Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 15: Luyện tập hình thoi (Có đáp án)

 1/6
 HH8-C1-CD15.LUYỆN TẬP HèNH THOI
 Dạng 1. Dựng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giỏc là hỡnh thoi.
 Cõu 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A . Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường 
 thẳng qua C song song với AB tại D . Chứng minh rằng tứ giỏc ABDC là hỡnh thoi.
 Cõu 2. Cho hỡnh chữ nhật ABCD . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của 
 AB, BC,CD, DA . Chứng minh rằng tứ giỏc EFGH là hỡnh thoi.
 Cõu 3. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB 2AD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh 
 CD, AB. Chứng minh tứ giỏc ANMD là hỡnh thoi.
 Cõu 4. Cho tứ giỏc ABCD cú AD BC . Gọi E, F, M , N lần lượt là trung điểm của 
 AB, DC, DB, AC. Chứng minh tứ giỏc EMFN là hỡnh thoi.
 Cõu 5. Cho hỡnh thoi ABCD . Trờn cỏc cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao 
 cho BE DF . Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chộo BD . Chứng minh 
 rằng tứ giỏc AGCH là hỡnh thoi. 
 Dạng 2. Vận dụng kiến thức hỡnh thoi để giải toỏn.
 Cõu 1. Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc A tự. Biết đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia 
 đụi cạnh đú. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thoi.
 Cõu 2. Chứng minh rằng cỏc trung điểm của bốn cạnh của một hỡnh thoi là cỏc đỉnh của 
 một hỡnh chữ nhật.
 Cõu 3. Chứng minh rằng:
 a) Giao điểm hai đường chộo của hỡnh thoi là tõm đối xứng của hỡnh thoi.
 b) Hai đường chộo của hỡnh thoi là hai trục đối xứng của hỡnh thoi.
 Cõu 4. Cho hỡnh thoi ABCD . Trờn cỏc cạnh AB, BC,CD, DA lấy theo thứ tự M , N, P,Q 
 sao cho AM CN CP QA . Với O là giao điểm 2 đường chộo hỡnh thoi ABCD .
 a) Chứng minh 3 điểm M ,O, P thẳng hàng.
 b) Chứng minh 3 điểm N,O,Q thẳng hàng.
 Cõu 5. Cho hỡnh thoi ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Vẽ đường thẳng qua 
 B và song song với AC , vẽ đường thẳng qua C và song song với BD , hai đường thẳng 
 đú cắt nhau tại K .
 a) Tứ giỏc OBKC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 b) Chứng minh rằng AB OK . 2/6
 HƯỚNG DẪN GIẢI
 Dạng 1. Dựng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giỏc là hỡnh thoi.
 Cõu 1. 
 Xột tứ giỏc ABDC cú:
 AB//CD ; AC//BD (gt)
 tứ giỏc ABDC là hỡnh bỡnh hành.
 Lại cú: AB AC ( ABC cõn tại A )
 Nờn tứ giỏc ABDC là hỡnh thoi. (đpcm)
 Cõu 2. 
 Vỡ E, F lần lượt là trung điểm của AB; BC nờn:
 EF là đường trung bỡnh của ABC . Do đú: 
 EF //AC
 1 1 
 EF AC
 2
 Vỡ G, H lần lượt là trung điểm của CD; DA nờn:
 GH //AC
 GH là đường trung bỡnh của ADC . Do đú: 1 2 
 GH AC
 2
 EF //GH
 Từ 1 và 2 suy ra: 
 EF GH
 Vậy tứ giỏc EFGH là hỡnh bỡnh hành * 
 Xột AHE và BFE cú:
 EA EB (Giả thiết)
 Eã AH Eã BF 90 
 AH BF (Vỡ AD BC )
 Suy ra: AHE BFE c.g.c 
 HE FE ** 
 Từ * và ** ta được tứ giỏc EFGH là hỡnh thoi (đpcm). 3/6
 Cõu 3.
 Hỡnh bỡnh hành ABCD cú M , N lần lượt là trung 
 AN //DM
 điểm AB;CD nờn: 
 AN DM
 Do đú tứ giỏc ANMD là hỡnh bỡnh hành * 
 Ta cú: AB 2AD (giả thiết)
 N là trung điểm AB nờn AB 2AN 
 Nờn AD AN ** 
 Từ * và ** ta được tứ giỏc ANMD là hỡnh thoi. (đpcm).
 Cõu 4. 
 Vỡ E, M lần lượt là trung điểm của AB; BD nờn:
 EM là đường trung bỡnh của ABD . 
 EM //AD
 Do đú: 1 1 
 EM AD
 2
 Vỡ N, F lần lượt là trung điểm của AC; DC nờn:
 NF //AD
 NF là đường trung bỡnh của ACD . Do đú: 1 2 
 NF AD
 2
 Từ 1 ; 2 suy ra EMFN là hỡnh bỡnh hành. * 
 Vỡ E, N lần lượt là trung điểm của AB; AC nờn:
 EN //BC
 EN là đường trung bỡnh của ABC . Do đú: 1 3 
 EN BC
 2
 Mà AD BC (giả thiết) 4 
 Từ 1 ; 3 ; 4 ta được: EM EN ** 
 Từ * và ** ta được tứ giỏc EMFN là hỡnh thoi. 
 (đpcm). 4/6
 Cõu 5. 
 Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đú AC  BD (Vỡ O là giao điểm của hai đường 
 chộo của hỡnh thoi)
 Xột ABE và ADF cú:
 AB AD (Vỡ ABCD là hỡnh thoi)
 ảB Dà (Vỡ ABCD là hỡnh thoi)
 BE DF (giả thiết)
 Suy ra ABE ADF(c.g.c) 
 à ả
 Suy ra A1 A4 (hai gúc tương ứng).
 à ả ả
 Mà AC là phõn giỏc của A A2 A3. 
 Do đú AO là phõn giỏc của Hã AG. * 
 Xột AGH cú:
 AO là đường cao, đồng thời là đường phõn giỏc nờn AGH cõn tại A . 
 Suy ra HO OG. 1 
 Lại cú AO OC ( Vỡ ABCD là hỡnh thoi cú trung điểm O ) 2 
 Từ 1 và 2 suy ra AGCH là hỡnh bỡnh hành. ** 
 Từ * và ** ta được tứ giỏc AGCH là h ỡnh thoi. (đpcm)
 Dạng 2. Vận dụng kiến thức hỡnh thoi để giải toỏn.
 Cõu 1.
 Gọi H là chõn đường cao kẻ từ A đến cạnh CD . 
 Từ giả thiết ta cú: AH  CD,CH HD . 
 Suy ra AH là đường trung trục của đoạn CD nờn AC CD 1 
 Do ABCD là hỡnh thoi nờn AD CD 2 
 Từ 1 và 2 suy ra AD CD AC nờn tam giỏc ACD là tam giỏc đều, do đú Dà 60 .
 Ta lại cú AB//CD (Vỡ ABCD là hỡnh thoi) 5/6
 gúc A và gúc D là hai gúc trong cựng phớa 
 Nờn chỳng bự nhau hay: àA 180 Dà 180 60 120 .
 Áp dụng tớnh chất về gúc vào hỡnh thoi ta được: Bà Dà 60 , àA Cà 120 .
 Cõu 2. 
 Gọi hỡnh thoi là ABCD , trung điểm của AB, BC,CD, DA lần 
 lượt là M , N, P,Q .
 Nối đường chộo AC và BD
 Xột tam giỏc ABD cú:
 MQ là đường trung bỡnh (qua 2 trung điểm).
 1
 Suy ra MQ / /BD và MQ BD 1 .
 2
 Xột tam giỏc CBD cú NP là đường trung bỡnh.
 1
 Suy ra NP / /BD; NP BD 2 .
 2
 Từ 1 và 2 suy ra MNPQ là hỡnh bỡnh hành.
 Ta cú AC  BD (tớnh chất đường chộo hỡnh thoi)
 suy ra MN  MQ hay Mả 90 .
 Vậy tứ giỏc MNPQ là hỡnh chữ nhật (hỡnh bỡnh hành cú 1 gúc vuụng).
 Cõu 3. 
 a) Hỡnh bỡnh hành nhận giao điểm hai đường chộo là tõm đối xứng. 
 Hỡnh thoi cũng là một hỡnh bỡnh hành nờn giao điểm hai đường chộo 
 hỡnh thoi là tõm đối xứng của hỡnh.
 b) BD là đường trung trực của AC (do BA BC, DA DC ) nờn A 
 đối xứng với C qua BD .
 B và D cũng đối xứng với chớnh nú qua BD .
 Do đú BD là trục đối xứng với chớnh nú qua BD .
 Vậy BD là trục đối xứng của hỡnh thoi.
 Tương tự, AC cũng là trục đối xứng của hỡnh thoi.
 Cõu 4. 6/6
 a) AOM COP ãAOM Cã OP hay ãAOM ;Cã OP là hai gúc đối đỉnh.
 M ,O, P thẳng hàng.
 b) Chứng minh tương tự cõu 4a.
 Ta cú: AOQ CON ãAOQ Cã ON N,O,Q thẳng hàng. 
 Cõu 5. 
 a) - Hỡnh thoi cú 2 đừờng chộo vuụng gúc với nhau nờn gúc 
 Bã OC 90 1 
 - BK //AC và CK //BD OBKC là hỡnh bỡnh hành 2 
 Từ 1 và 2 suy ra OBKC là hỡnh chữ nhật.
 b)
 - ABCD là hỡnh thoi nờn AB BC CD DA 3 
 - OBKC là HCN nờn 2 đường chộo OK BC 4 
 Từ 3 và 4 suy ra AB OI .