Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 5: Đường trung bình của tam giác, của hình thang (Có đáp án)

 HH8-C1-CD5. ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HèNH THANG
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Đường trung bỡnh của tam giỏc
* Định nghĩa: Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giỏc.
* Định lớ 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai 
thỡ đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
* Định lớ 2: Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
2. Đường trung bỡnh của hỡnh thang
* Định nghĩa: Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bờn của hỡnh 
thang.
* Định lớ 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song vúi hai đỏy 
thỡ đi qua trung điểm cạnh bờn thứ hai.
* Định lớ 4: Đường trung bỡnh của hỡnh thang song song với hai đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lớ về đường trung bỡn của tam giỏc để chứng minh
Phương phỏp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bỡnh của tam giỏc, Định lớ 1, Định lớ 2 để suy 
ra điều cõn chứng minh.
Bài 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cú M là trung điểm của BC. Kẻ tiớ Mx song song với AC cắt AB 
tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
Bài 2. Cho tam giỏc ABC, cú AM là trung tuyến ứng với BC. Trờn cạnh AB lấy điểm D và E sao cho 
AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) EM song song vúi DC;
b) I là trung điểm của AM;
c) DC = 4DI. Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lớ về đường trung bỡnh của hỡnh thang để chứng minh
Phương phỏp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bỡnh của hỡnh thang, Định lớ 3, Định lớ 4 để suy 
ra điều cần chứng minh. 
Bài 3. Cho hỡnh thang vuụng ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng 
minh:
a) AFD cõn tại F; b) Bã AF Cã DF. 
Bài 4. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD). Cỏc đường phõn giỏc ngoài của àA và Dà cắt nhau tại E, cỏc 
đường phõn giỏc ngoài của Bà và Cà cắt nhau tại F. Chứng minh:
a) EF song song với AB và CD;
b) EF cú độ dài bằng nửa chu vi hỡnh thang ABCD.
Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bỡnh của tam giỏc và đường trung bỡnh của hỡnh thang 
đờ chứng minh 
Phương phỏp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bỡnh của tam giỏc, Định nghĩa đường trung 
bỡnh của hỡnh thang và cỏc Định lớ : 1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần chứng minh.
Bài 5. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. 
Chứng minh:
a) M, N, P, Q cựng nằm trờn một đường thẳng;
 1
b) NP = DC AB . 
 2
Bài 6. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d. Cỏc tia phõn giỏc 
của gúc A và gúc D cắt nhau tại E, cỏc tia phõn giỏc của Bà và Cà cắt nhau tại F. Gọi M, N theo thứ 
tự là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh M, E, N, F cựng nằm trờn một đường thẳng.
b) Tớnh độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.
Dạng 4.Tổng hợp 
Bài 7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuụng gúc với AB tại P và 
tia Hy vuụng gúc vúi AC tại Q. Trờn cỏc tia Hx, Hy lần lượt lấy cỏc điếm D và E sao cho PH = PD, 
QH = QE. Chứng minh: a) A là trung điểm của DE;
 1
b) PQ = DE; 
 2
c) PQ = AH.
Bài 8. Cho tam giỏc ABC cú AM là trung tuyến ứng vúi BC. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD 
 1
= C. Kẻ Mx song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. Chứng minh:
 2
a) AD = DE = EC;
b) SAIB = SIBM;
C)SABC = 2SIBC. 
Bài 9. Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB.
 1
b) So sỏnh EF và ( AB + CD).
 2
 1
c) Tỡm điều kiện của tứ giỏc ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng. Từ đú chứng minh EF = (AB 
 2
+ CD).
Bài 10. Cho tứ giỏc ABCD. Cú G là trung điểm của đoạn nối cỏc trung điểm của hai đường chộo AC 
và BD. Gọi m là một đường thẳng khụng cắt cạnh nào của hỡnh thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' 
 1
lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, D, G lờn đường thẳng m. Chứng minh GG' = 
 2
(AA'+BB'+CC'+DD’).
 HƯỚNG DẪN Bài 1. 
 a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song với AC. 
 Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB (theo Định lớ 1).
 Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC. Khi đú 
 EF trở thành đường trung bỡnh của tam giỏc ABC;
 b) Do ME và MF cũng là đường trung bỡnh nờn cú ME = 
 MF = AE = AF. Suy ra AM là đường trung trực của EF.
 Bài 2. 
 a) Ta cú EM là đường trung bỡnh của tam giỏc BCD 
 ĐPCM.
 b) DC đi qua trung điểm D của AE và song song với EM 
 DC đi qua trung điểm I của AM.
 c) Vỡ DI là đường trung bỡnh của tam giỏc AEM nờn DI = 
 1
 EM.(1)
 2
 1
 Tương tự, ta được: EM = DC (2)
 2
 Từ (1) và (2) DC = 4DI
 Bài 3.
 a) Ta cú ẩ là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABCD.
 EF//AB.
 Suy ra EF  AD
 Khi đú EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của tam giỏc 
 AFD ĐPCM.
 b) Tam giỏc AFD cõn tại F nờn Eã AF Eã DF
 Suy ra Fã AB Cã DF
Bài 4.
a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD. 1 1
Ta cú: ãADE Dà ngoài, Dã AE àA ngoài.
 2 2
Mà àA ngoài + Dà ngoài = 1800 (do AB//CD)
 ãADE Dã AE 900 , tức là tam giỏc ADE vuụng tại E.
Khi đú, tam giỏc ADM cõn tại D (do cú DE vừa là đường phõn giỏc, vừa là đường cao) và E là trung 
điểm của AM.
Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.
Từ khú, suy ra EF là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABNM và ta được ĐPCM
 1
b) Từ ý a), EF (AB BC CD DA)
 2
Lưu ý: Cú thể sử dụng tớnh chất đường phõn giỏc để chứng minh.
 Bài 5. 
 a) Ta cú MN là đường trung bỡnh của tam giỏc ABD
 MN / / AB
 Tương tự, ta được MP//CD và MQ//AB, CD.
 Như vậy, MN, MP, MQ cựng song song AB ĐPCM.
 1 1
 b) Ta cú: DC AB 2MP 2MN MP MN NP 
 2 2
 Bài 6.
 a)Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AE, AF với CD.
 Chứng minh tương tự 4.
 b) Ta cú:
 1 1
 MN (AB CD) (a c) 
 2 2
 Lại cú: c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do tam giỏc 
 BCQ cõn) QD = c - b.
Trong hỡnh thang ABQD cú M là trung điểm của AD và MF//DQ nờn chứng minh được F là trung 
điểm của BQ, từ đú chứng minh MF là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABQD. 
Vỡ MF là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABQD.
 1 1
 MF (AB DQ) (a c b) 
 2 2
 1 1
Mặt khỏc, FN là đường trung bỡnh của tam giỏc BCQ, tức là FN CQ b. 
 2 2
 Bài 7.
 a) Chứng minh được tam giỏc ADH và AEH cõn tại 
 A.
 Khi đú: Dã AP Hã AP, Eã AQ Hã AQ và AD = AH = 
 AE.
 Từ đú, suy ra được A, A, E thẳng hàng và A là trung 
 điểm DE.
 b) PQ là đường trung bỡnh của tam giỏc DHE 
 ĐPCM.
 1 1
 c) Cú AH = AD = AE = DE, mà PQ = DE AH 
 2 2
 = PQ.
 Bài 8.
 a) Theo định lý 1, trong tam giỏc BDC cú: M là trung 
 điểm của BC, ME//BD E là trung điểm của DC 
 1
 DE = EC = DC.
 2
 Suy ra AD = DE = EC.
b) Từ ý a) D là trung điểm của AE. Suy ra ID là đường trung bỡnh của tam giỏc AME hay IA = IM.
Vậy SAIB= SIBM.
c) Hạ hai đường cao AH và IK của tam giỏc ABC và IBC
 1
Chứng minh được IK là đường trung bỡnh của tam giỏc AHM IK = AH.
 2 Xột hai tam giỏc ABC và IBC cú chung đỏy BC và hai đường cao AH = 2IK ĐPCM.
 Bài 9 . 
 a) HS tự chứng minh.
 b) Xột tam giỏc 
 1 1 1
 EFK : EF EK KF CD AB (AB CD); 
 2 2 2
 c) Để E, F, K thẳng hàng, khi đú EF đồng thời song 
 song với AB và CD. Tức là tứ giỏc ABCD là hỡnh 
 thang (AB//CD)
 1
 Theo định lý 4, EF (AB CD). 
 2
Bài 10. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hỡnh chiếu của E, F trờn 
đường thẳng m.
Khi đú, GG' là đường trung bỡnh của hỡnh thang EE'F'F
 1
 GG ' EE' +FF'). 
 2
 Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bỡnh của hỡnh thang AA'C'C và BB'D'D.
 1 1
 EE ' (AA' +CC') và FF' (BB' +DD')
 2 2
 Thay vào (1) ta được ĐPCM.
B.CÁC DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
 • Đường trung bỡnh của tam giỏc Bài 1. Cho tứ giỏc ABCD, đường chộo BD là đường trung trực của AC . Gọi M ,N lần lượt là 
trung điểm của AD và AB . Vẽ ME  BC và NF  CD E BC,F CD . Chứng minh rằng ba 
đường thẳng ME,NF và AC đồng quy.
Bài 2. Cho tam giỏc ABC . Trờn cạnh AB lấy điểm D , trờn cạnh AC lấy điểm E . Gọi M, N lần 
lượt là trung điểm của BE và CD . Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q . 
Hỏi hai điểm D và E phải cú điều kiện gỡ để tam giỏc APQ cõn tại A ?
Bài 3. Cho tam giỏc ABC . Gọi Bx và Cy lần lượt là cỏc đường chứa tia phõn giỏc của cỏc gúc 
ngoài tại đỉnh B và C . Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của A trờn Bx và Cy .
a) Chứng minh rằng tứ giỏc BCKH là hỡnh thang;
b) Tam giỏc ABC phải cú điều kiện gỡ để hỡnh thang BCKH là hỡnh thang cõn?
Bài 4. Cho tam giỏc ABC , trực tõm H . Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh 
rằng khoảng cỏch từ O đến BC bằng nửa độ dài AH .
Bài 5. Cho tam giỏc ABC cõn tại A , đường cao AH và đường phõn giỏc BD . Biết rằng 
 1
 AH BD , tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc ABC
 2
Bài 6. Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1 ,O2 ,...,On khụng nằm giữa A và B sao cho 
 O1 A O2 A ... On A O1B O2 B ... On B a . Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho 
 O1M O2M ... On M a.
 • Đường trung bỡnh của hỡnh thang
Bài 7. Cho hỡnh thang cõn ABCD AB CD . Vẽ AH  CD . Chứng minh rằng:
a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chộo;
b) HC bằng đường trung bỡnh của hỡnh thang.
Bài 8. Cho tam giỏc ABC . Gọi M là trung điểm của AB . Trờn tia đối của tia BC lấy điểm O sao 
 1 1
cho BO BC . Đường thẳng OM cắt OC tại N . Chứng minh rằng: AN AC .
 2 4
Bài 9. Cho tam giỏc ABC , cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc ABM vuụng 
cõn tại B , tam giỏc CAN vuụng cõn tại C . Chứng minh rằng khi A di động trờn một nửa mặt 
phẳng bờ BC thỡ đường thẳng MN luụn đi qua một điểm cố định. Bài 10. Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng khụng là trung điểm của đoạn thẳng AB . 
Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc tam giỏc CAM và DBM cõn tại C và D sao cho 
 1
 Cà Dà . Gọi H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh rằng: HF CD .
 2
 HƯỚNG DẪN
Bài 1. (h.3.7)
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
Ta cú: AC  BD và OA OC .
Xột ABD cú MN là đường trung bỡnh
 MN //BD và OA  MN (vỡ OA  BD ).
Xột ABC cú ON là đường trung bỡnh
 ON //BC và ON  ME (vỡ ME  BC ).
Xột ACD cú OM là đường trung bỡnh
 OM //CD và OM  NF (vỡ NF  CD ).
Xột OMN cú OA,ME,NF là ba đường cao nờn chỳng đồng quy.
Bài 2. (h.3.8)
Gọi O là trung điểm của BC .
Xột EBC cú OM là đường trung bỡnh
 CE
 OM //CE và OM .
 2
Xột DBC cú ON là đường trung bỡnh
 BD
 ON //BD và ON .
 2
 ả ã ả ã
Ta cú: M1 AQP,N1 APQ (so le trong).
 à à ả ả
 APQ cõn tại A Q P N1 M1 OM ON CE BD .
Bài 3. (h.3.9) a) Gọi D và E thứ tự là giao điểm của AH và AK với đường thẳng BC .
 ABD cú BH vừa là đường phõn giỏc, vừa là đường cao nờn là tam giỏc cõn HA HD .
Tương tự, ta cú: KA KE .
Xột ADE cú HK là đường trung
 bỡnh nờn HK //DE
 HK //BC.
Do đú tứ giỏc BCKH là hỡnh thang.
 ả à ả à
b) Ta cú: H1 B1;K1 C1 (so le trong).
 ả ả à à
Hỡnh thang BCKH là hỡnh thang cõn H1 K1 B1 C1
 ãABD ãACE ãABC ãACB ABC cõn tại A .
Bài 4. (h.3.10)
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CA .
Gọi F và G lần lượt là trung điểm của AH và BH .
Ta cú MN là đường trung bỡnh của ABC;FG
là đường trung bỡnh của ABH .
 1
Suy ra MN //AB và MN AB
 2
 1
 FG//AB và FG AB .
 2
Do đú MN //FG và MN FG . Dễ thấy OM //AD,ON //BE .
 OMN và HFG cú: MN FG;Oã MN Hã FG;Oã NM Hã GF (hai gúc cú cạnh tương ứng song 
song).
 AH
Vậy OMN HFG g.c.g OM HF .
 2
Bài 5. (h.3.11)
Gọi M là trung điểm của BD thỡ: