Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 17: Hình vuông (Có đáp án)

 HH8-C1-CD17.HèNH VUễNG A B
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và cú bốn cạnh bằng 
nhau (hỡnh 97).
 D C
 Hỡnh 97
 ỡ à à à à 0
 ù A = B = C = D = 90
Tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng Û ớù .
 ù AB = BC = CD = DA
 ợù
Từ định nghĩa hỡnh vuụng suy ra hỡnh vuụng vừa là hỡnh chữ nhật, vừa là hỡnh thoi.
2. Tớnh chất
Hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh chữ nhật và hỡnh thoi.
3. Dấu hiệu nhận biết
Ba dấu hiệu từ hỡnh chữ nhật:
 Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng.
 Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh vuụng.
 Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là đường phõn giỏc thỡ nú là hỡnh vuụng.
Hai dấu hiệu từ hỡnh thoi: 
 Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng.
 Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.
Nhận xột: Một tứ giỏc vừa là hỡnh chữ nhật, vừa là hỡnh thoi thỡ tứ giỏc đú là hỡnh vuụng.
4. Cỏch vẽ hỡnh vuụng
Cú năm cỏch vẽ hỡnh vuụng, nhưng hay dựng hai cỏch sau:
 B
 A B
 A O C
 D C
 D
 b)
 a)
 Hỡnh 98 Cỏch 1 (hỡnh 98a): Vẽ một đường chộo, dựng đường trung trực của đường chộo đú. Lấy trung điểm vừa 
dựng làm tõm vẽ đường trũn cú đường kớnh bằng đường chộo vừa vẽ, nú cắt đường trung trực tại hai điểm ta 
được đường chộo thứ hai.
Cỏch 2 (hỡnh 98b): Sử dụng lưới ụ vuụng để vẽ tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và bốn cạnh bằng nhau.
Lưu ý:
 Cỏch 1 chứng minh được là hỡnh vuụng.
 Cỏch 2 khụng chứng minh được là nhận được hỡnh vuụng, chỉ là ảnh hỡnh vuụng.
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP
A. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA
Dạng 1. Nhận dạng hỡnh vuụng
Phương phỏp giải
Sử dụng một trong hai cỏch sau:
Cỏch 1: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh chữ nhật cú thờm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chộo 
vuụng gúc hoặc một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc.
Cỏch 2: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thoi cú thờm dấu hiệu cú một gúc vuụng hoặc hai đường chộo bằng 
 B
nhau.
 E D
Bài 1. Cho hỡnh 99, tứ giỏc AEDF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Lời giải 45°
 45°
Tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng. A F C
Giải thớch: Hỡnh 99
Theo hỡnh vẽ thỡ À= Eà= Fà= 900 . Tứ giỏc AEDF cú ba gúc 
vuụng nờn nú là hỡnh chữ nhật. Hỡnh chữ nhật AEDF cú AD 
là đường phõn giỏc của gúc A nờn nú là hỡnh vuụng.
Bài 2. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 2AD . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi M 
là giao điểm của AF và DE , N là giao điểm của BF và CE .
a) Tứ giỏc ADFE là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Tứ giỏc MENF là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Lời giải (hỡnh 100)
Đặt AD = a thỡ AB = 2a .
Áp dụng tớnh chất về cạnh và giả thiết vào hỡnh chữ nhật ABCD , A a E a B
ta được AE = EB = BC = CF = FA = a .
a) Tứ giỏc ADFE là hỡnh vuụng. a M N
Giải thớch: Vỡ tứ giỏc ADFE cú bốn cạnh bằng nhau nờn nú 
là hỡnh thoi. D F C
 Hỡnh 100 Hỡnh thoi ADFE cú À= 900 nờn nú là hỡnh vuụng.
b) Tứ giỏc MENF là hỡnh vuụng.
Giải thớch:
Chứng minh tương tự như cõu a) ta cũng cú tứ giỏc EBCF là hỡnh vuụng.
Áp dụng tớnh chất về đường chộo vào hai hỡnh vuụng ADFE và MENF , ta được:
 ùỡ AF ^ DE;EC ^ FB
 ù ả à à 0
 ớù ị M = N = E = 90 .
 ù Eả = Eả = 450
 ợù 1 2
Tứ giỏc MENF cú ba gúc vuụng nờn nú là hỡnh chữ nhật.
Hỡnh chữ nhật MENF lại cú EF là đường phõn giỏc của gúc MEN nờn nú là hỡnh vuụng.
Bài 3. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cỏc cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt lấy cỏc điểm M ,N,P,Q sao cho 
AM = BN = CP = DQ . Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng.
Lời giải (hỡnh 101)
Gọi độ dài cạnh hỡnh vuụng là a và AM = BN = CP = DO = x .
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hỡnh vuụng ABCD , ta được:
À= Bà= Cà= Dà= 900 và MB = NC = PD = QA = a - x , nờn bốn tam giỏc vuụng MBN,NCP,PDQ,QAM 
bằng nhau trường hợp (c-g-c) suy ra bốn cạnh tương ứng của cỏc tam giỏc đú bằng nhau là 
MN = NP = PQ = QA . Tứ giỏc MNPQ cú bốn cạnh bằng nhau nờn nú là hỡnh thoi.
Áp dụng tớnh chất về gúc và kết quả hai tam giỏc bằng nhau vào hai tam giỏcMBN,NCP ta được:
 A x M B
 ùỡ ả ả 0 1
 ù M 1 + N 2 = 90 ả ả 0 x
 ù ị N + N = 90 (1) 2
 ớ ả ả 1 2
 ù M = N 3 N
 ợù 1 1 1
Lại cú gúc BNC là gúc bẹt hay
 Q
 ã ả ả ả 0 x
 BNC = N 1 + N 2 + N 3 = 180 (2)
 D P x C
 ả 0 0 0
Từ (1) và (2) suy ra N 3 = 180 - 90 = 90 . Hỡnh 101
Điều này chứng tỏ hỡnh thoi MNPQ cú một gúc vuụng nờn nú là hỡnh vuụng.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 1
1. Nờu cỏc tớnh chất về đường chộo của hỡnh vuụng. Chỉ rừ tớnh chất nào cú ở hỡnh bỡnh hành, ở hỡnh chữ 
nhật, ở hỡnh thoi.
2. Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau và hai đường chộo vuụng gúc cú phải là hỡnh vuụng khụng? Nếu khụng 
hóy sửa lại một dấu hiệu để tứ giỏc là hỡnh vuụng.
3. Cỏc cõu sau đỳng hay sai?
a) Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.
b) Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh vuụng.
c) Hỡnh thoi cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh vuụng. d) Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.
4. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A . Trờn cạnh BC lấy hai điểm D,E sao cho BD = DE = EC . Qua 
D và E kẻ cỏc đường vuụng gúc với BC , chỳng cắt AB,AC lần lượt ở K và H . Tứ giỏc KHED là hỡnh 
gỡ? Vỡ sao?
5. Cho một hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề khụng bằng nhau. Chứng minh rằng cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc 
của hỡnh chữ nhật đú cắt nhau tạo thành một hỡnh vuụng.
6. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn AD lấy điểm E , trờn tia đối của tia AD lấy điểm F , trờn tia đối của tia 
BA lấy điểm I sao cho DE = AF = BI . Vẽ hỡnh vuụng AFGH , H thuộc cạnh AB . Chứng minh rằng tứ 
giỏc EGIC là hỡnh vuụng.
Dạng 2. Sử dụng định nghĩa, tớnh chất của hỡnh vuụng để chứng minh cỏc quan hệ bằng nhau, song 
song, vuụng gúc, thẳng hàng
Phương phỏp giải
Sử dụng định nghĩa, tớnh chất và bổ đề về hỡnh vuụng.
 Bài 1. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh BC lấy điểm M , trờn cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN 
 A B
và AM ^ BN .
Lời giải (hỡnh 102)
 I
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hỡnh vuụng ABCD , ta được: 
 M
 ùỡ AB = BC
 ù
 ù à à 0
 ớù A = B = 90
 ù D N C
 ù BM = CN
 ợù Hỡnh 102
ị DABM = DBCN (c.g.c), nờn AM = BN .
Gọi I là giao diểm của AM và BN .
Áp dụng tớnh chất về gúc vào tam giỏc vuụng ABM và BCN kết quả của hai tam giỏc bằng nhau, ta được:
 ỡ ả ả 0
 ù A + M = 90
 ù 1 1 ị Bả + Mả = 900 (1)
 ớ ả ả 1 1
 ù B = A
 ợù 1 1
 ả ả à 0
Áp dụng tớnh chất về gúc vào tam giỏc BIM ta cú B1 + M 1 + I 1 = 180 (2)
 $ 0 0 0
Từ (1) và (2) suy ra I = 180 - 90 = 90 hay AM ^ BN . A M B
Bài 2. Bổ đề về hỡnh vuụng 1
 1 I
 K N
Cho hỡnh vuụng ABCD . Nếu cỏc điểm M ,N,P,Q lần lượt nằm E 2
 O
trờn cỏc đường thẳng AB,BC,CD và DA thỡ MP = NQ Û MP ^ NQ . Q
Lời giải (hỡnh 103)
 D H P C
Ta cần chứng minh bài toỏn đỳng với cỏc điểm M ,N,P,Q nằm trờn cỏc 
 Hỡnh 103
cạnh AB,BC,CD,DA (cỏc trường hợp cũn lại chứng minh tương tự). Gọi H,K lần lượt là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M ,N đến hai cạnh 
CD,DA và E,I ,O thứ tự là giao điểm của MH với NK ,MP với NQ .
Áp dụng định nghĩa vào hỡnh vuụng ABCD và tớnh chất gúc đồng vị của KN PDC , ta được 
À= Bà= Cà= Eà= Kà= Nà= 900 .
Cỏc tứ giỏc MBHC,KNCD và MBNE là cỏc tứ giỏc cú ba gúc vuụng nờn chỳng là cỏc hỡnh chữ nhật.
a) MP = NQ ị MP ^ NQ .
Áp dụng tớnh chất về cạnh và giả thiết vào hai hỡnh chữ nhật MBCH,KNCD và hỡnh vuụng ABCD ta được:
 ỡ ỡ
 ù MH = BC,NK = CD ù MH = MK
 ớ ị ớ ị DMHP = DNKQ (trường hợp cạnh huyền, cạnh gúc vuụng).
 ù BC = CD,MP = NQ ù MP = NQ
 ợù ợù
Áp dụng tớnh chất về gúc vào hai tam giỏc bằng nhau ở trờn và tớnh chất của hai gúc đối đỉnh ta cú
ỡ
ù Mả = Nả
ù 1 1 à à 0
ớ à à ị O = E = 90 (vỡ hai tam giỏc, cú hai cặp gúc bằng nhau thỡ cặp gúc thứ ba cũng bằng nhau).
ù I = I
ợù 1 2
Vậy MP vuụng gúc với NQ tại O .
b) MP ^ NQ ị MP = NQ .
 à à à à 0 ả ả
Xột hai tam giỏc MEI và NOI cú I 1 = I 2 vỡ đối đỉnh, O = E = 90 suy ra M 1 = N 1 (1) vỡ hai tam giỏc, cú 
hai cặp gúc bằng nhau thỡ cặp gúc cũn lại cũng bằng nhau.
Lại cú Hà= Kà= 900,MH = NK (2) theo cõu a).
Từ (1) và (2) suy ra DMHB = DNKQ (c-g-c) nờn MP = NQ .
Bài 3. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a . Trờn hai cạnh BC,CD lấy hai điểm M ,N sao cho MãAN = 450 , trờn 
tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM . Hóy tớnh:
a) Số đo gúc KAN .
b) Chu vi tam giỏc MCN theo a .
Lời giải (hỡnh 104)
a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hỡnh vuụng ABCD , A a B
 45°1
 2 x
 ùỡ à à 0 4 3
 ù A = D = 90
ta được ớ M
 ù AB = AD,BM = DK x
 ợù
ị DABM = DADK (c-g-c).
Áp dụng kết quả của hai tam giỏc bằng nhau ở trờn và giả thiết, ta cú: K D N C
 Hỡnh 104
ùỡ ả ả ả 0
ù A1 + A2 + A3 = 90 ã ả ả ả ả 0 0 0
ớù ị KAN = A + A = A + A = 90 - 45 = 45 .
 ả ả ả 0 3 4 1 3
ù A = A ,A = 45
ợù 1 4 2
b) Đặt BM = DK = x thỡ KN = x + DN,MC = a - x,CN = a - DN .
Từ kết quả của hai tam giỏc bằng nhau ở cõu a) và giả thiết, ta được: ỡ
 ù AM = AK ,AN = AN
 ớù ị DAMN = DAKN (c-g-c) suy ra MN = KN .
 ù MãAN = KãAN = 450
 ợù
Vậy chu vi tam giỏc MCN bằng MC + CN + NM = a - x + a - DN + x + DN = 2a .
Bài 4. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh BC lấy điểm M , qua A kẻ AN ^ AM (điểm N thuộc tia đối 
của tia DC ). Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng: A B
 3
a) AM = AN . 2
 1 M
b) Ba điểm B,I ,D thẳng hàng.
Lời giải I
a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hỡnh vuụng ABCD , ta được:
 N D C
ùỡ à à à ỡ
ù A = B = D ù Bà= Dà= 900 Hỡnh 105a
ù ù
ù ả ả ả ả à 0 ù
ớ A + A = A + A = A = 90 ị ớù AB = AD ị DABM = DADN (c-g-c).
ù 1 2 2 3 ù
ù ù ả ả
ù AB = AD ù A = A
ợù ợù 3 1
Do đú AM = AN .
b) Cỏch 1 (hỡnh 105a): Nối IA,IC thỡ IA và IC lần lượt là cỏc đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của 
hai tam giỏc vuụng AMN,CMN .
Áp dụng tớnh chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giỏc vuụng trờn và định nghĩa hỡnh 
 ỡ
 ù 1
 ù IA = IC = MN
vuụng ta được ớ 2 .
 ù BA = BC
 ợù
Điều này chứng tỏ hai điểm B và I cỏch đều hai điểm A và C nờn BI là đường trung trực của đoạn AC . 
Mặt khỏc theo tớnh chất về đường chộo của hỡnh vuụng thỡ BD là trung trực của AC mà đoạnAC thỡ chỉ cú 
một đường trung trực nờn BI trựng với BD hay B,I ,D thẳng hàng.
Cỏch 2 (hỡnh 101): Qua M kẻ MP PBD (1) (điểm P ẻ DC ) suy ra DI PMP (2).
 A B
Lại cú NI = MI (3) theo giả thiết. Từ (2) và (3) suy ra ND = DP (4) 
 H M
theo định lớ đường trung bỡnh.
Từ (3) và (4) ta cú DI là đường trung bỡnh của tam giỏc NMP . I
Áp dụng định lớ đường trung bỡnh vào tam giỏc NMP ta được 
DI PMP (5). N D P C
 Hỡnh 105b
Từ (1) và (5) suy ra B,I ,D thẳng hàng, vỡ từ điểm I ở ngoài đường 
thẳng MP chỉ kẻ được một đường thẳng song song với MP .
 ả ả
Cỏch 3: Qua M kẻ MH PND (1) (điểm H ẻ BD ) thỡ D1 = H 1 (2) do đồng vị.
Mà BD là đường chộo của hỡnh vuụng ABCD nờn BD là đường phõn giỏc của hai gúc vuụng B và D do 
 ả ả 0
đú D1 = H 1 = 45 (3). Từ (2) và (3) ta cú BM = MH (4) vỡ trong một tam giỏc, đối diện với hai gúc bằng nhau là hai cạnh bằng 
nhau.
Kết hợp (1) với (4) ta được tứ giỏc NHMD cú hai cạnh đối song song và bằng nhau nờn nú là hỡnh bỡnh 
hành.
Áp dụng tớnh chất về đường chộo vào hỡnh bỡnh hành NHMD , ta được đường chộo DH đi qua trung điểm I 
của đường chộo NM nờn BD đi qua I .
Điều đú chứng tỏ B,I ,D thẳng hàng.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 1
7. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a . Gọi E là một điểm nằm giữa C và D . Tia phõn giỏc của gúc DAE 
cắt CD ở F . Kẻ FH ^ AE (H ẻ AE),FH cắt BC ở K .
a) Tớnh độ dài AH .
b) Tớnh số đo gúc FAK .
8. Cho hỡnh vuụng ABCD . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của BC,CD và I là giao điểm của AN,DM . 
Chứng minh rằng:
a) AN ^ DM ; b) BA = BI .
9. Cho một hỡnh vuụng cạnh dài 1m . Vẽ hỡnh vuụng thứ hai nhận đường chộo của hỡnh vuụng đó cho làm 
cạnh. Tớnh độ dài đường chộo của hỡnh vuụng này.
10. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn tia đối của tia CB lấy điểm M , trờn tia đối của tia DC lấy điểm N sao 
cho BM = DN . Vẽ hỡnh bỡnh hành MANF , gọi O là trung điểm của AF . Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc MANF là hỡnh vuụng.
b) F thuộc tia phõn giỏc của gúc MCN .
c) AC ^ CF .
d) Tứ giỏc BOFC là hỡnh thang.
Dạng 3. Tỡm điều kiện để một hỡnh trở thành hỡnh vuụng
Phương phỏp giải
-sử dụng cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh vuụng.
-nếu bài toỏn chỉ yờu cầu tỡm vị trớ của một điểm nào đú để một hỡnh trở thành hỡnh vuụng ta làm như sau: 
giả sử hỡnh đú là hỡnh vuụng rồi dựa vào cỏc tớnh chất của hỡnh vuụng để chỉ ra vị trớ cần tỡm.
Bài 1. Cho tam giỏc ABC,D là điểm nằm giữa B và C . Qua D kẻ cỏc đường thẳng song song với AB và 
AC , chỳng cắt cỏc cạnh AC và AB thứ tự ở E và F .
a) Tứ giỏc AEDF là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Điểm D ở vị trớ nào trờn cạnh BC thỡ tứ giỏc AEDF là hỡnh thoi?
c) Nếu tam giỏc ABC vuụng tại A thỡ tứ giỏc AEDF là hỡnh gỡ? Điểm D ở vị trớ nào trờn cạnh BC thỡ tứ 
 A
giỏc AEDF là hỡnh vuụng?
 F
 E
 B D C
 Hỡnh 106 Lời giải (hỡnh 106)
a) Tứ giỏc AEDF là hỡnh bỡnh hành. 
 ỡ ỡ
 ù DE PAC ù DE PAF
Giải thớch: Từ giả thiết ớ ị ớ .
 ù DF PAB ù DF PAE
 ợù ợù
Tứ giỏc AEDF cú cỏc cạnh đối song song nờn nú 
là hỡnh bỡnh hành.
b) Giả sử AEDF là hỡnh thoi khi đú theo tớnh chất 
vẽ đường chộo của hỡnh thoi thỡ AD là đường phõn giỏc của gúc A .
Vậy nếu D là giao điểm của tia phõn giỏc gúc A với cạnh BC thỡ tứ giỏc AEDF là hỡnh thoi.
c) Nếu tam giỏc ABC vuụng tại A thỡ hỡnh bỡnh hành AEDF là hỡnh chữ nhật. Nếu tam giỏc ABC vuụng 
tại A và D là giao điểm của tia phõn giỏc gúc A với cạnh BC thỡ AEDF vừa là hỡnh chữ nhật vừa là hỡnh 
thoi nờn nú là hỡnh vuụng.
Bài 2. Cho tứ giỏc ABCD . Gọi M ,N,P,Q lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB,BC,CD và DA . Hai đường 
chộo AC và BD phải thoả món những điều kiện nào để M ,N,P,Q là bốn đỉnh của:
a) Hỡnh chữ nhật? b) Hỡnh thoi? c) Hỡnh vuụng?
Lời giải (hỡnh 107)
Trước hết ta chứng minh tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành (xem Vớ dụ 1, Dạng 1, Chủ đề 5)
a) MNPQ là hỡnh chữ nhật Û MN ^ NP A
 M
 B
Û AC ^ BD (vỡ MN PAC,NP PBD) .
 Q
Điều kiện cần tỡm là hai đường chộo AC,BD vuụng gúc với nhau. 
 N
b) MNPQ là hỡnh thoi Û MN = NP 
 1 1 D P C
Û AC = BD (vỡ MN = AC,NP = BD )
 2 2 Hỡnh 107
Điều kiện cần tỡm là cỏc đường chộo AC và BD bằng nhau.
 ỡ ỡ
 ù MN ^ PQ ù AC ^ BD
c) MNPQ là hỡnh vuụng Û ớ Û ớ .
 ù MN = PQ ù AC = BD
 ợù ợù
Điều kiện cần tỡm là cỏc đường chộo AC,BD bằng nhau và vuụng gúc với nhau.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 1
11. Cho tam giỏc ABC cõn tại A , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AC,K là điểm đối 
xứng với M qua điểm I .
a) Tứ giỏc AMCK là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Tứ giỏc AKMB là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
c) Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để tứ giỏc AMCK là hỡnh vuụng. 12. Cho hỡnh thoi ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Qua B vẽ đường thẳng song song với 
AC , qua C vẽ đường thẳng song song với BD , hai đường thẳng này cắt nhau ở K .
a) Tứ giỏc OBKC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Chứng minh AB = OK .
c) Tỡm điều kiện của hỡnh thoi ABCD để tứ giỏc OBKC là hỡnh vuụng.
13. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú BC = 2AB và À= 600 . Gọi E,F thứ tự là trung điểm của BC,AD .
a) Tứ giỏc ECDF là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Tứ giỏc ABED là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
c) Tớnh số đo của gúc AED .
HƯỚNG DẪN BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
1. Hỡnh vuụng cú cỏc tớnh chất sau về đường chộo.
a) Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (cú ở hỡnh bỡnh hành).
b) Hai đường chộo bằng nhau (cú ở hỡnh chữ nhật).
c) Hai đường chộo vuụng gúc với nhau (cú ở hỡnh thoi).
d) Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc của hỡnh vuụng (cú ở hỡnh thoi).
2. Cõu trả lời là khụng. Phải sửa lại dấu hiệu về đường chộo là: Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm 
của mỗi đường và vuụng gúc với nhau. A
3. Cỏc cõu đỳng là: a, b, d. Cõu sai là c. K H
4. (hỡnh 169) Tứ giỏc KHED là hỡnh vuụng.
Giải thớch: Tam giỏc vuụng BDK cú Bà= 450 nờn là tam giỏc cõn, B D E C
 Hỡnh 169
do đú BD = DK . Chứng minh tương tự, HE = EC .
Vỡ BD = DE = EC theo giả thiết, nờn:
 KD = DE = EH .
 A B
Tứ giỏc KHED cú KD PHE,KD = HE nờn là hỡnh bỡnh hành.
 N
Hỡnh bỡnh hành này lại cú Dà= 900 nờn nú là hỡnh chữ nhật. 
 M P
Hỡnh chữ nhật này lại cú KD = DE nờn nú là hỡnh vuụng.
 Q
5. (hỡnh 170) Vỡ DNCD cú Cả = Dả = 450 nờn vuụng cõn tại N .
 1 1 D C
 Hỡnh 170
Suy ra Nà= 900 và ND = NC (1). 
Chứng minh tương tự, Pà= Qà= 900 . Tứ giỏc MNPQ cú ba gúc 
vuụng nờn là hỡnh chữ nhật. F G
DAMD = DBPC (g-c-g) ị MD = PC (2). A I
 H B
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta được NM = NP .
Như vậy hỡnh chữ nhật MNPQ cú hai cạnh kề bằng nhau nờn là hỡnh vuụng. 
 E
 2
 1
 D C
 Hỡnh 171 6. (hỡnh 171) Chứng minh bốn tam giỏc vuụng EFG,IHG,CBI ,CDE bằng
 ả ả
 nhau để suy ra EG = GI = IC = CE và C1 = C 3 .
Sau đú chứng minh EãCI = 900 .
7. (hỡnh 172) 
 A a B
 4
a) DADF = DAHF (cạnh huyền, gúc nhọn) ị AH = AD = a . 3
 12
 ả ả
b) DAHK = DABK (cạnh huyền, cạnh gúc vuụng) ị A3 = A4 .
 a K
Kết hợp với giả thiết, ta cú:
 1
 FãAK = Ả + Ả = 900 = 450 .
 2 3 2 D F E C
 Hỡnh 172
8. (hỡnh 173) 
a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hỡnh vuụng ABCD ta được:
ỡ à à
ù AD = DC,D = C
 ớù 
ù DN = CM
ợù
ị DADN = DDCM (c-g-c)
 ả ả A B K
ị A1 = D1 .
 1
 ả ả 0
Vỡ DADN vuụng ở D , nờn A1 + N 1 = 90 . (1) 
 2
 ả ả ả ả 0 1 M
Thay A1 = D1 vào đẳng thức (1) ta được D1 + N 1 = 90 .
 I
Điều này chứng tỏ tam giỏc DIN vuụng ở I hay AN ^ DM .
 1
b) Gọi giao điểm của DM với AB là K , khi đú D N C
 Hỡnh 173
 DDMC = DKMB (g-c-g) ị BK = DC .
Lại cú AB = DC nờn AB = BK suy ra IB là trung tuyến ứng 
với cạnh huyền của tam giỏc vuụng AIK . Do đú IB = BA . F
9. (hỡnh 174) Xột hỡnh vuụng ABCD cú AB = BC = 1m .
Ta đi dựng hỡnh vuụng nhận đường chộo AC làm cạnh để tớnh đường 1m
 1m B 1m
 chộo của hỡnh vuụng mới này. A E
Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E , tia đối của tia BC lấy điểm F 1m
sao cho BE = BF = 1m . Ta được tứ giỏc AFEC cú hai đường chộo 
 D C
bằng nhau, vuụng gúc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi 
 Hỡnh 174