Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 9: Đối xứng tâm (Có đáp án)

 HH8-C1-CD9. ĐỐI XỨNG TÂM
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
• Hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung 
điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
 A đối xứng với A' qua O
 O là trung điểm của AA’.
Khi đú ta cũn núi:
A' đối xứng với A qua O hoặc A và A’ đối xứng nhau qua O.
* Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O chớnh là điểm O.
* Hai hỡnh đối xứng qua một điểm: Hai hỡnh gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kỡ 
thuộc hỡnh này đối xứng vúi một điểm thuộc hỡnh kia qua điểm O và ngược lại.
* Nhận xột: Nếu hai đoạn thẳng (gúc, tam giỏc) đối xứng với nhau qua một điểm thỡ bằng nhau.
* Hỡnh cú tõm đối xứng: Điếm O gọi là tõm đối xứng cựa hỡnh H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc 
hỡnh qua điểm O cũng thuộc hỡnh H.
* Định lớ: Giao điểm hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành là tõm đối xứng của hỡnh bỡnh hành đú.
 O là tõm đối xứng của hỡnh bỡnh hành ABCD.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN – NÂNG CAO
Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hỡnh đối xứng với nhau qua một điểm
Phương phỏp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hỡnh đối xứng với nhau qua một 
điểm.
Bài 1. Cho tam giỏc ABC. Gọi cỏc điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P đối xứng 
vúi B qua tõm E và Q đối xứng với qua tõm D. Chứng minh rằng hai điểm P, Q đối xứng với nhau qua 
tõm A.
Bài 2. Cho tứ giỏc ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi 
E là điểm bất kỡ nằm ngoài tứ giỏc, E là điểm đối xứng với E qua M, G là điểm đối xứng với E qua Q, 
H là điểm đối xứng với G qua P. Chứng minh rằng E là điểm đối xứng với H qua điểm N. Dạng 2. Sử dụng tớnh chất đối xứng trục để giải toỏn 
Phương phỏp giải: Sử dụng nhận xột hai đoạn thẳng (gúc, tam giỏc) đối xứng vúi nhau qua một đuờng 
thẳng thỡ bằng nhau. 
Bài 3. Cho tam giỏc ABC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB và AC. Một điểm M bất 
kỡ thuộc cạnh BC, cú điểm đối xứng vúi M qua điểm F là Q và điểm đối xứng của M qua điểm F là Q. 
Chứng minh:
a) A thuộc đường thẳng PQ;
b) BCQP là hỡnh bỡnh hành.
Bài 4. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Trờn cạnh AD lấy điểm E và trờn cạnh CB lấy điểm E sao cho AE = 
CF. Chứng minh rằng hai điểm E, F đối xứng với nhau qua giao điểm của cỏc đường chộo AC, BD.
Dạng 3.Tổng hợp 
Bài 5. Cho tam giỏc ABC điểm D thuộc cạnh BC. Từ D kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh 
AC tại E và đường thẳng qua D song song với AC cắt AB tai F. Chứng minh hai điểm E và F đối xứng với 
nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng AD. 
Bài 6. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Một đường thẳng đi qua O 
cắt cỏc cạnh AD, BC ở E và F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua O.
Bài 7 Cho gúc xOy. Điểm A nằm trong gúc đú. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A 
qua Oy. Tớnh số đo gúc xOy để B đối xứng với C qua O.
Bài 8. Cho tam giỏc ABC. Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A. Gọi M là 
điểm nằm giữa B và C. Tia MA cắt DE tại N. Chứng minh MC = NE.
 HƯỚNG DẪN
1.
 Ta cú: BAPC và CAFB đều là hỡnh bỡnh hành 
 AP / /BC
 FA / /BC
Vậy F,A,P thẳng hàng.
2.
 Ta cú EBFA, FAGD, GDHC đều là hỡnh hành. Vậy BECH cũng là hỡnh 
bỡnh hành.
Vậy E đối xứng với H qua N.
3. 
a) Tương tự 1. Ta chứng minh được A thuộc đường thẳng PQ. b) Ta cú:
PA//BM,PA= BM
AQ//MC, AQ = MC
Suy ra BCQP là hỡnh bỡnh hành
4. 
Ta cú AEFC là hỡnh bỡnh hành (AE//FC; AE= CF) đường EF cắt AC tại 
trung điểm O của AC nờn E,O, F thẳng hàng và O cũng là trung điểm của 
EF (ĐPCM).
5. 
Ta chứng minh được AEDF là hỡnh bỡnh hành AD  EF = I. I là trung 
điểm của AD và EF. Suy ra E đối xứng với F qua I.
6.
 Do E,O, F thẳng hàng mà B, O,D cũng thẳng hàng nờn Eã OD Fã OB 
(2 gúc đổi đỉnh) DOE = BOF (g-c-g) OE = OF.
Vậy E đối xứng với F qua O.
7. Để B đối xứng với Cqua O thỡ xã Oy = 900
8.
 Chỳ ý: BEDC là hỡnh bỡnh hành
Ta cú: EAN = CAM (g - c - g) NE = MC
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm M khụng thuộc đường thẳng đú. Gọi A’, B’, C’ lần 
lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua M. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao AH. Trờn cạnh AB lấy điểm I, trờn cạnh AC lấy điểm 
K sao cho AI = AK. Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH.
Bài 3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Vẽ E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua 
D. Chứng minh rằng: E là điểm đối xứng của F qua C.
Cõu 4:Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi E, F lần lượt trờn cỏc cạnh AD, BC sao cho AE = CF. Chứng 
minh rằng: cỏc đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Bài 5: Cho gúc xOy khỏc gúc bẹt và điểm M nằm trong gúc đú. Hóy dựng qua M một đường thẳng cắt 
Ox ở A, cắt Oy ở B sao cho M là trung điểm của AB.
Bài 6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, điểm P trờn AB. Gọi M, N là cỏc trung điểm của AD, BC; E, F lần 
lượt là điểm đối xứng của P qua M, N. Chứng minh rằng:
a) E, F thuộc đường thẳng CD.
b) EF = 2CD
Bài 7: Cho tam giỏc ABC, D là một điểm trờn cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là điểm đối xứng của 
điểm D qua AB và AC. a) Chứng minh AE = AF;
b) Tam giỏc ABC phải cú thờm điều kiện gi để điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.
Bài 8: Cho tam giỏc ABC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua C, E là điểm đối xứng với B qua A, F 
là điểm đối xứng với C qua B. Gọi BM là trung tuyến của tam giỏc ABC, EK là trung tuyến của tam 
giỏc DEF. 
 a) Chứng minh rằng ABKM là hỡnh bỡnh hành.
b) Gọi G là giao điểm của BM và EK. Chứng minh rằng G là trọng tõm của hai tam giỏc ABC và tam 
giỏc DEF.
Bài 9: Cho A và B là hai điểm thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng xy (AB khụng 
vuụng gúc với xy). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy. Gọi M là 
điểm bất kỳ khỏc C thuộc đường thẳng xy.
Chứng minh rằng: AC CB AM MB.
Bài 10: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AB < AC), điểm D thuộc cạnh huyền BC. Vẽ điểm M và 
điểm N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng:
a) M và N đối xứng qua A.
b) Xỏc định vị trớ của điểm D để MN ngắn nhất, dài nhất.
Hướng dẫn giải 
Bài 1: 
Giả sử A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đú, ta cú B C
 A
AB + BC = AC (1).
Cỏc đoạn thẳng A’B’, B’C’ và A’C’ lần lượt 
đối xứng với cỏc đoạn thẳng AB, BC, AC qua M
điểm M nờn ta cú A’B’ = AB, B’C’ = BC, 
A’C’ = AC. A'
Kết hợp đẳng thức (1) ta được A’B’ + B’C’ = C' B'
A’C’. Vậy A’, B’, C’ thẳng hàng.
Bài 2:
 Vỡ ABC cõn tại A, AH là đường cao nờn AH là tia phõn giỏc của gúc A
Lại cú: IA = AK => IAK cõn tại A, mà AH là tia phõn giỏc của gúc A (cmt) => AH là đường trung 
trực của IK => Điểm I đối xứng với điểm K qua AH A
 I K
B
 H C
Bài 3: 
 A D F
 B C
E
+) E là điểm đối xứng của A qua B (gt) nờn AB = BE
 AB PCD
Tứ giỏc ABCD là HBH => 
 AB CD
 BE PCD
Mà AB = BE (cmt) => Tứ giỏc BDCE là hỡnh bỡnh hành 
 BE CD
=> BD // EC và BD = EC.
Chứng minh tương tự cũng cú BD // CF và BD = CF.
Vỡ BD // EC và BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiờn đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nờn C là trung 
điểm EF => E là điểm đối xứng của F qua C.
Bài 4: 
Gọi O là giao điểm cuả AC, BD.
Tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành(gt) => O là trung điểm của AC
Tứ giỏc AECF cú AE = CF, AE // CF nờn là hỡnh bỡnh hành (dhnb) 
mà O là trung điểm AC nờn O là trung điểm EF.  EF đi qua O. Vậy cỏc đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại 
điểm O.
Bài 5:
 y
 B I
 1
 1
 2
 M
 1
O
 A x
Cỏch dựng: 
- Dựng điểm I đối xứng với O qua điểm M.
- Qua I dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở A.
- Dựng đường thẳng AM cắt Oy ở B.
Chứng minh: 
Xột MAI và MBO cú:
à à
O1 I1 ( hai gúc so le trong) 
MO = MI ( Vỡ I và O đối xứng nhau qua M)
ả ả
M1 M 2 ( hai gúc đối đỉnh)
 MAI MBO (g.c.g) => MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)
Bài toỏn luụn luụn dựng được một và cú một nghiệm hỡnh.
Bài 6: 
a) +) M là trung điểm của AD và 
 A P
PE suy ra tứ giỏc APDE là hỡnh B
bỡnh hành => DE // AP. M
+) N là trung điểm của BC và PF N
suy ra tứ giỏc BPCF là hỡnh bỡnh 
 E F
hành => FC // PB. D C
Mặt khỏc CD // AB nờn suy ra cỏc 
điểm E, F nằm trờn đường thẳng CD.
 MP ME(gt)
Xột PEF cú : => MN là đường trung bỡnh PEF => EF = 2MN = 2CD. 
 NP NF(gt) Bài 7: 
 A
 1
 2 4
E 3
 F
 B
 D C
a) E đối xứng với D qua AB => AB là trung trực của ED => AE = AD.
F đối xứng với D qua AC => AC là trung trực của DE => AF = AD.
 AE = AF.
 ã à à
Xột AED cõn tại A, cú AB là trung trực => AB đồng thời là phõn giỏc của EAD => A1 A2
Xột ADF cõn tại A, cú AC là trung trực => AC đồng thời là phõn giỏc của Fã AD
 à à
=> A3 A4
 Eã AF àA àA àA àA 2 àA àA 2Bã AC
 1 2 3 4 2 3 
b) Để E đối xứng với F qua A thỡ E, A, F thẳng 
hàng. Eã AF 1800 
 2Bã AC 1800 Bã AC 900
Vậy nếu ABC vuụng ở A thỡ E đối xứng với F qua 
điểm A.
Bài 8:
a/ BK là đường trung bỡnh của tam giỏc CFD. Suy ra 
 1
BK//CD, BK CD 
 2
 1
Mà CD = CA, AM CA BK // AM, BK = AM
 2
Suy ra tứ giỏc ABKM là hỡnh bỡnh hành
b/ Gọi G là giao điểm của EK, BM. I, H là trung điểm của BG, EG. 
- Chứng minh tứ giỏc HMKI là hỡnh bỡnh hành: 
Ta cú: H là trung điểm của GE (gt) 
 I là trung điểm của GB (gt)
 HI PBE
=> HI là đường trung bỡnh của BEG 1 (1)
 HI BE
 2 MK P AB
+) Tứ giỏc ABKM là hỡnh bỡnh hành ( cm cõu a) 
 MK AB
 1
Mà E đối xứng với B qua A => A là trung điểm của BE AB BE 
 2
 MK PBE
 1 (2)
 MK BE
 2
Từ (1) và (2) => tứ giỏc HMKI là hỡnh bỡnh hành
 2 2
- Suy ra GH = GK, GI = GM, từ đú ta cú GE EK,GB BM G là trọng tõm tam giỏc 
 3 3
DEF cũng là trọng tõm tam giỏc ABC.
Bài 9: 
 A B
 x y
 C M
 A' B'
A’ đối xứng với A qua xy 
 xy là đường trung trực của AA’
và AC = A’C, AM = A’M
Ta cú: AC + CB = A’C + CB = A’B (1)
 AM + MB = A’M + MB (2)
Trong MA B cú: A’B < A’M + MB (quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giỏc) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AC + CB < AM + MB.
Bài 10: 
 N
 A
M
 B
 D C AM AD
a) AM đối xứng với AD qua AB nờn (1)
 à à
 A1 A2
 AN AD
AN đối đối xứng với AD qua AC nờn (2)
 à à
 A3 A4
Từ (1) và (2) AM AN và Mã AN 2 àA àA 2Bã AC 2.900 1800
 2 3 
 3 điểm M, A, N thẳng hàng 
 Mà AM = AN => M và N đối xứng qua A và MN = 2 AD. 
b) Vẽ AH  BC , ta cú AD AH MN 2AH
Vậy MN ngắn nhất bằng AH khi D  H ( hỡnh a) 
Dựa vào quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu , ta cú AD AC MN 2AD 2AC.
Do đú MN dài nhất bằng 2AC khi D  C ( hỡnh b)
 M
 N
 A
 A
 M
 B B
 D ≡ H C D ≡ C ≡ N
 Hỡnh a 
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hỡnh vẽ trong đú ABCD là hỡnh bỡnh hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm 
N qua C.
 A B
 M
 D
 C
N
Bài 2: Cho tam giỏc ABC, cỏc đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi 
E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, 
gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng cỏc điểm E và F đối xứng nhau qua điểm A.
Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chộo. Một đường thẳng đi qua O cắt 
hai cạnh đối AD, BC ở E, F. Chứng minh rằng cỏc điểm E và F đối xứng nhau qua điểm O.
Bài 5: Cho tam giỏc ABC, D là một điểm trờn BC, Qua D vẽ DE //AB (E thuộc AC) vẽ DF//AC (F 
thuộc AB). Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua điểm I.
Bài 6: Cho tam giỏc ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là điểm bất kỳ 
nằm trong tam giỏc ABC. Vẽ M đối xứng với O qua D, vẽ N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng 
MNCB là hỡnh bỡnh hành.
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cú H là trực tõm. Qua B vẽ đường thẳng vuụng gúc với AB, Qua C vẽ 
đường thẳng vuụng gúc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của BC. 
Chứng minh rằng G đối xứng với H qua I.
Bài 8: Cho xã Oy , điểm A nằm trong gúc đú, Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với A qua 
Oy.
a) Chứng minh rằng OB = OC
b) Tớnh số đo xã Oy để B đối xứng với C qua O
Bài 9:Cho ABC cú H là trực tõm. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M. 
Tớnh số đo à BK ; à CK
Bài 10: Cho hỡnh thang ABCD (AD//BC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, CD; E là 
một điểm bất kỳ trờn cạnh đỏy AD và I,K là điểm đối xứng với E lần lượt qua M và N. Chứng minh 
rằng độ dài IK khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm E
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1: Cho hỡnh vẽ trong đú ABCD là hỡnh bỡnh hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm 
N qua C.
Lời giải
 A B
 M
 Ta cú AB= CD (ABCD là hỡnh bỡnh hành)
 D
 C
 AB= BM (gt)
N  CD= BM
Ta cú AB// CD (ABCD là hỡnh bỡnh hành)