Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 11: Tổng hợp định lí ta-lét, tam giác đồng dạng và các bài toán liên quan (Có đáp án)

 HH8-C3-CD11
 TỔNG HỢP ĐỊNH LÍ TA-LÉT, TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
 VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
A.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng Minh Hệ Thức
Phương pháp giải
Sử dụng định lý Ta-lét và các kiến thức đã học biến đổi các vế, đưa về dạng đơn giản để chứng 
minh.
Dựa vào tỉ lệ độ dài.
Bài tập mẫu
Câu 1: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, 
K, G. Chứng minh rằng:
a) AE 2 EK.EG ;
 1 1 1
b) ;
 AE AK AG
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG cĩ giá trị khơng thay đổi. 
Lời giải
 EK EB
a) Vì AD / /BK (1)
 AE ED
 AE EB
Vì AB / /DG (2)
 EG ED
 EK EB AE
Từ (1) và (2) cĩ: AE 2 EK.EG
 AE ED EG
Vậy AE 2 EK.EG
 AE DE AE BE
b) Vì AD / /BK ; AB / /DG 
 AK DB AG BD
 AE AE DE BE BD 1 1 1
nên 1 
 AK AG BD BD BD AK AG AE
 1 1 1
Vậy .
 AK AG AE
c) Đặt AB a, AD b 
 BK AB a KC CG KC BK b
Vì AB / /CG ; AD / /CK nên 
 KC CG CG AD DG b a DG
 BK.DG a.b (hằng số).
Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG cĩ giá trị khơng thay đổi. Câu 2: Cho hình thang ABCD cĩ AB a, CD b . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường 
 1 1 1 1
thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng .
 OE OG a b
Lời giải
 OE DE OE DE
Vì OE / / AB nên (theo hệ quả định lý Ta-lét) (1). 
 AB DA a DA
 OE AE OE AE
Vì OE / /CD nên (theo hệ quả định lý 
 DC DA b DA
Ta-lét) (2).
Từ (1) và (2) ta được 
 OE OE DE AE 1 1 1 1 1
 1 OE 1 
 a b DA DA a b a b OE
 1 1 1
Tương tự cĩ: 
 a b OG
 1 1 1 1
Vậy .
 OE OG a b
Câu 3: Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho 
 DE BF 1
 . Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EF với BD, AC.
 DA BC 3
Chứng minh rằng EM NF .
Lời giải
Kẻ AA , CC , EE , FF vuơng gĩc với BD ( A , C , E , F 
thuộc BD). 
Vì EE / / AA (cùng vuơng gĩc với BD)
 EE DE 1 1
 EE AA 
 AA DA 3 3
 1
Tương tự cĩ: FF CC 
 3
Vì CC / / A A (cùng vuơng gĩc với BD) 
 AA OA
 CC OC
Vì EE / /FF (cùng vuơng gĩc với BD) 1
 AA 
 EM EE AA OA
 3 (1)
 1 
 MF FF CC CC OC
 3
 FN OB
Tương tự (2)
 NE OD
 OA OB
Măt khác vì AB / /CD (3)
 OC OD
 EM FN EM FN EM FN
Từ (1), (2), (3) cĩ EM FN .
 MF NE EM MF FN NE EF EF
Vậy EM NF 
Dạng 2: Tìm Độ Dài Đoạn Thẳng, Số Đo Gĩc
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt độ dài cạnh, gĩc bằng ẩn.
Bước 2: Thơng qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.
Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đĩ tính độ dài đoạn thẳng hoặc gĩc cần tìm.
Bài tập mẫu
Câu 1: Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).
a) Tính cạnh hình thoi biết AB c, BC a .
 2ac
b) Chứng minh BD với AB c, BC a .
 a c
c) Tính độ dài AB, BC, biết AD m, DC n, DE d .
Lời giải
a) Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.
 ED AE
Vì ED / /BC nên (hệ quả định lý Ta-lét)
 BC AB
 x c x
 cx a c x cx ac ax 
 a c
 ac
 a c x ac x 
 a c
 ac
Vậy x .
 a c b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK BA .
 1
Ta cĩ tam giác ABK cân tại B nên B· KA B· AK ·ABC (tính chất gĩc ngồi tam giác).
 2
 1 BD CB
Mà E· BD D· BF ·ABC ·AKB D· BF BD / / AK (hệ quả định lý Ta-lét)
 2 AK CK
 BD CB a
 (1)
 AK BC BK a c
Trong tam giác ABK cĩ:
 AK AB BK c c 2c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).
 a 2ac
Từ (1) và (2) cĩ: BD .2c 
 a c a c
 2ac
Vậy BD .
 a c
 ED AD d m d m n 
c) Vì ED / /BC nên (hệ quả định lý Ta-lét) BC 
 BC AC BC m n m
 d m n 
Tương tự cĩ AB 
 n
 d m n d m n 
Vậy BC và AB .
 m n
Câu 2: Cho tam giác ABC, PQ / /BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng 
PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết 
 PQ a, FE b . Tính độ dài của BC.
Định hướng
Sau khi vẽ hình ta thấy hình thang PQCB cĩ đủ các điều kiện của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1. Do đĩ 
ta cĩ thể sử dụng kết quả của Ví dụ 2 để giải quyết bài tốn.
Lời giải
Đặt BC x . Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta cĩ:
 1 1 1 1 ax
 GE GF 
 GE GF a x a x
 ax 2ax 2ax
 GE GF 2 EF b 
 a x a x a x
 ab
 ab bx 2ax 0 x 
 2a b
 ab
Vậy BC .
 2a b
Câu 3: Trên cạnh BC của hình vuơng ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE 2. Trên tia đối của 
tia CD lấy điểm F sao cho CF 3. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính gĩc AMC.
Lời giải
Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF.
 AB BE BE 2 1
Vì AB / /CG nên (hệ quả định lý Ta-lét)
 CG EC BC BE 6 2 2
 CG 2AB 2.6 12 FG CG CF 12 3 9 
 BH CF
Vì AH / /CG nên 
 AB FG
 BH 3 3
 BH 6. 2 BH BE 
 6 9 9
Xét BAE và BCH cĩ: 
 BE BH theo trên 
 · ·
 ABE CBH 90 
 AB BC tính chất hình vuông 
 BAE BCH c.g.c B· EA B· HC ·AMC M· AH ·AHM M· AH ·AEB 90
Vậy ·AMC 90 .
Dạng 3: Chứng Minh Các Đường Thẳng Song Song, Đồng Quy, Các Điểm Thẳng Hàng.
Phương pháp giải
Sử dụng định lý Ta-lét đảo, định lý Ta-lét đảo tổng quát, định lý về các đường thẳng đồng quy và 
các kiến thức đã học để chứng minh các đường thẳng song song, đồng quy; các điểm thẳng hàng.
Bài tập mẫu Câu 1: Qua giao điểm O của hai đường chéo tứ giác ABCD, kẻ một đường thẳng tùy ý cắt cạnh AB 
tại M, CD tại N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC ở E và đường thẳng qua N song 
song với AB cắt BD ở F. Chứng minh BE / /CF .
Lời giải
 OB OM
Vì MB / /NF nên (định lý Ta-lét) (1)
 OF ON
 OE OM
Vì NC / /ME nên (định lý Ta-lét) (2)
 OC ON
 OB OE
Từ (1) và (2) ta cĩ BE / /CF (định lý Ta-lét đảo).
 OC OC
Vậy BE / /CF .
Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P, Q lần 
lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA. Chứng minh rằng M, N, P, Q thẳng hàng.
Lời giải
 AE AH
Vì HE / /DQ (cùng vuơng gĩc với AC) nên (định lý Ta-
 EQ HD
lét) (1).
 AF AH
Vì HF / /MD (cùng vuơng gĩc với AB) nên (định lý Ta-
 FM HD
lét) (2).
 AE AF
Từ (1) và (2) ta cĩ EF / /MQ (định lý Ta-lét đảo) (*).
 EQ FM
Tương tự cĩ MN / / E F; PQ / / E F (**)
Từ (*) và (**) cĩ MN, MQ, PQ trùng nhau hay M, N, P, Q thẳng hàng. Vậy M, N, P, Q thẳng hàng
Câu 3: Cho tứ giác ABCD, vẽ các đường thẳng d1 , d2 song song với AC; d1 cắt AD, DC theo thứ 
tự tại E và F; d2 cắt AB, BC theo thứ tự tại G và H (G, H khác E, F). Chứng minh rằng EG, DB, HF 
đồng quy.
Lời giải Gọi M, O, N lần lượt là giao điểm của EF, AC, GH với BD.
 ME DM
Vì ME / / AO nên (hệ quả định lý Ta-lét) (1).
 AO DO
 MF DM
Vì MF / /CO nên (hệ quả định lý Ta-lét) (2).
 CO DO
 MF ME MF OC
Từ (1) và (2) ta cĩ: (*)
 OC AO ME OA
 NH OC
Tương tự cĩ: (**)
 NG OA
 NH MF
Từ (*) và (**) cĩ mà EF / /GH suy ra GE, BD, HF đồng quy. Vậy EG, DB, HF đồng 
 NG ME
quy.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho tam giác ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác. Qua O kẻ HF song song với 
BC, DE song song với AB, MK song song với AC (H, K thuộc AB; E, M thuộc BC; D, F thuộc 
AC). Chứng minh rằng:
 AK BE CF
a) 1.
 AB BC CA
 DE FH MK
b) 2 .
 AB BC CA
Câu 2: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi I, K, H lần lượt là chân 
đường cao kẻ từ B, O, C tới AD. Chứng minh rằng AD.BI.CH BD.OK.AC .
Câu 3:
a) Cho tam giác ABC cĩ µA 120, AB 2 cm, AC 4 cm . Tính độ dài đường phân giác AD.
 1 1 1
b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính số đo gĩc BAC .
 AD AB AC
Câu 4: Cho hình vuơng ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I. Gọi E là giao điểm của DI và CB. Gọi J 
là giao điểm của AE và CI. Chứng minh BJ vuơng gĩc với DE.
Câu 5: Cho hình thang ABCD AB CD , AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại O. M, N lần lượt là 
trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng.
Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn AH là đường cao. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy điểm D, E, F sao 
cho E· DC F· DB 90 . Chứng minh rằng EF / /BC .
Gợi ý giải Câu 1:
 AK MC
a) Vì KM / / AC nên 
 AB BC
 CF CI EM
Qua F kẻ FI / / AB ; I BC 
 CA CB BC
 AK BE CF MC BE EM BC
 1 
 AB BC CA BC BC BC BC
 AK BE CF
Vậy 1.
 AB BC CA
 FH AH
b) Vì FH / /BC nên 
 BC AB
 KM BK
Vì KM / / AC nên 
 AC AB
 FH MK DE AH BK AK BH AH HB AK KB
Suy ra 2 
 BC AC AB AB AB AB AB AB
 DE FH MK
Vậy 2 .
 AB BC CA
Câu 2:
Kẻ AE  BD 
 AO OK
Vì OK / /HC nên AO.HC OK.AC 
 AC HC
Lại cĩ AD.BI.CH 2SABD .CH
Mà
 BD.AE 2SABD , OA.HC OK.AC, AO AE 
 AD.BI.CH 2SABD .CH BD.AE.CH BD.AO.CH BD.OK.AC 
Vậy AD.BI.CH BD.OK.AC .
Câu 3: Kẻ DE / / AB (E thuộc AC)
 1 1
Ta cĩ: ·ADE B· AD D· AE B· AC .120 60 (hai gĩc so le trong)
 2 2
 ADE đều
Đặt AD DE EA x 
 DE CE x 4 x 4
Vì AB / /DE nên (hệ quả định lý Ta-lét) 4x 2 4 x x 
 AB CA 2 4 3
 4
Vậy AD cm .
 3
b) Kẻ DE / / AB (E thuộc AC)
Ta cĩ: ·ADE B· AD D· AE (hai gĩc so le trong) ADE cân tại E
Đặt DE EA x 
 DE CE
Vì AB / /DE nên (hệ quả định lý Ta-lét) 
 AB CA
 x AC x x x x 1 1 1
 1 1 
 AB AC AC AB AC AB AC x
 1 1 1
Theo đề bài cĩ: AD x ADE đều D· AE 60 B· AC 120 
 AD AB AC
Vậy B· AC 120 .
Câu 4:
Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF BE 
Gọi giao điểm của CF và EA, ED lần lượt là H, O; giao điểm của EA và DF là K.
 AB AD tính chất hình vuông 
 · ·
Xét ABE và DAF cĩ: ABE ADF 90
 AF BE theo cách dựng