM  BN = O (1)
 b) Xét CNK có: CO  KN CO  BN, CO là phân giác ·ACE nên 
 CNK cân ở C O là trung điểm KN (2).
 Tương tự chứng minh được là trung điểm MH (3).
 Từ (1),(2) và (3) suy ra MNHK là hình thoi.
B.PHIẾU BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Dạng 1: Nhận biết tứ giác là hình thoi
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh 
 BC, AB, AC . Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A . Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường 
 Bx / / AC Cy / / AB
thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia và tia . Gọi D là giao điểm của hai tia Bx và 
 Cy . Chứng minh: : tứ giác ACDB là hình thoi.
Bài 3 : Cho ABC cân tại B có đường cao BE . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho
 ED EB . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.
Bài 4: Cho ABC cân tại B . Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của 
 ·ABC tại D . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AD  AC . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của 
 AB , CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.
 ·
Bài 6 : Cho ABC nhọn , đường cao tại AD , BE . Tia phân giác của DAC cắt BE , BC theo 
 ·
thứ tự ở I , K .Tia phân giác của EBC cắt AD , AC theo thứ tự ở M , N . Chứng minh: 
 MINK là hình thoi.
Dạng 2. Sử dụng tính chất hình thoi để tính toán, chứng minh các đoạn thẳng bằng 
nhau, các góc bằng nhau, các đường thẳng vuông góc.
Bài 1. Cho hình thoi ABCD có Bµ 90 . Kẻ BE  AD tại E , BF  DC tại F , DG  AB tại 
 G , DH  BC tại H , BE cắt DG tại M , BF cắt DH tại N . Chứng minh các góc của tứ 
giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD .
Bài 2. Cho ABC có AB AC . Trên cạnh AC lấy D sao cho CD AB . Gọi M , N lần lượt là 
trung điểm của AC , BD . Phân giác của B· AC cắt BC tại I . Chứng minh: AI  MN . Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có µA 90 và AD 2.AB . Kẻ CH  AB có µA 90 Gọi 
 M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Chứng minh: B· AD 2.·AHM
 1 1
Bài 4. Cho hình thoi ABCD . Trên AB , CD lấy E , F sao cho AE AB , CF CD . Gọi 
 3 3
 I là giao điểm của EF và DA , K là giao điểm của DE và BI . Chứng minh:
a) BDI vuông.
b) BK IK .
Bài 5. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O .Lấy E đối xứng với A qua B . Gọi I , K 
lần lượt là giao điểm của DE với AC và BC ; G là giao điểm của OE và BC ; H là giao 
điểm của OK và CE . Chứng minh: A , G , H thẳng hàng.
Bài 6. Cho hình thoi ABCD có AB 25cm , AC BD 70cm . Tính AC , BD ?
Bài 7. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O . Kẻ OH  AB Biết AB 4cm ,OH 1cm . 
Tính các góc của hình thoi?
Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi.
Bài 1. Cho hình thang ABCD AB / / CD . Gọi M , N , P ,Q lần lượt là trung điểm của AB ,
 BC ,CD , DA
a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành.
b) Hình thang ABCD thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi
Bài 2. Cho ABC cân tại A, đường cao AD . M là một điểm bất kì trên cạnh BC . Từ M vẽ 
 ME vuông góc với AB tại E , MF vuông góc AC tại F . Gọi I là trung điểm của AM .
a) Chứng minh EID , DIF cân.
b) ABC cân thêm điều kiện gì để tứ giác DEIF là hình thoi?
c) Với điều kiện của ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của ABC . Chứng minh EF , ID , MH 
đồng quy. Dạng 1: Nhận biết tứ giác là hình thoi
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh 
 BC, AB, AC . Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi.
Giải
 A
 E F
 B D C
Cách 1: Vì D , E là trung điểm của các cạnh BC, AB DE là đường trung bình của ABC
 1
 DE AC (1)
 2 
Vì D , F là trung điểm của các cạnh BC, AC DF là đường trung bình của ABC
 1
 DF AB (2)
 2
 1 1
Vì E F là trung điểm của các cạnh AB, AC AE AB, AF AC (3)
 , 2 2
Tam giác ABC cân tại A AB AC (4)
Từ (1), (2), (3), (4) AE ED DF FA .
Tứ giác AEDF có AE ED DF FA AEDF là hình thoi.
Cách 2: Vì D , F là trung điểm của các cạnh BC, AC DF là đường trung bình của ABC
 1
 DF / / AB và DF AB
 2
Mà AB AE và A, E, B thẳng hàng
 DF / / AE
Tứ giác AEDF có EADF là hình bình hành.
 DF AE
 1 1 
Hình bình hành AEDF có AE AF AB AC AEDF là hình thoi.
 2 2 
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A . Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường 
thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia Bx / / AC và tia Cy / / AB . Gọi D là giao điểm của hai tia Bx và 
 Cy . Chứng minh: : tứ giác ACDB là hình thoi.
Giải A
 B C
 D
 Cy / / AB CD / / AB
Vì 
 Bx / / AC BD / / AC
 CD / / AB
Tứ giác ACDB có ACDB là hình bình hành.
 BD / / AC
Hình bình hành ACDB có AB AC (tam giác ABC cân tại A ) AEDF là hình thoi.
Bài 3 : Cho ABC cân tại B có đường cao BE . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho
 ED EB . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.
Giải
 B
 A E C
 D
Vì ABC cân tại B có đường cao BE BE là đường trung tuyến
 EA EC (1)
Ta có : EB ED (gt) (2)
Từ (1) và (2) ABCD là hình bình hành.
Vì BE là đường cao của ABC BE  AC
Hình bình hành ABCD có BE  AC ABCD là hình thoi.
Bài 4: Cho ABC cân tại B . Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của 
 ·ABC tại D . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.
Giải B
 A C
 D
Vì CD / / AB ·ABD B· DC (so le trong) (1)
 · · ·
Vì BD là phân giác của ABC ABD DBC (2)
Từ (1) và (2) B· DC D· BC BCD cân tại D CB CD (3)
Vì ABC cân tại B CB AB (4)
Từ (3) và (4) AB CD .
 AB CD
Tứ giác ABCD có ABCD là hình bình hành.
 AB / / CD
 ·
Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB là phân giác của ABC ABCD là hình thoi.
Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB AB ABCD là hình thoi.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AD  AC . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của 
 AB , CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.
Giải
 A M B
 D N C
 AB / /CD
Vì ABCD là hình bình hành 
 AD / /BC
 AM CN
Tứ giác AMCN có AMCN là hình bình hành (1)
 AM / / CN